OCSE PISA e INVaLSI: quali competenze in matematica?

1. OCSE PISA e INVaLSI: quali competenze inmatematica? Brunetto Piochi (Università di Firenze) per alcune diapositive sono debitore a: Stefania Pozio Università degli studi di Roma “La Sapienza”

2. La competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione. (OCSE-PISA 2003) Matematica: Perché? Cosa?

3. Si vuole in primo luogo valutare la conoscenza della disciplina matematica e dei suoi strumenti, intendendo tale disciplina come conoscenza concettuale, frutto cioè di interiorizzazione dell’esperienza e di riflessione critica, non di addestramento “meccanico” o di apprendimento mnemonico. Una conoscenza concettuale quindi, che affondi le sue radici in contesti critici di razionalizzazione della realtà, senza richiedere eccessi di astrazione e di formalismo. La formalizzazione matematica dovrebbe infatti essere acquisita a partire dalla sua necessità ed efficacia nell’esprimere ed usare il pensiero matematico. Gli aspetti algoritmici applicativi ed esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se stessi. (Quadro di Riferimento INVALSI per le prove di Matematica) Matematica: Perché? Cosa?

4. Che cosa è PISA? • Un’indagine internazionale promossa dall’OCSE (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico) per accertare le competenze dei quindicenni scolarizzati: si svolge con periodicità triennale. • PISA (Programme for International Student Assessment)ha l’obiettivo generale di verificare se, e in che misura, i giovani che escono dalla scuola dell’obbligo abbiano acquisito alcune competenze giudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevole e attivo nella società, per continuare ad apprendere per tutta la vita. • PISA non si focalizza sulla padronanza di contenuti curricolari, ma sulla capacità di utilizzare competenze acquisite durante gli anni di scuola, utili per affrontare e risolvere problemi e compiti che si incontrano nella vita quotidiana e per continuare ad apprendere.

5. PRESENTAZIONE DELL’INDAGINECaratteristiche del progetto Tre ambiti di literacy: lettura, matematica e scienze + problem-solving (solo nel 2003) Periodicità triennale con un’area di contenuti principale in ciascun ciclo PISA 2000 lettura, PISA 2003 matematica, PISA 2006 scienze Popolazione bersaglio: i quindicenni scolarizzati PISA 2003: nati nel 1987 In ogni Paese il campione è costituito da un minimo di150 scuole con un campione di 35 studenti per scuola. Il campione italiano nel 2003 è stato di 407 scuole per un totale di oltre 11.000 studenti a rappresentare una popolazione di circa 500.000 studenti.

6. Strumenti: le prove cognitive del PISA 2003 13 fascicoli di prove cognitive di 120 minuti ciascuno, assegnati agli studenti secondo uno schema di rotazione Ciascun fascicolo contiene principalmente prove di matematica e in alcuni fascicoli vi sono anche prove di lettura, scienze e problem solving. Le prove sono costituite da: uno stimolo (testo, diagramma o grafico, immagini) una o più domande indicazioni per la correzione Le domande possono essere: chiuse a scelta multipla semplice o complessa; aperte a risposta univoca o a risposta breve; aperte a risposta articolata.

10. Le prove PISA Ciascuna prova di matematica è costituita da uno stimolo iniziale (un grafico, una tabella, un testo, un’immagine) seguito da uno o più quesiti, di diverso formato. I tipi di formati sono gli stessi utilizzati in tutte le prove PISA. Tali prove devono tener conto di tre diverse dimensioni: • 1. il contenuto matematico a cui la prova fa riferimento e che deve essere usato per risolvere il problema; • 2. le competenze che gli studenti devono mettere in gioco quando affrontano i problemi che nascono dalla loro interazione con la realtà; • 3. le situazioni o i contesti all’interno dei quali i problemi sono collocati.

