Matematica della Distanza

1. Matematica della Distanza Fabio Bagagiolo Università degli Studi di Trento Liceo Scientifico “G. Galilei” – Belluno Febbraio 2007

2. MATEMATICA • “Disciplina che si avvale di metodi deduttivi per lo studio di insiemi dotati di strutture e per l’applicazione dei suoi risultati alle scienze.”

3. DISTANZA • “Intervallo di spazio che intercorre tra due cose, luoghi o persone”. • (mat.) - di due punti, “lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti”. • Vedremo che non ci occuperemo solo di punti e di segmenti che li uniscono.

4. MATEMATICA DELLA DISTANZA • Potremmo dire che matematica della distanza significa “disciplina che si avvale dei metodi deduttivi per lo studio di insiemi dotati della struttura distanza, cioè studio degli spazi che intercorrono tra gli elementi dell’insieme”. • Daremo un breve cenno alla definizione astratta di insiemi dotati della struttura di distanza, gli spazi metrici.

5. Indice • Distanza di due punti nel piano: come si calcola; • Altri tipi di “distanze”; • Generalizzazione del concetto di distanza: proprietà che esso deve soddisfare; • Argomenti correlati: topologia, curve di lunghezza minima, geometrie non euclidee, approssimazione.

6. DISTANZA DI DUE PUNTI NEL PIANO

7. Distanza euclidea nel piano (teorema di Pitagora)

8. Euclide di Alessandria325 a. C. circa – 265 a. C. circa

9. Pitagora di Samo 569 a. C. circa – 475 a. C. circa

10. Distanza euclidea nello spazio 3D • La distanza di due punti P e Q, di coordinate rispettivamente • è

11. Q P

12. La distanza (euclidea) di due punti è: • la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei punti

13. ALTRI TIPI DI DISTANZE

14. Tassista a Manhattan

16. Il Tassista a Manhattan B A

17. Il Tassista a Manhattan B ??? A

18. Il Tassista a Manhattan B Distanza (A,B): Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari. Totale: 12 dollari A

19. Il Tassista a Manhattan B Distanza (A,B): Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari. Totale: 12 dollari A

20. Cosa significa nel piano Cartesiano? • Distanza del tassista

21. Distanza euclidea e distanza del tassista A=(5,2) 2 B=(7,1) 1 5 7 (distanza euclidea) (distanza del tassista)

22. Il Tassista in Promozione • E se il tassista di Manhattan è in vena di sconti? e fa la seguente promozione: • Paghi solo il pezzo di blocchi, verticale o orizzontale, più lungo che mi fai percorre. • Esempio: se si percorrono tre blocchi in orizzontale e due in verticale, si paga solo il tragitto pari ai blocchi in orizzontale

23. Il Tassista a Manhattan, scontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali A

24. Il Tassista a Manhattan, scontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i tre blocchi orizzontali. 2 dollari a blocco: Totale: 6 dollari (invece che 10) A

25. Nel piano Cartesiano • Distanza del tassista scontato (distanza infinito)

26. Distanza euclidea, distanza del tassista e distanza infinito A=(5,2) 2 B=(7,1) 1 5 7 (distanza euclidea) (distanza del tassista) (distanza infinito)

27. SUL CONCETTO DI DISTANZA

28. Abbiamo visto tre possibili distanze tra i punti del piano e le loro rispettive formule analitiche

29. Distanza eucildea

30. Distanza del tassista

31. Distanza infinito

32. Alcune domande • Quante distanze possiamo definire tra i punti del piano? • Qualunque formula analitica che coinvolge le coordinate dei punti definisce una distanza tra di essi? Per esempio

33. Alcune domande • Ma cosa intendiamo per “distanza” tra i punti? • Quali proprietà deve soddisfare una formula analitica per poter rappresentare un “buon concetto” di distanza? • Siamo in grado di identificare le proprietà essenziali che il nostro concetto intuitivo di distanza deve soddisfare?

34. Alcune domande • E se individuiamo queste proprietà essenziali, siamo in grado di formalizzarle in modo astratto, e quindi poterle applicare a situazioni ben diverse tra loro? • PROVIAMOCI !

35. Riprendiamo l’esempio fatto poco fa. • E’ un “buon concetto” di distanza? • Calcoliamo • Ci può andare bene? • Certo che no!

36. Se la distanza è, in qualche modo, legata a lunghezze di strade percorse, non possiamo accettare che la distanza tra due punti possa essere un valore negativo.

37. Tassista a Manhattan superscontato • Supponiamo ore che il solito tassista a Manhattan faccia una promozione maggiore rispetto a quella precedente (si paga solo il tragitto, orizzontale o verticale, più lungo) • Supponiamo che dica: si paga solo il tragitto più corto dei due (verticale o orizzontale).

38. Il Tassista a Manhattan, superscontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali A

39. Il Tassista a Manhattan, superscontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i due blocchi verticali 2 dollari a blocco, totale 4 dollari (anziché 6 o 10) A

40. Ma conviene al tassista di Manhattan fare questo tipo di sconto? • Forse, qualche volta no! • Infatti, consideriamo la seguente situazione:

41. Il Tassista a Manhattan, superscontato A B Tre blocchi orizzontali + Zero blocchi verticali Totale: corsa a costo zero!

42. Il tassista superscontato nel piano cartesiano • In coordinate cartesiane equivale alla seguente formula, per calcolare la distanza:

43. Ma, per esempio succede che: • Quindi, i due punti diversi (1,3) e (100,3) avrebbero distanza nulla! • Questo non ci va bene! Due punti diversi non possono avere distanza nulla tra loro!

44. Definitezza positiva • Riassumendo quanto detto finora: condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa sia definita positiva, e cioè che: • Assuma solo valori maggiori o uguali a zero; 2) Il valore zero venga raggiunto solamente quando si calcola la distanza di un punto da se stesso.

45. Altro esempio • Consideriamo la formula • Questa è definita positiva, ma ha un altro difetto. Infatti • Questa distanza dipende dall’ordine con cui ho elencato i due punti! Non è simmetrica!

46. Simmetria • Condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa sia simmetrica, cioè la distanza di A da B sia la stessa distanza di B da A. Ovvero • d(A,B)=d(B,A). • La distanza non deve dipendere dall’ordine in cui elenco i due punti.

47. Ancora un’altra considerazione • Abbiamo visto che, in un qualche modo, la distanza è legata alla lunghezza della strada che devo percorrere per passare da un punto all’altro. Questo all’interno delle strade che mi sono consentite (il segmento per la distanza euclidea, la spezzata per la distanza del tassista ecc..)

48. Ancora un’altra considerazione • E’ intuitivo che, se devo andare dal punto A al punto B, ma decido di passare prima anche dal punto C, la lunghezza della strada percorsa allora aumenta, a meno che il punto C non si trovi proprio sulla strada tra A e B, nel qual caso la lunghezza resta invariata.

49. Disuguaglianza triangolare B B C C A A

50. Disuguaglianza triangolare • Condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa soddisfi alla disuguaglianza triangolare