Cálculo 

1. Cálculo  Roberto Moriyón

2. Cálculo  • Creado por A. Church y S.C. Kleene en 1930 para establecer una teoría formal de funciones computables • Permitió demostrar por primera vez un teorema de indecibilidad: no hay úna función  que permita establecer la equivalencia de dos funciones  • Ha dado lugar a los lenguajes de programación funcionales, como Lisp

3. Expresiones  • Variables x E ::= V | … V ::= x | y | z | … • Funciones y.yy E ::= V | F | … F ::= V.E • Aplicación de funciones (y.yy)x xy x(y.yy) (y.yy) (x.xx) E ::= V | F | EE | (E)

4. Funciones  • La operación que da lugar a x.E a partir de una expresión E se llama abstracción  • Ejemplo: y.yy es una abstracción de yy mediante la variable y • Semántica: Sustitución (y.(yzy))x.u  (x.u)z(x.u)  ux.u

5. Aplicación de Funciones : Ejemplos • (x.(xx))z  ? • (x.y.x y)z  ? • (x.(x y.y))u.v  ?

6. Funciones : Semántica, II • Todas las expresiones  representan funciones de un argumento (que a su vez es una función de un argumento), cuyos valores son también funciones de un argumento • Las expresiones  se pueden ver como funciones de dos argumentos: E1 se puede interpretar como la función que a las expresionesE2 y E3 les hace corresponder la expresiónE1E2E3

7. Funciones : Ejemplos • x.xes la función identidad, que a cada función le hace corresponder ella misma • x.yes la función con valor constante la función y • x.y.xes la función que a cada función x le hace corresponder la función constante x • x.y.yes la función constante identidad

8. Funciones : Ejemplos, II • x.y.x también se puede ver como una función de dos argumentos x e y: la proyección sobre el primer argumento, 1. • Ejemplo: ((x.y.x)u)z  (y.u)z  u • Análogamente, x.y.y se puede ver como la proyección 2. • En general cualquier expresión  se puede ver como una función de un número arbitrario de argumentos

9. Cálculo : Visión global • El Cálculo  se puede ver como un lenguaje de definición de funciones cuyos únicos tipos de datos primitivos son las funciones  (no hay números ni cadenas de caracteres), y que incluye un mecanismo de evaluación de las funciones basado en sustitución de variables por expresiones. • En particular, todas las funciones  tienen un argumento que representa a su vez otra función  y sus imágenes son a su vez funciones .

10. Sintaxis del Cálculo : Precedencia • La gramática que hemos construido es ambigua • Se desambigua modificando la gramática, bien sea exigiendo la utilización de paréntesis o en base a precedencias • Es una situación similar a la que ocurre en la aritmética con las sumas y productos, pero algo diferente porque el operador  es prefijo y el operador de aplicación no tiene un símbolo propio.

11. Sintaxis del Cálculo : Precedencia • La aplicación de funciones tiene mayor precedencia que la abstracción. • Ejemplo: x.yz es una función cuyo valor constante es yz, o sea que equivale a x.(yz) • En caso de aplicaciones consecutivas de expresiones, se asocian por la izquierda • Ejemplo: (x.y.xy)(u.v)z  ((x.(y.(xy)))(u.v))z

12. Desambiguación explícita de expresiones • Se pone directamente un paréntesis rodeando a cada función  que no lo tiene. El paréntesis se abre inmediatamente antes de la  y se cierra lo más a la derecha posible • Normalmente esto es suficiente para poder leer la expresión sin ambigüedad. • Ejemplo: zw.(u.zxu)v.wv  z(w.(u.zxu)(v.wv))

13. Desambiguación explícita de expresiones, III • Se marcan como desambiguadas las subexpresiones que son concatenación de otras dos ya desambiguadas, agrupándolas de izquierda a derecha mediante paréntesis. z(w.(u.((zx)u))(v.(wv)))