11. Livelli di competenza matematica previsti in OCSE PISA (6 livelli)

12. LIVELLO 1 - Matematica Gli studenti di 1° livello, sono capaci di rispondere a domande che riguardino contesti loro familiari, nelle quali siano fornite tutte le informazioni pertinenti e sia chiaramente definito il quesito. Essi sono in grado, inoltre, di individuare informazioni e di mettere in atto procedimenti di routine all’interno di situazioni esplicitamente definite e seguendo precise indicazioni. Questi studenti sono anche capaci di compiere azioni ovvie che procedano direttamente dallo stimolo fornito.

13. LIVELLO 2 – Matematica Gli studenti di 2° livello sono in grado di interpretare e riconoscere situazioni in contesti che richiedano non più di un’inferenza diretta. Essi sono in grado, inoltre, di trarre informazioni pertinenti da un’unica fonte e di utilizzare un’unica modalità di rappresentazione. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di servirsi di elementari algoritmi, formule, procedimenti o convenzioni. Essi sono capaci di ragionamenti diretti e di un’interpretazione letterale dei risultati.

14. LIVELLO 3 - Matematica Gli studenti di 3° livello sono in grado di eseguire procedure chiaramente definite, comprese quelle che richiedono decisioni in sequenza. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e applicare semplici strategie per la risoluzione dei problemi. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di interpretare e di utilizzare rappresentazioni basate su informazioni provenienti da fonti differenti e di ragionare direttamente a partire da esse. Essi riescono a elaborare brevi comunicazioni per esporre le proprie interpretazioni, i propri risultati e i propri ragionamenti.

15. LIVELLO 4 - Matematica Gli studenti di 4° livello sono in grado di servirsi in modo efficace di modelli dati applicandoli a situazioni concrete complesse anche tenendo conto di vincoli che richiedano di formulare assunzioni. Essi sono in grado, inoltre, di selezionare e di integrare fra loro rappresentazioni differenti, anche di tipo simbolico, e di metterle in relazione diretta con aspetti di vita reale. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di utilizzare abilità ben sviluppate e di ragionare in maniera flessibile, con una certa capacità di scoperta, limitatamente ai contesti considerati. Essi riescono a formulare e comunicare spiegazioni e argomentazioni basandosi sulle proprie interpretazioni, argomentazioni e azioni.

16. LIVELLO 5 - Matematica Gli studenti di 5° livello sono in grado di sviluppare modelli di situazioni complesse e di servirsene, di identificare vincoli e di precisare le assunzioni fatte. Essi sono inoltre in grado di selezionare, comparare e valutare strategie appropriate per risolvere problemi complessi legati a tali modelli. A questo livello, inoltre, gli studenti sono capaci di sviluppare strategie, utilizzando abilità logiche e di ragionamento ampie e ben sviluppate, appropriate rappresentazioni, strutture simboliche e formali e capacità di analisi approfondita delle situazioni considerate. Essi sono anche capaci di riflettere sulle proprie azioni e di esporre e comunicare le proprie interpretazioni e i propri ragionamenti.

17. LIVELLO 6 - Matematica Gli studenti di 6° livello sono in grado di concettualizzare, generalizzare e utilizzare informazioni basate sulla propria analisi e modellizzazione di situazioni problematiche complesse. Essi sono in grado di collegare fra loro differenti fonti d’informazione e rappresen-tazioni passando dall’una all’altra in maniera flessibile. A questo livello, gli studenti sono capaci di pensare e ragionare in modo matematicamente avanzato. Essi sono inoltre in grado di applicare tali capacità di scoperta e di comprensione contestualmente alla padronanza di operazioni e di relazioni matematiche di tipo simbolico e formale in modo da sviluppare nuovi approcci e nuove strategie nell’affrontare situazioni inedite. A questo livello, gli studenti sono anche capaci di esporre e di comunicare con precisione le proprie azioni e riflessioni collegando i risultati raggiunti, le interpretazioni e le argomentazioni alla situazione nuova che si trovano ad affrontare.

