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Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas 4 o Congreso Internacional de Tendencias en Tecnologías de la Información y Telecomunicaciones Universidad Autónoma de Querétaro. Salvador Elías Venegas Andraca Grupo de Procesamiento Cuántico de la Información

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Presentation Transcript
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Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas

4o Congreso Internacional de Tendencias en

Tecnologías de la Información y Telecomunicaciones

Universidad Autónoma de Querétaro

Salvador Elías Venegas Andraca

Grupo de Procesamiento Cuántico de la Información

Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México

http://www.mindsofmexico.org/sva

svenegas@itesm.mx y sva@mindsofmexico.org

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Agradecimiento

Marco Antonio Aceves Fernández

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Agenda

  • Introducción a la computación cuántica
  • Caso de estudio: caminatas cuánticas
  • Redes cuánticas
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¿Qué es la Computación Cuántica? (1/2)

  • Disciplina nacida de la física y la computación, cuyo objetivo incluye:
  • [Computer Scientists] Crear computadoras y algoritmos que aprovechen las propiedades cuánticas de la materia. Se busca aumentar la capacidad de las computadoras para resolver problemas y procesar información.
  • [Físicos] Desarrollar herramientas que permitan aguzar nuestra intuición en el estudio de la mecánica cuántica.
slide6

¿Qué es la Computación Cuántica? (2/2)

c) [Cualquier científico] En nuestro intento por controlar sistemas cuánticos individuales, tendremos un laboratorio para aprender más sobre la estructura del universo.

d) [Industria del cómputo y comunicaciones] Comprender y aprovechar los efectos de la miniaturización a escala atómica/sub-atómica.

slide7

Teoría de la computación clásica

  • Objetivo
  • Conocer las capacidades y límites fundamentales de los procedimientos finitos (algoritmos) usados en la solución de problemas.
  • La teoría de la computación clásica se divide en:
  • Teoría de autómatas
  • Teoría de la computabilidad
  • Teoría de la complejidad
slide8

Máquina Determinística de Turing

Un programa para una MDT

se compone de:

Símbolos de la cinta {S}

Estados de la máquina {Q}

Función de transición

Lo siguiente suena a trabalenguas pero es importante:

La máquina universal de Turing (MUT) es una máquina de Turing

que puede simular a cualquier máquina de Turing.

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La teoría de la computación clásica es una rama de la matemática que NO toma en cuenta las propiedades físicas de los sistemas en los que se implantan algoritmos.

¿Es esto importante?

slide11

1. Gasto energético (conjunto universal de compuertas)

OR

AND

NOT

Las primeras dos compuertas tienen dos bits de entrada y uno de salida. Al procesar información con estas dos compuertas es necesario borrar un bit.

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De acuerdo al principio de Landauer [1], el acto de borrar información implica un gasto energético:

Principio de Landauer. Suponga que una computadora borra un bit de información. Entonces, la cantidad de energía disipada en el medio ambiente es al menos igual a KTln2, donde K es la constante de Boltzmann y T es la temperatura de la computadora.

Luego, parte del calor que desprende un microprocesador y, en general, una computadora, se debe al acto de borrar información.

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2. Ley de Moore

La complejidad de un circuito integrado se duplica cada 18-24 meses y los costos se mantienen

La complejidad de un circuito integrado es directamente proporcional al número de transistores en dicho circuito. Luego, una consecuencia directa de la ley de Moore es que el tamaño de los transistores decrece constantemente.

Se espera que, en algunos años, el tamaño de transistores y demás componentes alcance escalas atómicas [2].

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3. Simulación de sistemas físicos

La simulación computacional de sistemas físicos gobernados por las leyes de la mecánica cuántica es, en general, un problema de orden exponencialrespecto del número de partículas a simular.

En [3], Richard Feynman se preguntósiel uso de sistemascuánticosparasimularotrossistemascuánticospermitiríareducir la complejidad algorítmica de esteproceso.

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Ahorabien:

¿Es posible crear un modelo computacional, esto es, un modelo matemático para la ejecución de algoritmos, que al implantarse en un sistema físico:

1) No gaste energía innecesariamente,

2) tome en cuenta los efectos de la miniaturización, y

3) pueda simular sistemas cuánticos?

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Sí, es posible.

