الفصل الأول: المعادلة الأساسية للفائدة البسيطة والجملة

1. الفصل الأول:المعادلة الأساسية للفائدة البسيطة والجملة د.آسية فرحاتي

2. الجدارة • بعد الانتهاء من دراسة هذا الفصل يتوقع من الطالبة أن تكون قادرة على: 1- فهم كيفية استخدام مختلف أشكال الفائدة البسيطة 2- فهم العلاقة بين مختلف النسب البسيطة و استخداماتها 3- فهم الفرق بين الفائدة التجارية والفائدة الصحيحة

3. مقدمة • تعتبر الرياضيات المالية أو ما يسمى برياضيات “التمويل والاستثمار“ أحد أهم الأدوات الرياضية التي تساعد الأفراد ومؤسسات الأعمال في اتخاذ قرارات الاستثمار بصورة سليمة وذلك لتحقيق أفضل نتائج مالية ممكنة. • تعتمد معظم المعاملات المالية والتجارية من شراء عقارات أو سيارات...بالتقسيط بدرجة كبيرة على عنصر الفائدة من العملية الاستثمارية أو بعبارة أخرى على العائد من استثمار رأس المال

4. تعريف الفائدة • الفائدة هي المبلغ الذي يدفع مقابل استخدام رأس المالأو هو عبارة عن التعويض أو الأجر مقابل استخدام رأس المال المستثمر لمدة زمنية معينة ويعبر عنه عادة بنسبة مئوية تسمى سعر الفائدة أو معدل العائد

5. أنواع الفائدة

6. الفائدة البسيطة • الفائدة البسيطة هي العائد الذي يحصل عليه المستثمر نتيجة استخدام أمواله خلال مدة زمنية معينة ، فإذا أودع شخص مبلغا من المال في أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة متفق عليه ، فانه يحصل من البنك في نھاية مدة الاستثمار على المبلغ الذي أودعه بالإضافة إلى الفائدة المستحقة له من استثمار ھذا المبلغ لدى البنك • الفائدة البسيطة هي كذلك الأجر الذي يدفعه المدين إلى دائنه نتيجة استخدامه لأموال دائنة في نھاية مدة زمنية معينة ، فإذا اقترض شخص مبلغا من المال من أحد البنوك لمدة معينة وبمعدل فائدة متفق عليه ، فانه يدفع إلى البنك في نھاية مدة القرض المبلغ الذي اقترضه بالإضافة إلى الفائدة المستحقة عليه من اقتراض ھذا المبلغ من البنك

7. الفائدة البسيطة • تستخدم الفائدة البسيطة عند اقتراض أو استثمار الأموال لفترة زمنية قصيرة الأجل (عادة أقل من سنة) وتحتسب دائما على أصل المبلغ عن كل وحدة زمنية أي أنها لاتتغير من فترة زمنية إلى أخرى عند ثبات أصل القرض أو أصل المبلغ المستثمر

8. عناصر الفائدة قيمة الفائدة تتأثر بثلاثة عناصر أساسية هي: • معدل الفائدة :يعبر عنه بنسبة مئويّة على أساس سنوى ويرمز له بالرمز (ع) • الفترة الزمنية أو مدة الإستثمار ويرمز لها (ن) • أصل المبلغ الموجود أو المبلغ المستثمر: يرمز له (أ) • الفائدة يرمز لها بالرمز ف • جملة المبلغ أو مبلغ السداد لقرض أو المبلغ المستحق لوديعة ما يرمز له ج

9. المعادلة الأساسية للفائدة البسيطة

10. ايجاد الفائدة البسيطة لمبلغ واحد:أمثلة • أودع شخص 1000 ريال لمدة 5 سنوات بمعدل فائدة 8 % - ماهو مقدار الفائدة التي يحصل عليها في نهاية المدة ؟ • ف = أ×ع×ن = 1000×100/8×5 = 400 ريال • إستثمر شخص مبلغ من المال بفائدة بسيطة بمعدل 9 % وفى نهاية 3 سنوات كانت الفوائد = ريال1350 فما هو أصل المبلغ المستثمر؟ • أ= ف/(ع xن ) = = 1350/(100/9 x3 ) = 5000 ريال

