第二章 解析函数 ( A nalytic function )

1. 第二章 解析函数 (Analytic function) §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与调和函数的关系 §2.3 初等函数

2. 第一讲 §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数和调和函数的关系

3. §2.1 解析函数的概念 (The conception of analytic function) 一、复变函数导数与微分 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件

4. 一、复变函数导数与微分 定义2.1

5. 说明：

6. 例1 注意： 在整个复平面上处处连续.

7. 二、解析函数的概念与求导法则 1、解析函数的概念 定义2.2

8. 注1 “解析”有时也称“全纯”、“正则”. 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析.

9. （1）四则运算法则 2、求导法则

10. （2）复合函数求导法则

11. （3）反函数求导法则

12. 三、函数解析的一个充分必要条件 定理2.1

13. 证明（必要性）

14. （充分性）

15. .

16. 说明: （1）函数 的导数形式： （2）C-R条件是复变函数可导的必要条件 而非充分条件.

18. 柯西资料 Augustin-Louis Cauchy Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France 18

19. 黎曼资料 Riemann Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy 19

20. . 定理2.2

21. 推论

22. 例3 讨论下列函数的可导性和解析性 （学生课堂讨论）

24. 证明

25. （学生课堂讨论）

28. 本节重点掌握: （1）复变函数解析与可导的关系。 （2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解. （3）函数在哪一点不满足C-R方程，函数在那一点不可微。 函数在哪个区域不满足C-R方程，函数在那个区域不解析。

29. §2.2 解析函数与调和函数的关系(The relation of analytic function and harmonic function) 一、调和函数的概念 二、解析函数与调和函数的关系

30. 定义2.3 定理2.3 一、调和函数的概念

31. 证明：设f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则

33. 现在研究反过来的问题： 二、解析函数与调和函数的关系

34. 偏积分法： 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数

35. 曲线积分法：

36. 然后两端积分得:

37. 例1 验证是平面上的调和函数, 并求以为实部的解析函数 使得 解：

38. 故为平面上为调和函数. 得 要合 ，必故

39. 例2 解1:

41. 解2:

42. 解3:

43. 内容小结 1、复变函数的导数 2、解析函数的概念与求导法则 点可导与点解析关系；区域可导与区域解析关系 3、函数解析的充分必要条件 4、调和函数的概念 5、共轭调和函数 6、解析函数与调和函数的关系 7、解析函数的构造方法

44. 课后作业 一、 思考题：1、2、 二、习题二：1-12

45. 第二讲 §2.3 初等函数 (Elementary function) 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数 六、反双曲函数

46. 一、指数函数 定义2.5 对于任意实数 ， 称为欧拉公式.

47. 指数函数的性质

49. 定义2.6 二、对数函数

50. 由定义可知： 的无穷多值函数 的无穷多值函数 由定义可知： 的无穷多值函数 的无穷多值函数 的无穷多值函数 是 是 是