19. I Contenuti

20. Nuclei di Contenuto

22. 1. Spazio e forma • è l’idea chiave che più si avvicina alla geometria come materia curricolare. Si riferisce a problemi spaziali e geometrici e implica il cercare somiglianze e differenze quando si analizzano le proprietà caratteristiche delle forme, il riconoscere forme simili in rappresentazioni di dimensioni diverse e inoltre il comprendere le proprietà geometriche degli oggetti e le loro posizioni relative nello spazio.

23. Spazio e forma PISA Lo studio della forma e delle costruzioni comporta la ricerca di somiglianze e differenze ed è strettamente legato al concetto di “capire lo spazio”. Questo significa imparare a conoscere, esplorare e conquistare lo spazio per poter vivere, respirare e muoversi in esso con una maggiore consapevolezza (Freudenthal,1973). Per ottenere ciò, dobbiamo essere in grado di capire le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni: dobbiamo essere consapevoli di come vediamo le cose e del perché le vediamo così, dobbiamo imparare a navigare attraverso lo spazio e attraverso le costruzioni e le forme. Ciò significa capire la relazione tra forme e immagini o rappresentazioni visive, come la relazione tra una città reale e le fotografie e le carte topografiche di quella città; significa anche capire come si possano rappresentare gli oggetti tridimensionali in due dimensioni, come si creino e si interpre-tino le ombre e che cosa sia la prospettiva e come funzioni.

24. Spazio e figure (INVALSI) • Mappe, piantine e orientamento. Rappresentazione di oggetti nel piano e nello spazio. Semplici figure dello spazio e del piano (cubo, sfera, triangolo, quadrato…). I principali enti geometrici. Angoli e loro ampiezza. Rette incidenti, parallele e perpendicolari. Verticalità, orizzontalità. Uguaglianza di figure. Equivalenza fra figure. Composizione e scomposizione di figure. Elementi di semplici figure dello spazio (vertici, spigoli, …). Unità di misure di lunghezze, aree e volumi. Perimetro di poligoni. Aree di poligoni. Somma degli angoli di un triangolo e di poligoni. Teorema di Pitagora. Traslazioni, rotazioni e simmetrie. Riproduzioni in scala: ampliamenti e riduzioni. Lunghezza della circonferenza e area del cerchio. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Aree e volumi dei principali solidi. Rappresentazione piana di figure solide. Sistema di riferimento cartesiano. Rappresentazione sul piano cartesiano di figure piane e di trasformazioni geometriche.

25. 2. Cambiamento e relazioni • si collega principalmente all’algebra e riguarda manifestazioni matematiche di cambiamento come anche relazioni di funzione e di dipendenza tra variabili.Le relazioni matematiche spesso sono espresse da equazioni o disuguaglianze, ma vi possono essere anche relazioni di natura più generale come per esempio relazioni di equivalenza o di inclusione. Tali relazioni si possono poi rappresentare in molti modi diversi, per esempio attraverso rappresentazioni simboliche o algebriche o grafiche o tabulari. Poiché ogni tipo di rappresentazione ha determinate proprietà e può essere utile per un determinato scopo, è importante saper passare da una rappresentazione ad un’altra di fronte a situazioni problematiche.

26. Cambiamento e Relazioni PISA Pensare in termini funzionali, cioè pensare in termini di relazioni, è uno degliobiettivi disciplinari fondamentali dell’insegnamento della matematica. Ogni fenomeno naturale è la manifestazione di un cambiamento; nella realtàsi possono osservare tra i fenomeni molte relazioni, sia temporaneeche permanenti. Alcuni processi di cambiamento comportanosemplici funzioni matematiche e possono essere descritti omodellizzati in base a esse. Le relazioni matematiche assumono spesso laforma di equazioni o diseguaglianze, ma vi possono anche essere relazioni dinatura più generale (equivalenza, divisibilità, inclusione,…). Le relazioni possono essere rappresentate in molti modi (rappresentazioni simboliche, algebriche, grafiche, tabulari egeometriche). Rappresentazioni diverse possono essere utili per scopi diversie hanno proprietà differenti. Il passaggio da una rappresentazione all’altra è spessoun procedimento chiave.

