Proseminar „Algorithmen auf Graphen“

1. Proseminar „Algorithmen auf Graphen“ Zufälliges Erzeugen von Graphen und Bayes-Netzen Björn Schapitz, CV04, 20.06.2006

2. Gliederung • Einleitung • Geschichtliches • Algorithmen / Beispiele • Anschauliches Vorgehen • Zufällige Adjazenzmatrix • Zufällige Kantenanordnung • Rekursive Erzeugung • One-Pass-Algorithm • Zufällige Bayes-Netze • Zusammenfassung

3. Gründe zur Beschäftigung mit zufälligen Graphen • Beweise führen (Nachweise der Existenz von Graphen mit bestimmten Eigenschaften) • Modellierung von großen, unüberschaubaren Strukturen (z.B. Netzwerke, Internet) Einleitung

4. Arten zufälliger Graphen • echt zufällige Graphen • Oft bestimmte Eigenschaften benötigt: • Begrenzt maximale Cliquen • Verhältnis Kanten/Knoten (Dichte) • Zusammenhängend ?

5. Geschichtliches • Paul Erdös • ungarischer Mathematiker • * 26.03.1913, † 20.09.96 • Entwickelte die „Probabilistische Methode“ zum Beweis seines Satzes: „Es gibt Graphen, die gleichzeitig beliebig hohe Taillenweite und beliebig hohe chromatische Zahl haben.“

6. Anschauliches Vorgehen • Leeren Graphen mit n Knoten erzeugen • Wahrscheinlichkeitszahl p mit 0 ≤ p ≤ 1erzeugen • Für jedes Tupel (n1,n2) mit (n1≠n2) entscheiden, ob Kante gesetzt wird • Beispiel:

7. Zufällige Adjazenzmatrix • n Knoten: n x n Matrix erzeugen • Mit Nullen füllen • Wahrscheinlichkeitszahl p erzeugen: 0 ≤ p ≤ 1 • Für jedes Element der oberen Dreiecksmatrix (ohne Hauptdiagonale): • Zufallszahl x erzeugen: 0 ≤ x ≤ 1 • Wenn x > p, Element auf 1 setzen

8. Beispiel 1 • Zufallsgraph mit 5 Knoten • 5 x 5 Matrix erzeugen

9. Beispiel 1 • Wahrscheinlichkeit p erzeugen • p = 0.5 • Für jedes Element oberhalb der Hauptdiagonalen Zufallszahl x erzeugen • falls x > p, Matrixelement anpassen

10. Beispiel 1 • Graph anhand Adjazenzmatrix aufbauen

11. Eigenschaften so erzeugter Graphen • Erzeugt echt zufällige Graphen • Anzahl der Kanten über p beeinflussbar • Nicht immer zusammenhängend • Komplexität: O(n2)

12. Zufällige Kantenanordnung • Leeren Graphen mit n Knoten erzeugen • Anzahl der Kanten e zwischen 0 und emax wählen • 1 bis e mal: • p und q von 1..n wählen, so dass p<q • Kante von p nach q erzeugen

13. Beispiel 2 • Leeren Graph mit 5 Knoten erzeugen • emax = 10 (max. Anzahl Kanten ohne Loops = (n(n-1))/2 • e zufällig aus 1 bis 10: e = 8

14. Beispiel 2 • 1 bis 8 mal p und q aus 1..n wählen (mit p<q): p=2 q=3; p=4 q=5; p=1 q=2; p=1 q=3; p=1 q=4; p=3 q=5; p=1 q=5; p=2 q=5; • Kante von np nach nq setzen

15. Eigenschaften so erzeugter Graphen • gezieltes Setzen von e = feste Kantenanzahl • Durch geeignete Wahl von p und q kann die max. Anzahl der Eltern und Kinder beeinflusst werden • Sind nicht immer zusammenhängend • Laufzeit: abhängig von e • Komplexität: bis zu O(n2)

16. Rekursive Erzeugung • Basiert auf der Formel von R.W. Robinson, • Anzahl möglicher Graphen mit n Knoten und k Wurzeln ist an(k), mit • Wiederholte rekursive Zerlegung in Wurzeln und Rest-Knoten • Für alle möglichen Wurzel-Anzahlen s des Teilgraphen alle Kombinationen aufsummieren

17. Rekursive Erzeugung - Algorithmus • Umkehrung der Berechnungsformel zur Berechnung eines Graphen (benötigt Knotenmenge V und Wurzelanzahl k) • Zufällig k Wurzeln wählen: K V, |K| = k • Zufällig s aus 1..(n-k) wählen, dabei beachten: (s wird für die Erzeugung von S V\K benötigt)

18. Rekursive Erzeugung - Algorithmus • Wähle zufällig und unabhängig voneinander s nichtleere Teilmengen aus K  Eltern für jedes Element aus S • Wähle zufällig und unabhängig voneinander (n-k-s) Teilmengen (dürfen leer sein) aus K  Eltern für Elemente aus V\K\S • Benutze diesen Algorithmus rekursiv, um aus V \ K als Knotenmenge und s als Anzahl der Wurzeln einen azyklischen Graphen mit den Wurzel-Knoten S zu erzeugen Bei zufälliger Bestimmung von k muss P(k)=an(k)/an gelten.

