Die Gaußverteilung

1. Die Gaußverteilung

2. Inhalt Spezielle Verteilungen: • Die Gaußverteilung (Normalverteilung) • Die Poisson-Verteilung

3. Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: • jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem unbekannten idealen, wahren Wert, dem „Mittelwert“ • Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab • Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

4. Die Gaußverteilung φ(x) Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Die Standard-abweichung zeigt die halbe Breite der Gaußkurve bei 60% ihrer max. Höhe Standard-abweichung σ Mittelwert µ Die Gauß-Verteilung ist durch zwei Parameter definiert: Den Mittelwert μ der Messungen und deren Standardabweichung σ

5. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - σ) und (µ + σ) zu messen. Sie entspricht 68% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

6. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 2σ) < x < (µ + 2σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 2σ) und (µ + 2σ) zu messen. Sie entspricht 95% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

7. Gaußverteilung φ(x)und Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - 3σ) < x < (µ + 3σ) zu erhalten Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Standard-abweichung σ Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Mittelwert µ …. einen Wert zwischen (µ - 3σ) und (µ + 3σ) zu messen. Sie entspricht 99,7% der gesamten Fläche unter der Gaußkurve

8. Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

9. Standardabweichung der Messwerte Bei Normal-verteilten Daten ist die Standardabweichung σein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

10. Standardabweichung des Mittelwerts Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

11. Zusammenfassung Bei Normal-verteilten Messwerten gilt: • Legt man ein Intervall der Breite ±N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für • N=1 68 % • N=2 95 % • N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls • Die Standardabweichung σµdes Mittelwerts ist • σµ = σ / Wurzel(N) Das heißt, umσµ auf die Hälfte zu reduzieren bedarf es der 4-fachen Anzahl der Messwerte!

12. Q: Welche medizinisch relevante Information zeigt die Folge der Histogramme? finis • Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf A: Bei etwa konstantem Mittelwert steigt die Breite der Verteilung: Das heißt, sie zunehmend ältere, aber auch jüngere Patienten erhalten Hüftendoprothesen