Computación cuántica =

modelo reversible de computación

+

mecánica cuántica

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Modelo de computación reversible (1/5)

Compuerta reversible. Unacompuertaesreversiblesi y sólosidespués de ejecutar el pasoei+1esposiblecalcular, de nuevacuenta, el pasoei.

Modelo de computación reversible. Modelo matemático creado para la ejecución de algoritmos utilizando compuertas reversibles.

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Modelo de computación reversible (2/5)

Ejemplo de compuerta reversible: compuerta de Toffoli

X1

X1

X2

T

X2

X3

F= X3 XOR (X1 AND X2)

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Modelo de computación reversible (3/5)

Tabla de verdad de la compuerta de Toffoli

Entrada

Salida

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Modelo de computación reversible (4/5)

La compuerta de Toffoli es universal, esto es, para cualquier funcióncomputable

f(X1, X2, …, Xn)

existe un circuito M creado sólo con compuertas de Toffoli tal que M calcula el valor de f para cualquier combinación de variables X1, X2, …, Xn[4,5].

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Modelo de computación reversible (5/5)

El modelo de computación reversible evita el gasto energético previsto por la ley de Landauer.

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¿Existen sistemas físicos cuyo comportamiento temporal (evolución) sea como el de una compuerta reversible?

Respuesta: Sí. Los sistemas (cerrados) que trabajan de acuerdo a las leyes de la mecánica cuántica.

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Breve introducción a la mecánica cuántica (1/6)

Primus inter pares: definición de qubit.

La estructura matemática-física de un bit es simple: basta con definir dos valores (por ejemplo, 0 y 1) y relacionar dichos valores con dos distintos resultados de la medición de un sistema físico clásico.

Ejemplo tradicional: la diferencia de potencial entre el emisor y el colector de un transistor bipolar.

Si la diferencia de potencial entre E y C es menor que 0.5V entonces se registra un ‘0’ lógico.

Si la diferencia de potencial entre E y C es mayor que 4.5V entonces se registra un ‘1’ lógico.

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Breve introducción a la mecánica cuántica (2/6)

Primus inter pares: definición de qubit.

La contraparte cuántica del bit es el qubit. Un qubit es un sistema cuántico con al menos dos estados distinguibles y es la unidad básica de almacenamiento y procesamiento de información.

Un electrón (spin up – spin down)

Un fotón (polarización vertical-horizontal)

slide25

Breve introducción a la mecánica cuántica (3/6)

Primus inter pares: definición de qubit.

Un qubit se puede representar matemáticamente como un vector unitario en un espacio de Hilbert H bidimensional:

Def. Sea H un espacio de Hilbert bidimensional y

una base de H. La forma general de un qubit , usando la base , se escribe de la siguiente manera:

donde son números complejos que cumplen con

slide26

Breve introducción a la mecánica cuántica (4/6)

Primus inter pares: definición de qubit.

Usando la base computacional

podemos escribir como

Los ángulos θ y Φ definen un punto en la esfera de Bloch.

Nota importante:

A diferencia de los bits, NO se puede hacer copias

de qubits en lo general (No-cloning theorem).

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Breve introducción a la mecánica cuántica (5/6)

Postulado 2. Evolución de un sistema cuántico. La evolución de un sistema cuántico cerrado con vector de estado |ψ> se describe a través de un operador unitario :

Los operadores unitarios son reversibles, i.e. existepara cualquier operador unitario .

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Breve introducción a la mecánica cuántica (6/6)

Postulado 3. Medición de un sistema cuántico.

La medición en mecánica cuántica es un proceso inherentemente probabilístico. Por ejemplo, si tenemos n qubits con ecuación

Y usamos operadores (proyectores) de medición

y

α

β

con resultados de medición

y

α

Entonces

veces obtendremos

veces obtendremos

β

y

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¿Existe una versión cuántica de la máquina de Turing?

  • Sí.
  • En [6], David Deutsch:
  • Propusounamáquina universal de Turing cuántica.
  • Propuso el principio de Church-Turing:
  • Every finitely realizable physical system can be perfectly simulated by a universal model computing machine operating by finite means
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Algunos logros en computación cuántica (1/4)

  • Algoritmos cuánticos
  • Algoritmo de Shor [7]: factorización de números primos en tiempo polinomial
  • Algoritmo de Grover [8]: Localización de un elemento en un conjunto desordenado en O(sqrt(n)) (el mejor algoritmo clásico tarda O(n)).
  • Algoritmos de búsqueda en conjuntos desordenados, basados en caminatas cuánticas.
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Algunos logros en computación cuántica (2/4)

2. Criptografía cuántica

  • Decodificación de sistemas criptográficos en tiempo polinomial.
  • Detección de espías (eavesdropper) utilizando las propiedades de la mecánica cuántica (medición de estados cuánticos).
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Algunos logros en computación cuántica (3/4)

¿Productoscomerciales?