14. Desambiguación explícita de expresiones, IV • Se marcan como desambiguadas las funciones lambda cuyo cuerpo está desambiguado. z(w.(u.((zx)u))(v.(wv)))

15. Desambiguación explícita de expresiones, V • Las dos reglas anteriores se aplican de forma consecutiva en cualquier orden posible. z(w.((u.((zx)u))(v.(wv)))) z(w.((u.((zx)u))(v.(wv))))

16. Escritura de expresiones  • La principal precaución al escribir expresiones  es cuando se quiere aplicar la composición de dos funciones a otra expresión. • Por ejemplo, para escribir el resultado de aplicar la expresión E al resultado de aplicar la expresión Fa la expresión G, se tienen que poner paréntesis, quedando E(FG). Si escribiéramos EFGsin paréntesis la expresión resultante denotaría lo mismo que (EF)G

17. Escritura de expresiones , II • Más en general, si una expresión se aplica a varios argumentos y uno de ellos es a su vez una expresión no atómica, este argumento se debe poner entre paréntesis. • Así, E(FG)H denota (E(FG))H, o sea la aplicación de Ea los argumentos FG y H, mientras que EFGH denotaría (((EF)G)H), es decir la aplicación de E a los tres argumentos F, Gy H.

18. x  y x    u y   v z Representación de expresiones  como árboles binarios • Una expresión  se puede representar mediante su árbol binario de análisis sintáctico (sin paréntesis), cuyos nodos pueden ser de tipo  (abstración),  (áplicación) o variable (son las hojas) • Ejemplo: (x.y.x y)(u.v)z

19. Cálculo : Ambitos de variables Mínima función  que la contiene y en la que aparece como argumento. Ejemplos • (x.y.x y)(u.v)z • (x.y.x y)(u.v)z • (x.y.x y)(u.v)z Ámbito global Es semejante al ámbito en un programa

20. Cálculo : Ambitos devariables, II • Si se sustituye en una expresión  una variable cuyo ámbito no es global por otra nueva, la expresión resultante es equivalente • Ejemplo: x.zx es equivalente a y.zy, pero no es equivalente a x.yx ni a z.zx

21. x z  x    x  z x  x Ámbitos de variables: Ejemplo (x.z.x(x.zx))x

22. Ambitos de variables: Ejemplo, II • En el ejemplo anterior la variable x tiene ámbitos anidados (el segundo está contenido en el primero, que a su vez lo está en el global), lo que dificulta la sustitución y la evaluación de expresiones. • La evaluación de expresiones y la sustitución de variables es más sencilla cuando no hay ámbitos anidados. • Al igual que en programación, conviene evitar los ámbitos anidados de variables sustituyéndolas por otras.

23. Expresiones simples • Una expresión  es simple si cada variable aparece en un solo contexto • Esta condición es más fuerte que la exigencia de que no haya ámbitos anidados; es análoga a pedir que en un programa cada variable aparezca en un solo bloque. • Ejemplos: • (x.z.x x.z x) zno es simple • (x.u.x y.u y) zes simple

24. Expresiones simples, II • En cualquier expresión  se pueden renombrar las variables de modo que la expresión resultante, equivalente a la inicial, sea simple • Para ello basta con sustituir desde los ámbitos más restringidos a los más amplios las variables con ámbitos múltiples por variables nuevas. • Ejemplo: (x.z.x x.z x) z  (x.z.x y.zy) z  (x.u.x y.u y) z

25. Evaluación de expresiones simples • Dentro de una expresión simple, la aplicación de una función  a otra subexpresión se evalúa mediante sustitución, rodeando el argumento de paréntesis si es necesario. • Ejemplos: (x.u.x y.u y) z  u.zy.u y (x.u.x y.u y) w.w  u. (w.w)y.u y • El resultado de la evaluación de una expresión simple puede no ser simple. Ejemplo: (x.(y.x) x) u.u  (y.u.u) u.u

26. Procedimiento de evaluación total de expresiones  • Para evaluar una expresión se puede hacer repetidamente lo siguiente: • Simplificar • Evaluar una subexpresión que sea la aplicación de una función  a otra expresión, sustituyendo la subexprésión evaluada por el resultado (incluyendo paréntesis alrededor si hace falta).

