Seções cônicas: hipérbole

1. Seções cônicas: hipérbole

2. Seções cônicas Hipérbole • Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é uma constante. A distância entre F1 e F2 é chamada de distância focal. • Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices da hipérbole, o segmento A1A2 é chamado de eixo real e o segmento B1B2 é chamado de eixo imaginário.

3. Seções cônicas Equação da hipérbole no plano cartesiano • Podemos facilitar a obtenção da equação de uma hipérbole colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. • Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

4. Seções cônicas Equação da hipérbole no plano cartesiano • Podemos facilitar a obtenção da equação de uma hipérbole colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0, 0) fique na metade do caminho entre os focos. • Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

5. Seções cônicas Determinação das coordenadas dos vértices • Como b2 = c2 – a2 < c2, segue que b < c. Os vértices no eixo x são encontrados fazendo-se y = 0. Então, x2/a2 = 1, assim x =  a. Os pontos (– a, 0) e (a, 0) são respectivamente A1 e A2. • Os vértices imaginários no eixo y são os pontos (0, b) e (0, – b), que são respectivamente B1 e B2.

6. Seções cônicas Invertendo o eixo • Se transferirmos o eixo real de uma hipérbole para o eixo y, obteremos resultados análogos. • Observe que todos os pontos notáveis da hipérbole trocam de lugar, passando a ser F1(0, c), F2(0, – c), A1(0, a),A2(0, – a), B1(– b, 0) e B2(b, 0). • Chamando de 2a a diferença das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da hipérbole aos focos, obtemos a equação ao lado (a demonstração é análoga ao caso anterior).

7. Seções cônicas Equação geral da hipérbole com centro O´(xo, yo) • Usamos até agora como centro da hipérbole a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu centro para qualquer ponto O´(xo, yo). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir.

8. Seções cônicas Assíntotas da hipérbole • Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai ficando muito grande, os valores de x2 – a2 vão se aproximando de x2 porque a2 vai se tornando desprezível. • Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e III, mas nunca astocará. As retas II e III são as assíntotas da hipérbole.

9. Seções cônicas Assíntotas da hipérbole • Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem, as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole. • Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro está na origem,a é igual a b e suas assíntotas são y =  x.

10. Seções cônicas Assíntotas da hipérbole • Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal) e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole equilátera de centro qualquer são y – yo = (x – xo).

11. Seções cônicas Exercícios resolvidos 1. Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole x2/16 – y2/9 = 1. Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da hipérbole está na origem e seu eixo real sobre o eixo x, então suas assíntotas são y =  3x/4. Como c2 = a2 + b2, então c = 5. Os focos são (– 5, 0) e (5, 0). 2. Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, 1) e (0, –1) e assíntota y = 2x. Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo real sobre o eixo y, então a sua equação é da forma y2/a2 – x2/b2 = 1. Temos que a = 1 e b = 1/2. Como c2 = a2 + b2, então c = √5/2. Os focos são (0, √5/2) e (0, – √5/2) e a equação é y2 – 4x2 = 1.

12. Seções cônicas Exercícios propostos 1. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole 2y2 – 3x2 – 4y + 12x + 8 = 0. 2. Esboce o gráfico de y2 – x2 = 4. 3. (Fuvest-SP) A equação de uma das assíntotas da hipérbole de equação x2/16 – y2/64 = 1 é: a) y = 2x – 1 b) y = 4x c) y = x d) y = 2x + 1 e) y = 2x 4. (Fuvest-SP) Determine as equações das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não intersectam a curva do plano dada pela equação x2/4 – y2/9 = 1.