  • Sistemas comerciales de criptografía y redes cuánticas:
      • IdQuantique http://www.idquantique.com/ (Suiza)
      • Magiq http://www.magiqtech.com/ (EE. UU.)
      • Dwave Systems http://www.dwavesys.com (Canadá)
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Algunos logros en computación cuántica (4/4)

¿Experimentos a gran escala?

  • DARPA Quantum Network. Red de 6 nodos que conecta a las universidades de Harvard y Boston. La red transmite información a través de fibras ópticas y lo hace utilizando protocolos puramente cuánticos.
  • Transmisión de información cuántica (fotones) a largas distancias. Laboratorio Anton Zeilinger, universidad de Viena, Austria.
  • Quantum City Project: instalación de una red municipal con criptografía cuántica en Durban, Sudáfrica. Universidad de Kwazulu-Natal y SmartQuantum.
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Recordatoriobrevísimo: caminataaleatoria

Froggy brinca un lugar a la derecha si la moneda cae en sol, y brinca a la izquierda si cae en águila.

Si Froggy comienza su travesía en cero, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a Froggy en la posición k después de n pasos?

Respuesta:

Distribución binomial

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¿Son importanteslascaminatasaleatorias en lascienciascomputacionales?

Algunos algoritmoscreadossobrecaminatasaleatoriasdiscretas son máspoderosos que suspares determinísticos.

Ejemplo: KSAT y caminatasaleatorias.

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K-SAT

K-SAT (problema NP-completo) se define así:

  • Sea B={x1, x2, …, xn} un conjunto de variables booleanas.
  • Sea Ci una disyunción de k elementos de B
  • Sea F una conjunción de m cláusulas Ci.
  • Pregunta: ¿Existe un conjunto de valores para las variables booleanas contenidas en F tal que F=1?

Ejemplo: caso específico de 3-SAT

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Resolviendo el problema K-SAT

A la fecha, el mejor algoritmo diseñado para la solución del problema 3-SAT toma como base una caminata aleatoria:

T. Hofmeister, U. Schoning, R. Schuler and O. Watanabe, “A Probabilistic 3-SAT algorithm Further Improved”, Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, pp. 192-202 (2002)

slide39

Caminatas cuánticas

En este nuevo paradigma, el caminante y la moneda son partículas cuyo comportamiento está regido por las leyes de la mecánica cuántica.

slide40

El modelo básico:

Caminata cuántica discreta sobre una línea

slide41

Paso 1. Antes de tirar la moneda por primera vez,

Homero está en la posición 0.

-3

-2

-1

0

1

2

3

slide42

Paso 2. Después de tirar la moneda por primera vez,

Homero está en las posiciones 1 y -1.

Si buscamos al caminante (i.e. si medimos el sistema), encontraremos que Homero estará en la posición 1 con probabilidad=0.5 y en la posición -1 con probabilidad=0.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

slide43

Paso 3. Después de tirar la moneda por segunda vez,

Homero está en las posiciones

2, 0 y -2

Si buscamos al caminante (i.e. si medimos al sistema), encontraremos a Homero en una de las siguientes posiciones: 2 con probabilidad 0.25, –2 con probabilidad 0.25, 0 con probabilidad 0.5.

-3

-2

-1

0

1

2

3

slide44

Caminatacuántica en unalíneainfinita(1/2)

Gráfica 1. Note la falta de simetría en la distribución

de probabilidad.

Estado inicial total

Probabilidad

Operador de evolución

Número de pasos

t = 100

Posición

slide45

Caminatacuántica en unalíneainfinita(2/2)

Gráfica 2. El cambio respecto de la gráfica anterior

obedece a estados iniciales distintos.