27. RELAZIONI e FUNZIONI INVALSI • Classificazione di oggetti, figure, numeri in base a una determinata proprietà. Equivalenze e ordinamenti. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali. Ricerca di regolarità in sequenze di numeri, figure, simboli e parole. Generalizzazione di regolarità attraverso parole e espressioni algebriche. Funzioni del tipo y=ax, y=a/x e y=x2 e loro rappresentazione grafica. Rappresentazione di funzioni attraverso parole, tabelle, grafici, espressioni algebriche. Equazioni di primo grado. Rappresentazione di fatti e fenomeni attraverso tabelle, grafici ed espressioni algebriche.

28. 3. Quantità • si riferisce principalmente all’aritmetica e presuppone il ragionamento quantitativo che comprende, per esempio, il senso del numero, la comprensione del significato delle operazioni e l’avere un’idea dell’ordine di grandezza dei numeri. Inoltre questa area di contenuto riguarda la comprensione delle dimensioni relative, il riconoscimento di modelli numerici e l’uso di numeri per rappresentare quantità e attributi quantificabili degli oggetti del mondo reale (stime e misure)

29. Quantità PISA Quantificare per organizzare larealtà. Tra i suoi aspetti più importanti vi sono la comprensione delle dimensionirelative, il riconoscimento di modelli numerici e l’uso di numeri per rappresentarequantità e attributi quantificabili degli oggetti del mondo reale(misure e conteggi). Inoltre, la quantità ha a che fare con l’elaborazione e lacomprensione di numeri rappresentati in vari modi. Ragionamento quantitativo.Componenti essenziali del ragionamento quantitativo sono: il concetto di numero,l’uso di diverse rappresentazioni numeriche, la comprensione del significato delle operazioni, l’avere un’idea dell’ordine di grandezza dei numeri,i calcoli eleganti da un punto di vista matematico, i calcoli mentali e le stime.

30. NUMERI INVALSI Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci. Addizione e sottrazione fra numeri naturali. Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Numeri decimali e frazioni. Frazioni equivalenti. Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali. Operazioni fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni. Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, pari dispari, doppio, metà…). Operazioni con i numeri interi. Calcolo approssimato. Potenze di numeri naturali e interi. Numeri primi. Multipli e divisori. Rapporti, percentuali e proporzioni. Numeri decimali limitati e illimitati periodici (rappresentazione decimale e frazionaria). Numeri razionali. Operazioni con i numeri razionali. Numeri decimali non periodici.

31. 4. Incertezza • è l’idea chiave che si collega a fenomeni e relazioni di tipo statistico e probabilistico che acquistano un peso sempre maggiore nella nostra società dell’informazione. Attività e concetti matematici specifici in questo ambito sono la raccolta e l’analisi dei dati, la loro rappresentazione/visualizzazione, la probabilità e l’inferenza statistica.

32. Incertezza PISA L’attuale “società dell’informazione” offre una gran quantità di informazioni,presentandole spesso come precise, scientifiche e dotate di un certo gradodi certezza. Nella vita quotidiana, tuttavia, ci imbattiamo in risultati elettoraliincerti, crolli del mercato azionario, previsioni del tempoinattendibili, e molte altre dimostrazioni dell’incertezza del nostro mondo. La constatazione di tale incertezza chiama in causa due argomenti tra loro correlati:i dati e il caso. Tali fenomeni sono oggetto di studi matematici nella statistica e nella teoria della probabilità. Attività e concetti matematici specifici in questo ambito sono la raccolta e l’analisidei dati, la loro rappresentazione o visualizzazione, la probabilità e l’inferenzastatistica.