11. تابع أمثلة • إقترض شخص مبلغ 7500 ريال من أحد البنوك التجارية بفائدة بسيطة 9 % سنويا ، وفى نهاية مدة معينة وجد أن الفوائد المستحقة عليه = 2025 ريال فما هى الفترة الزمنية ن ؟ ن = ف/ (أ xع )= سنوات

12. ملاحظات • يجب أن يكون هناك تجانس تام بين وحدةزمن معدل الفائدة ووحدةزمن المدة, فإذا كان معدل الفائدة سنويا كانت المدة بالسنوات وإذا كان معدل الفائدة شهريا كانت المدة بالشهور... • في حالة عدم وجود تجانس بين وحدة زمن معدل الفائدة ووحدة زمن المدة يجب تعديل إحداهما أو كليهما ليكونا من جنس واحد. ويفضل تعديل كل منهما إلى الأساس السنوي

13. تعديل معدل الفائدة • معدل الفائدة السنوي= المعدل الجزئي* عدد مرات استحقاق الفائدة في السنة معدل الفائدة السنوي :المعدل الشهري *12 معدل الفائدة السنوي : المعدل الربع سنوي *3 معدل الفائدة السنوي: المعدل النصف سنوي *2

14. تعديل مدة الإستثمار المدة بالسنوات= المدة الجزئية عدد شهور أو أيام السنة المدة بالسنوات )في حالة الأشهر= (عدد الأشهر÷12 المدة بالسنوات في حالة الأسابيع:عدد الأسابيع ÷ 52 المدة بالسنوات )في حالة الأيام(= عدد الأيام ÷ 360 في حالة الفائدة التجارية

15. أمثلة • إقترض شخص ميلغ 15000 ريال من أحد البنوك التجارية لمدة 25 أسبوع بفائدة بسيطة 8% سنويا ، فماهى الفوائد المستحقة عليه ن = 25 أسبوع = ........ سنة ؟ ف = أ×ع×ن = 1500×× ف = 576.92 ريال

16. أمثلة ما هو معدل الفائدة إذا كان أصل المبلغ 1200 ريال وأصبح بعد 60 يوم 1240 ريال ؟ الحل: المعدل = مبلغ الفائدة / (المبلغ x المدة) =(1240- 1200) / (1200 ×60 /360) = 20 %

17. مثال • إقترض شخص مبلغ 25000 ريال من أحد البنوك التجارية لمدة 4 أشهر بفائدة بسيطة 9% سنويا • فما مقدار الفوائد • ف = أ×ع×ن • أ = 25000 ريال • ع = 0.09 • ن = 12/4 سنة • ف = 750 ريال

18. أمثلة:ص06 • احسب الفائدة البسيطة المستحقة في الحالات التالية: • مبلغ 10000 ريال لمدة 3 سنوات بمعدل فائدة ربع سنوي 2% الحل: • أ= 10000 ريال ع= 2% *4= 8% ن= 3 ف=؟ • ف= أ*ع*ن • ف= 10000*100/6*3= 1800 ريال

19. أمثلة:ص06 • مبلغ 4000 ريال لمدة 7 شهور بمعدل فائدة 3% كل 4 شهور...ماهي قيمة الفائدة؟ • الحل • أ= 4000 ريال ع= 3%*3= 9% ن=12/7 ف=؟ • ف= أ* ع* ش/12 • ف= 4000*100/9*12/7=210 ريال

20. أمثلة:ص06 • مبلغ 6000 ريال لمدة 3 سنوات و 4 شهور بمعدل فائدة نصف سنوي 5% • الحل • أ= 6000 ريال ع= 5%*2 =10% ن= 12/4= 12*3+4 12 • ن=12/40 • ف= أ*ع*ش/12 • ف=6000*100/10*12/40= 2000 ريال

21. أمثلة:ص06 • مبلغ 48000 ريال لمدة 60 يوما بمعدل فائدة 8% سنويا • الحل • أ=48000 ريال ع=8% ن=360/60 ف=؟ • ف= أ *ع * ن • ف= 48000* 100/8* 360/60= 640 ريال