27. Procedimiento de evaluación total de expresiones : Ejemplo (x.(u.x u) x) x  (y.(u.y u) y) x  (u.x u) x  x x • Otra forma de hacerlo: (x.(u.x u) x) x  (y.(u.y u) y) x  (y.y y) x  x x

28. Ejercicios obligatorios • Evaluar lo más posible las siguientes expresiones: • [EVAL1] (x.y.x y) (u.u u) v • [EVAL2](u.u) (x.y.x y) v • Pasar a forma simple las siguientes expresiones: • [SIMPL1] (x.y.x(x.yx))(u.uxu)x • [SIMPL2] x.x.x.xxx

29. EJERCICIO OPTATIVO • [EVAL LAMBDA] Escribir un programa que evalúe expresiones  de la forma (x.E)F.

30. No terminación de laevaluación total • El procedimiento de evaluación total de expresiones  puede no terminar nunca. • Ejemplo: (x.xx)(y.yy) al evaluarla una vez da ella misma: (y.yy)(y.yy)

31. Cálculo : Reglas de equivalencia • Lo anterior justifica definir la evaluación como una regla de equivalencia. • Las siguientes reglas permiten obtener expresiones  equivalentes a otras dadas: • Regla : Sustitución de variables por otras (en particular, la conversión en expresiones simples) • Regla  (evaluación): Aplicación de funciones • Regla  (concreción): Equivalencia de x.Ex con E si x no es una variable libre de E

32. Cálculo : Forma normal • Se dice que una expresión  está en forma normal si no se le puede aplicar ninguna regla de evaluación o concreción. • Según hemos visto, hay expresiones  que no son equivalentes a ninguna otra que esté en forma normal.

33. Forma normal, II • Hay expresiones  equivalentes a otra en forma normal que admiten evaluaciones indefinidas de subexpresiones suyas. • Ejemplo: (x.y.x) u ((v.v v) w.ww) • Si se evalúa primero el último paréntesis se obtiene una expresión equivalente a la inicial, y por lo tanto se puede continuar realizando la misma operación indefinidamente. • Si se evalúa la primera función , se obtiene y.u ((v.vv) w.ww), y evaluando de nuevo la primera función  se obtiene u, que está en forma normal.

34. Ejercicio obligatorio • [FNINF] Demostrar que la siguiente expresión  admite infinitas evaluaciones consecutivas sin que se llegue a una forma normal, pero también se puede evaluar dando lugar a una forma normal: (a.b.b) ((x.y(x x)) (u.v(u u)) w.w

35. Unicidad de la forma normal • Teorema de Church-Rosser: Si una expresión  se puede transformar mediante aplicaciones sucesivas de reducciónes ,  y  en dos expresiones en forma normal, éstas se pueden transformar una en la otra mediante transformaciones .

36. Teorema de Church-Rosser:Idea de la demostración • Si una expresión  simple incluye dos aplicaciones de función que se pueden evaluar, el orden de evaluación de las mismas es indiferente. • Reducción a tres casos • Primer caso: Funciones con ámbitos disjuntos ((x.xx)u)((y.yy)v)

37. Teorema de Church-Rosser:Segundo caso Una de las aplicaciones está contenida en el argumento de la otra: (x.xux)((y.ywy)v) (x.xux)(vwv) ((y.ywy)v)u((y.ywy)v) (vwv)u(vwv)

38. Teorema de Church-Rosser:Tercer caso • Una de las dos aplicaciones está conteni-da en el cuerpo de la función de la otra: (x.(((y.yy)u))xxx)v (x.((uu)xxx))v ((y.yy)u)vvv (uu)vvv