Estado inicial total

Probabilidad

Operador de evolución

Número de pasos

t = 100

Posición

slide46

Aplicacionesalgorítmicas de lascaminatas cuánticas

Entre los ejemplos más importantes se encuentra

Exponentially faster hitting.Childs et al (Journal of Quantum Information , 1:35, 2002 ) demostraron que una caminata cuántica continua en G puede ir, con probabilidad no despreciable, de ENTRANCE a EXIT en O(d2) pasos. Cualquier algoritmo clásico equivalente requeriría de un número exponencial de pasos.

slide47

Introducción concisa al tema:

Quantum walks for computer scientists

S.E. Venegas Andraca

Morgan and Claypool (2008)

On sale now! 

Documentos concisos introducción a la teoría de la computación, ejercicios básicos de cómputo cuántico y esta presentación:

http://www.mindsofmexico.org/sva

slide49

Redes cuánticas (1/6)

  • En redes de computadoras clásicas, la información se transmite de dos formas:
  • Copia de información entre sistemas físicos adyacentes
  • Desplazamiento, a lo largo de un canal, de un sistema físico con información.
  • ¿Es posible utilizar estos esquemas para transmitir información entre sistemas cuánticos?
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Redes cuánticas (2/6)

  • Copia de información entre sistemas físicos adyacentes
  • Teorema de la no clonación (no-cloning theorem) [9,10]
    • No es posible copiar estados cuánticos arbitrarios, i.e. no es posible llevar a cabo la operación
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Redes cuánticas (3/6)

  • 2. Desplazamiento de un sistema físico con información
  • Candidatos: electrones, fotones e iones
  • - Transmitir información usando cualquier de estos sistemas físicos significa que debemos manipular estas partículas de forma individual.
  • Esta manipulación implica, con probabilidad no despreciable, que la partícula, entre en contacto con variables externas y, en consecuencia, que pierda información [11,12].
slide52

Redes cuánticas (4/6)

  • ¿Existe algún camino alternativo?
  • Sí, la teletransportación cuántica [13]

Circuito

Teletransportación

(par EPR y compuertas)

|Ψ>

La teletransportación cuántica se divide en dos pasos. El primero consiste en

que el qubit que le pertenece a Bart interactúe con el circuito de teletransportación.

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Redes cuánticas (5/6)

El segundo paso consiste en que Bart se comunique clásicamente con Homero

(por ejemplo, por teléfono) para que Homero pueda tomar su qubit,

Circuito

Teletransportación

(par EPR y compuertas)

|Ψ>

Note que Bart YA NO tiene su qubit.

La teletransportación cuántica NO es lo mismo que copiar qubits.

Luego, no se viola el teorema de la no clonación.

slide54

Redes cuánticas (6/6)

Nota aclaratoria:

La teletransportación cuántica consiste en transferir

información a través de un canal cuántico.

NO es lo mismo que transferir MASA.

computaci n cu ntica en m xico

Computación Cuántica en México

- Escuelas de verano (siguientes diapositivas)

- División de Información Cuántica de la SMF

primer escuela mexicana de verano en computaci n e informaci n cu nticas

Primer Escuela Mexicana de Verano en Computación e Información Cuánticas

Mérida, Yucatán

Julio 2004

slide57
La Primera Escuela de Verano en Computación e Información Cuánticas se llevó a cabo en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY), el CINVESTAV-Mérida y la Universidad de Oxford en julio de 2004.

Esta primera escuela contó con conferencistas de talla mundial y con 35 asistentes de varios estados de la República Mexicana.

Los organizadores fueron los Drs. Luis Alberto Muñoz Ubando, Romeo de Coss y Salvador Venegas Andraca.

slide58
Conferencistas

Professor Sougato Bose. University College London.

Dr Konrad Banaszek. University of Oxford.

Professor Vlatko Vedral. University of Leeds.

Dr Jonathan Ball, Dr NikolaPaunkovic y Dr Yasser Omar. University of Oxford.

memorabilia primer escuela de verano en computaci n e informaci n cu nticas
Memorabilia Primer Escuela de Verano en Computación e Información Cuánticas

La escuela fue patrocinada por CINVESTAV Mérida, UADY,

IPN y el gobierno del estado de Yucatán.

segunda escuela mexicana de verano en computaci n e informaci n cu nticas

Segunda Escuela Mexicana de Verano en Computación e Información Cuánticas

http://www.cem.itesm.mx/dia/escuelaverano

Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México

9-20 julio, 2007

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La Segunda Escuela Mexicana de Verano en Computación y Comunicación Cuánticas fue organizada por las siguientes instituciones:
  • Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México, y

- Centro de Cómputo Cuántico de la universidad de Leeds, Gran Bretaña

conferencistas
Conferencistas

Professor Alan Aspuru-Guzik, Universidad de Harvard (EE. UU.).