22. أمثلة:ص06 • مبلغ 30000 ريال لمدة 130يوما بمعدل فائدة ثلث سنوي 4% • الحل • أ=30000 ريال ع= 4%*3=12% ن=360/130 ف=؟ • ف= أ * ع * ن • ف= 30000 *12%* 360/130= 1300 ريال

23. ملاحظات

24. مثال • إذا استثمر شخص مبلغ 10000 ريال في 14 ربيع الأول 1434 بمعدل فائدة 10 % سنويا فما هو مقدار الفوائد المستحقة له في 6 جمادي الآخرة من نفس العام • الحل • يهمل أول أيام الاستثمار وهو 14 ربيع الاول ويحسب آخر أيام الاستثمار وهو يوم 6 جمادي الآخرة • مدة الاستثمار = المدة الباقية من ربيع الاول+ربيع الثاني+جمادي الاولى+جمادي الآخرة • = (30-14)+ 29+ 30 +6=81 يوما • ف= أ*ع*ن= 10000*100/10*360/81= 225 ريال

25. إيجاد الفائدة البسيطة لعدة مبالغ غير متساوية • تستخدم طريقة النمر لحساب مجموع الفوائد المستحقة على استثمار عدة مبالغ مختلفة (غير متساوية) لمدة استثمارية مختلفة وبمعدل فائدة مشترك بينها, وذلك بدلا من حساب فائدة كل مبلغ مستثمر على حدة وجمع الفوائد الناتجة • النمر عبارة عن حاصل ضرب كل مبلغ استثماري* مدة استثماره • مجموع النمر= المبلغ الأول * مدة استثماره + المبلغ الثاني * مدة استثماره + المبلغ الثالث *مدة استثماره...........

26. إيجاد الفائدة البسيطة لعدة مبالغ غير متساوية • إذا كانت المدة بالشهور: • مجموع الفوائد = مجموع النمر الشهرية *معدل الفائدة 12 إذا كانت المدة بالأيام : مجموع الفوائد التجارية = مجموع النمر اليومية * معدل الفائدة 360

27. مثال • استثمر شخص المبالغ التالية: • 5000 ريال لمدة 8 شهور • 6000 ريال لمدة 10 شهور • 4000 ريال لمدة 5 شهور احسبي الفوائد البسيطة المستحقة على هذه المبالغ إذا كان معدل الفائدة السنوي 8%

28. الحل • نمر المبلغ الأول = 5000*8=40000 • نمر المبلغ الثاني= 6000*10=60000 ريال • نمر المبلغ الثالث= 4000*5= 20000 ريال • مجموع النمر= 40000+60000+20000= 120000 ريال • مجموع الفوائد= مجموع النمر الشهرية *معدل الفائدة 12 120000*100/8= 800 ريال 12

29. مثال • شخص مدين بالمبالغ التالية: • 1000 ريال لمدة 40 يوما • 2000 ريال لمدة 50 يوما • 3000 ريال لمدة 20يوما احسب الفوائد البسيطة على هذه المبالغ إذا كان المعدل السنوي للفائدة 9%

30. الحل • مجموع النمر = (1000*40)+ (2000*50) + (3000*20) = 40000+100000+ 60000=200000 مجموع الفوائد= مجموع النمر اليومية * معدل الفائدة 360 = 200000 * 100/9 = 50 ريال 360

31. المعادلة الأساسية للجملة بفائدة بسيطة

32. المعادلة الأساسية للجملة بفائدة بسيطة • ج = أ ( 1+ع ن ) • أ= جـ 1+ع ن • ع =جـ - أ = ف أ*ن أ*ن • ن = جـ - أ = ف أ* ع أ*ع

33. ايجاد جملة مبلغ واحد مثال • إذا استثمر شخص مبلغ 20000 ريال بمعدل فائدة بسيطة 10% سنويا. أوجد جملة المستحق له في نهاية 6 سنوات. الحل جـ = أ (1+ع ن) • جـ = 20000 ( 1+ 100/10 *6) = 20000 (1+0,6) = 32000 ريال • حل آخر: • ف = أ*ع * ن = 20000 * 100/10*6= 12000 ريال • جـ = أ + ف = 20000 + 12000= 32000 ريال