39. Teorema de Church-Rosser:Caso general • Análogo a uno de los tres anteriores, con árboles arbitrarios en lugar de u, v, w y en lugar de los cuerpos de las funciones

42. Cálculo : Normalización Teorema de normalización: Dada una expresión , si existe otra expresión en forma normal equivalente a ella, se puede obtener mediante evaluación total de izquierda a derecha, como sigue: • Si hay alguna subexpresión de la expresión dada que sea una función  y a la que se le pueda aplicar evaluación o concreción, hacerlo sobre la primera de ellas. • Simplificar el resultado y repetir lo anterior sobre las expresiones resultantes mientras ello sea posible.

43. Potencia computacional del Cálculo  • Se puede representar la lógica booleana y las operaciones aritméticas mediante expresiones  • Idea de la demostración: Ver la hoja de problemas número 1 • Forma de la representación: • T,F𝓔; ,,,?𝓔 • 0, S,P,N𝓔 ⟶ ℕ𝓔 • Definición de funciones recursivas (+, *, …)

44. Recursividad en el Cálculo  • Teorema del punto fijo (Turing): Para cada expresión E hay otra expresión F que verifica que EF  F • Demostración: Tomamos F  (x.E(xx))(y.E(yy)) Evaluando la aplicación tenemos que F  E((y.E(yy))(y.E(yy)))  EF

45. Recursividad en el Cálculo , II • Observación: El punto fijo de Turing se calcula aplicando una función fija Y, llamada combinador de punto fijo de Turing, a la función cuyo punto fijo se quiere calcular. • Concretamente, F  YE, donde Y  E.(x.E(xx))(y.E(yy)) • YE habitualmente no tiene forma normal, pero YEH puede tenerla para algunas H

46. Definición de funciones recursivas en el Cálculo  Ejemplo: Suma • Definición recursiva primitiva habitual: x+y = (x==0) ? y : ((x-1)+y)+1 • La traducimos al Cálculo  en forma de punto fijo: +xy  ? (Nx) y (S(+(Px) y)) +x.y.? (Nx) y (S(+(Px) y))   (G.x.y.?(Nx)y(S(G(Px) y)))+

47. Definición de funciones recursivas en el Cálculo , II • La solución sería el punto fijo asociado: +  YE  Y(G.x.y.?(Nx)y(S(G(Px)y))) • Si sustituimos Y por su valor obtenemos una expresión sin forma normal (cada evaluación la complica más) • Pero si aplicamos la expresión anterior a dos números como S(S0) y S(S0) se obtiene una expresión con forma normal: S(S(S(S(0))))

48. Cálculo de los valores de funciones recursivas en el Cálculo . Ejemplo Cálculo de 2+2: • Se puede hacer mediante evaluación total partiendo de la expresión que representa 2+2, que es (YE)22, donde • Y  F.(u.Fuu)(v.Fvv) • E  G.x.y.?(Nx)y(S(G(Px)y)) • 2  … es decir (F.(u.F(uu))(v.F(vv)))(G.x.y.?(Nx)y(S(G(Px)y)))…

49. Cálculo de los valores de funciones recursivas en el Cálculo . Ejemplo Sustituyendo a medias y evaluando, • +22 E+22  ?(N2)2(S(+(P2)2)  S(+(P2)2)  S(+12) • +12 E+12  ?(N1)2(S(+(P1)2)  S(+(P1)2)  S(+02) • +02  E+02  ?(N0)2(S(+(P0)2)  2 • +12  S2  3 • +22  S3  4

50. Ejercicios • Definir funciones en el Cálculo  que representen las siguientes funciones: • [LRS] Suma de los n primeros números impares (obligatorio) • [LRP] Producto de dos números • [LRF] Factorial de un número • [LRC] Cociente por defecto de dos números • Mostrar el cálculo de la suma de los dos primeros números impares, 2*2, 3! y 5/2