33. MISURA, DATI PREVISIONI INVALSI Il collettivo statistico e i suoi elementi. Prime rappresentazioni di dati (tabelle, pittogrammi, grafici a barre, ecc.). Caratteri qualitativi e quantitativi. Moda, mediana e media aritmetica. Istogrammi. Calcolo di frequenze relative e percentuali. Diagrammi di vario tipo. Evento certo, possibile e impossibile. Campione estratto da una popolazione: casuale e non casuale. Probabilità di un evento: valutazione della probabilità di eventi elementari ed equiprobabili. Semplici valutazioni di probabilità di un evento a partire da dati statistici. Misure di grandezze discrete per conteggio. Misure di grandezze continue attraverso oggetti e strumenti. Il Sistema Internazionale di misura. Stime e approssimazioni. Notazione scientifica.

34. Il problema delle omissioni

38. Alcune Prove

39. Situazioni e contesti • Personale: rappresenta la situazione più vicina allo studente in quanto riguarda la sua vita personale; • Scolastica/Occupazionale: riguarda la vita scolastica dello studente o contesti lavorativi o riferiti al tempo libero; • Pubblica: si riferisce a contesti che riguardano la comunità locale o la società in generale, così come la si incontra nella vita quotidiana; • Scientifica: tale situazione riguarda quei quesiti in cui il riferimento alla matematica è più esplicito, cioè in cui vi è una stretta connessione tra il contesto del problema e la matematica che vi è alla base.

40. Raggruppamenti di competenze

41. Ripartizione dei quesiti

42. Esempi di quesiti del Raggruppamento della RiproduzioneMatematica: esempio 5Risolvi la seguente equazione 7x – 3 = 13x + 15Matematica: esempio 6Qual è la media tra 7, 12, 8, 14, 15, 9?Matematica: esempio 7Scrivi 69% sotto forma di frazioneMatematica: esempio 8La linea m è detta _____________del cerchioMatematica: esempio 9Su un libretto di risparmio bancario vengono depositati 1000 zed, a un interesse del 4%. Quanti zed ci saranno sul conto bancario dopo un anno?

44. Tipo di quesito: domanda a scelta multipla Raggruppamento di competenze: connessioni Idea chiave: cambiamento e relazioni Situazione: pubblica

45. Tipo di quesito: domanda a scelta multipla Raggruppamento di competenze: connessioni Idea chiave: cambiamento e relazioni Situazione: pubblica

46. Tipo di quesito: domanda aperta a risposta articolata Raggruppamento di competenze: riflessione Idea chiave: cambiamento e relazioni Situazione: pubblica

48. Tipo di quesito: domanda a scelta multipla Raggruppamento di competenze: connessioni Idea chiave: incertezza Situazione: pubblica

49. Tipo di quesito: domanda aperta a risposta articolata Raggruppamento di competenze: connessioni Idea chiave: quantità Situazione: pubblica

50. Yuri: Qua appunto ci chiede qual è il prezzo minimo per…montare appunto uno skateboard da solo …… senza comprarlo già completo e quindi il prezzo minimo del tutto sono 10 ZED, cioè che è il set di accessori…e invece il prezzo massimo è 65 ZED, per la tavola. Tipo di quesito: risposta aperta univoca Livello di difficoltà: 2 Risposte corrette italiane: 61% - 12% Risposte corrette OCSE: 67% - 11% Omissioni italiane: 7% Omissioni OCSE: 5% Alessandro:Prezzo minimo è questo qui…il set di 2 blocchi…che c’è solamente….no, un momento… aspetti…faccio meglio…no, ho sbagliato…..mi sono corretto…questo qui..un set di accessori, cuscinetti a sfera, placchette di gomma, dadi e viti…perché c’è il prezzo di 10…che scrivo 10 o 20? Mentre il prezzo massimo, si vede ad occhio è skateboard completo 82 o 84.