34. مثال • اقترض شخص مبلغا ما بمعدل فائدة بسيطة 9% سنويا, وفي نهاية 5 سنوات وجد أن جملة المستحق عليه 17400 ريال, احسب أصل المبلغ المقترض الحل أ= ؟ ع = 9% ن = 5 سنوات جـ= 17400 ريال أ= جـ = 17400 = 17400 1+ ع ن 1+100/9*5 1+0.45 أ= 12000 ريال

35. إيجاد جملة عدة مبالغ غير متساوية • جملة عدة مبالغ غير متساوية القيمة= مجموع المبالغ + مجموع فوائدها • مجموع المبالغ= المبلغ الأول + المبلغ الثاني+.........المبلغ الأخير • مجموع الفوائد يمكن الحصول عليها بطريقة النمر: • مجموع الفوائد= مجموع النمر الشهرية * معدل الفائدة (في حالة المدة بالشهور) 12 • مجموع الفوائد= مجموع النمر الشهرية * معدل الفائدة (في حالة المدة بالأيام) 360 معدل الفائدة = مجموع الفوائد *36000 (في حالة المدة بالأيام) مجموع النمر الشهرية معدل الفائدة = مجموع الفوائد *1200 (في حالة المدة بالأيام) مجموع النمر الشهرية

36. مثال • اقترض شخص المبالغ التالية بمعدل فائدة بسيطة 12 % سنويا: • 4000 ريال لمدة 3 شهور • 5000 ريال لمدة 4 شهور • 6000 ريال لمدة 5 شهور • المطلوب حساب جملة المستحق عليه في نهاية المدة

37. الحل • مجموع المبالغ= 4000+5000+6000= 15000 ريال • مجموع النمر الشهرية= 4000*3+5000*4+6000*5 • مجموع النمر الشهرية = 12000+20000+30000= 62000 ريال • مجموع الفوائد= مجموع النمر الشهرية * معدل الفائدة 12 = 62000 * 12 = 620 ريال 12 100 جملة المستحق= مجموع المبالغ + مجموع الفوائد = 15000+ 620= 15620 ريال

38. مثال • استثمر شخص المبالغ التالية: • 2500 ريال لمدة 60 يوما • 3000 ريال لمدة 70 يوما • 6000 ريال لمدة 80 يوما • فإذا وجد أن جملة المستحق له 11640 ريال فما هو معدل الفائدة البسيطة المستخدم

39. الحل • مجموع المبالغ= 2500+3000+6000= 11500 ريال • مجموع الفوائد = جملة المبالغ – مجموع المبالغ = 11640- 11500= 140 ريال مجموع النمر اليومية= 2500*60+3000*70+6000*80 = 150000+210000+480000= 840000 ريال معدل الفوائد = مجموع الفوائد*360 نسبة *100 )= 140*36000=6% مجموع النمر اليومية 840000

40. مثال • استثمر شخص المبالغ التالية: • 2000 ريال لمدة 5 شهور • 8000 ريال لمدة 4 شهور • ؟؟؟؟؟ لمدة 6 شهور • فإذا علمت أن جملة المستحق له 13400 ريال وأن معدل الفائدة البسيطة المستخدم هو 8% سنويا فما أصل المبلغ الثالث؟

41. الحل • مجموع النمر للمبلغين الأول والثاني= 2000*5+8000*4 = 10000+32000= 42000 ريال • مجموع الفوائد للمبلغين الأول والثاني= مجموع النمر الشهرية *معدل الفائدة 12 = 42000 * 8 = 280 ريال 12 100 جملة المبلغين الأول والثاني= مجموع المبلغين + مجموع فوائدهما = 2000+8000+280 = 10280 ريال جملة المبلغ الثالث= جملة المبالغ الثلاثة - جملة المبلغين الأول والثاني = 13400 – 10280=3120 ريال أصل المبلغ الثالث= جـ = 3120 = 3000 ريال 1+ع ن 1+100/8 +12/6