Professor Rainer Blatt, Universidad de Viena (Austria).

Professor Sir Peter Knight, Imperial College (Gran Bretaña).

Professor Marco Lanzagorta. ITT Corporation y Universidad George Mason (EE. UU.).

Dr. Jacob Dunningham, Universidad de Leeds (Gran Bretaña).

Professor Ian Walmsley, Universidad de Oxford (Gran Bretaña).

memorabilia segunda escuela de verano en computaci n e informaci n cu nticas
Memorabilia Segunda Escuela de Verano en Computación e Información Cuánticas

La escuela fue patrocinada por el Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México.

slide64

Tercer Escuela Mexicana de Verano en Computación e Información Cuánticashttp://www.cem.itesm.mx/dia/mexqc09/

Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México,1-19 junio 2009

Apoyada por: AMC, SMF, COMECyT, Universidad de Oxford, Universidad de Innsbruck, University College London, Imperial College London, University of Cambridge.

programa
Programa

Semana 1. Curso de introducción al cómputo cuántico.

Semana 2. Once conferencias, talleres-tutoriales y presentación

sistema comercial criptografía cuántica.

Semana 3. Curso de sistemas cuánticos abiertos.

conferencistas confirmados
Conferencistas confirmados

Dr Daniel Browne. One-way Quantum Computation. University College London.

Dr Bob Coecke. CategoryTheory in QC. University of Oxford.

Professor Ivan Deutsch. Quantum Control. University of New Mexico.

Professor Edward Farhi. Adiabatic Quantum Computation. MIT.

Dr Marco Lanzagorta. Quantum Cryptography and Quantum Circuits. ITT Corporation.

Professor Peter Love. Quantification of Quantum Entanglement. Haverford College.

Dr Keye Martin. DomainTheory in QC. US Naval Research Laboratory.

Dr Cristopher Moore. Scattering Algorithms. University of New Mexico and Santa Fe Institute.

Dr. François Guignot. A commercial quantum cryptographicsystem. SmartQuantum.

Dr Donald Sofge. Quantum programming languages. US Naval Research Laboratory.

Dr Rolando Somma. Quantum Simulated Annealing. Perimeter Institute.

Dr. Marko Znidaric. Entanglement properties of random quantum states. Ljubljana University.

slide67

Programa de becas

Stay in touch!

svenegas@itesm.mx

slide68

Bibliografía

[1] Rolf Landauer. Irreversibility and Heat generation in the Computing Process. IBM Journal of Research and Development, 3 pp.183-191 (1961).

[2] Seth Lloyd. Programming the Universe. Alfred A. Knopf (2006).

[3] Richard P. Feynman. Simulating Physics with Computers. International Journal of Theoretical Physics, 21 (6/7) pp. 467-488 (1982) y The Feynman Lectures on Computation. Penguin Books (1999).

[4] T. Toffoli. Reversible Computing.MIT Technical Report MIT/LCS/TM-151 (1980)

[5] E. Fredkin and T. Toffoli. Conservative logic. International Journal of Theoretical Physics, 21 pp. 219–253 (1982).

[6] D. Deutsch. Quantum theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer. Proceedings of the Royal Society of London, series A, 400(1818) pp. 97-117, 1985.

[7] P. Shor. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Algorithms on a Quantum Computer. Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pp. 124–134, IEEE Computer Society Press (1994).

[8] .K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for database search. Proceedings 28th annual ACM Symposium Theory of Computing, pp. 212–219 (1996).

[9] D. Dieks. Communication by EPR devices. Physics Letters A 92(6) pp. 271-272 (1982).

[10] W.K. Wootters y W.H. Zurek. A single quantum cannot be cloned. Nature, pp. 299-300 (1982).

[11] The physics of quantum information. D. Bouwmeester et al, Eds. Springer (2000)

[12] How to build a 300 bit, 1 Giga-operation quantum computer. A.Steane, quant-ph/0412165 (2004).

[13] Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels. C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, pp 1895-1899 (1993).