19. Rekursive Erzeugung - Eigenschaften • Vorteile: • Variation von k und s  hoher/breiter Graph • Rekursive topologische Aufspaltung  einfacheres Ermitteln von Attribut-Abhängigkeiten • Nachteile: • Nicht immer zusammenhängend • an(k) müssen für alle Kombinationen von k und n berechnet und zwischengespeichert werden (a1=1, a2=3, a3=25, … , a7=1.138.779.265!!!) • Komplexität: O(n2)

20. One-Pass-Algorithm • Erzeugt in einem Schritt einen zusammenhängenden Graphen • Anzahl Knoten n und Wurzeln r muss bekannt sein • Maximaler Eingangsgrad m ist begrenzt

21. One-Pass-Algorithm • Notwendige Bedingungen: • n ≥ 2  sinnvoller Graph muss mindestens 2 Knoten haben • 1 ≤ r < n  mindestens eine Wurzel • 1 ≤ m < n  zusammenhängender Graph

22. One-Pass-Algorithm • Einschränkungen von n, r und m: • wenn r ≥ m, dann m(n-r) ≥ n-1 • sonst m(n-r) + m(m-1)-r(r-1) ≥ n-1 2 • Eingabe: Knoten n, Wurzeln r und maximaler Eingangsgrad m • Ausgabe: zusammenhängender azyklischer gerichteter Graph • Komplexität: O(mn)

23. One-Pass-Algorithm • Maximale Kantenanzahl berechnen: • emax = m(n-r) falls r ≥ m • emax = m(n-r)+½(m(m-1)-r(r-1)) sonst • Kantenanzahl e zufällig aus Intervall [n, emax] bestimmen • Für alle Wurzelknoten (v0…vr-1) Eingangsgrad d-(vi)=0 setzen • Für restliche Knoten d-(vi) = [1,min(i,m)] setzen  dabei beachten, dass ∑i=rd-(vi)=e sein muss

24. One-Pass-Algorithm • Für alle Knoten Anzahl zu verbindender Eltern p(vi)=d-(vi) • Für i=r bis n-1: • Kante von vj zu vi setzen (j  [r-1,i-1]) • Für i=0 bis r-2 • Kante von vi zu x setzen (x  {vj | p(vj)≥1}) • Für i=r bis n-1: • Solange p(vi) ≥ 1 wiederhole: • Kante von x zu vi setzen (x  {vj | 0 ≤ j ≤ i-1, (vj,vi) є E})

25. Beispiel 3 • Graph mit 5 Knoten, 2 Wurzeln und maximalem Eingangsgrad 2 • Bedingungen: • n ≥ 2  erfüllt • 1 ≤ r < n  erfüllt • 1 ≤ m < n  erfüllt • Einschränkung: da r ≥ m, muss m(n-r) ≥ n-1 gelten  2(5-2) ≥ 5-1  6 ≥ 4

26. Beispiel 3 1. emax = m(n-r) = 6 2. e=6 3. d-(n0)=0, d-(n1 )=0 4. restliche Knoten: • n2=[1,min(2,2)]=2 • n3=[1,min(3,2)]=2 • n4=[1,min(4,2)]=2 5. p(n2)=2 p(n3)=2 p(n4)=2

27. Beispiel 3 6. i=2 bis 4 • nj ni, j[1,1]  n1 n2 • nj ni, j[1,2]  n1 n3 • nj ni, j[1,3]  n1 n4 7. i=0 bis 0 • Kante von ni zu x, wobei x={nj | p(nj)≥1}  n0 n2

28. Beispiel 3 8. i=2 bis 4 - p(n2) ≥ 1 ? nein - p(n3) ≥ 1 ? ja, x zu n3, x  {nj | 0 ≤ j ≤ 2, (nj,n3) nicht Element von E  nj=n0, n0n3 - p(n4) ≥ 1 ? ja, x zu n4, x  {nj | 0 ≤ j ≤ 3, (nj,n4) nicht Element von E  nj=n0, n0n4

29. Bayes-Netze • Bayessches Netz: • Gerichteter azyklischer Graph • Jeder Knoten besitzt Variable mit Angabe über ihre statistische Verteilung • Meistens zusammenhängend

30. Erweitern zum Bayesschen-Netz • Jedem Knoten vi Variable Vi zuordnen • Anzahl der möglichen Zustände für Vi bestimmen: Ni=|Vi| • Für jeden Wurzelknoten: Ni Zufallswerte erzeugen und zu ∑=1 normieren • Für alle anderen Knoten in topologischer Reihenfolge: für jede Belegung der Elternknoten Ni Zufallswerte erzeugen und zu ∑=1 normieren • Bei Bedarf beliebig viele Einzelbelegungen des Netzes entsprechend den Verteilungen erzeugen • Komplexität: abhängig von Elternknoten-Anzahl, ≈ O(mn)

31. Zusammenfassung • Zufällige Graphen verwendet zur Beweisführung und zur Modellierung unübersichtlicher Strukturen • Algorithmen: • Zufällige Adjazenzmatrix: kaum Variationen möglich • Zufällige Kantenzuordnung: Variationen bedingt über Parameter möglich • Rekursive Erzeugung: Struktur variierbar, aber komplex und langsam • One-Pass-Algorithm: zusammenhängend, wenige Kanten  gut für Bayessche-Netze • Bayessche Netze: • Erweiterungen obiger Algorithmen mit Zustandsvariablen für Knoten

32. Quellen • Reinhard Diestel: „Graphentheorie“, 1996, Springer • Svante Janson, Tomasz Luczak, Andrzej Rucinski: „Random Graphs“, 2000, John Wiley & Sons Inc. • Lothar Wenzel: „Wie klein ist doch die Welt“, in: Toolbox, Ausgabe 6/2002, S. 6 ff. • Ansgar Voigt: „Mathe-Tricks in der Biologie“, in: RUBIN, 2003 • Peter Eichelsbacher: „Die Steinsche Methode“, 2003