Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

1. Sistem Delay (Sistem Antrian/Delay System)

2. Antrian M/M/1 • Dalam antrian M/M/1: • Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov) • Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov) • Hanya ada satu server • Disiplin antrian: FIFO • Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:

3. Analisa antrian M/M/1 • Misalkan Pn( t ) menyatakan peluang adanya n customers di dalam antrian pada waktu t • Peluang adanya n customers pada waktu t+∆t dinyatakan sebagai berikut bila ∆t kecil: • Pn( t + ∆t )= Pn( t )[(1−λ∆t)(1−µ∆t )+ λ∆t µ∆t ] + Pn − 1( t ) [ λ∆t ( 1 − µ∆t ) ] + Pn + 1( t ) [ µ∆t ( 1 − λ∆t ) ] = [1−(λ + µ)∆t]Pn(t)+λ∆t Pn−1(t) + µ∆t Pn+1( t ) (orde kedua∆t2 diabaikan)

4. Persamaan tadi merupakan differential-difference equation • Jika kita hanya memperhatikan nilai stasioner Pn(t→∞), yang dinyatakan oleh Pn , faktor waktu dapat dihilangkan dan persamaan-perbedaan (difference equation) berikut dapat diperoleh : ( λ + µ )Pn = λ Pn − 1+ µPn + 1 • Ini merupakan suatu homogenous second-order difference equation • Metoda standard untuk penyelesaiannya adalah dengan mengasumsikan bahwa bentuk solusinya adalah Pn= Aρn • Maka kita memperoleh hasil berikut P0 = Aρ0 =A, sehingga kita dapatkan Pn= P0ρn • Dengan substitusi, ρ dapat dinyatakan sebagai λ/µ • Dengan demikian, solusinya adalah Pn =P0ρn dimana ρ = λ/µ

5. Untuk menentukan P0, kita nyatakan bahwa maka akan diperoleh P0 sama dengan (1−ρ) • Akhirnya distribusi probabilitas kondisi (state probability distribution of) antrian M/M/1 diperoleh sebagai berikut: Pn=(1 − ρ)ρn, ρ < 1 • Peluang tidak ada customer di dalam sistem adalah sama dengan P0=(1 − ρ), maka peluang sistem sibuk adalah 1−P0=ρ, • Ini merupakan alasan mengapa ρ dinyatakan sebagai utilisasi sistem antrian M/M/1

6. Ukuran antrian rata-rata dapat dihitung sebagai berikut : = n

7. Analisa menggunakan diagram kondisi • Misalnya jumlah customer di dalam sistem pada waktu t adalah N(t) • Pada awalnya tidak ada customer, maka N(0) = 0 • Ketika suatu customer bergabung dengan antrian, nilai N(t) naik 1 • Setelah suatu customer meninggalkan antrian, nilai N(t) turun 1 • Jumlah N(t) menyatakan kondisi (state) sistem • Jika sistem diamati satu kali setiap ∆t, sistem hanya akan berubah dari suatu kondisi ke kondisi terdekat dari suatu pengamatan yang berurutan, karena jumlah customers hanya dapat memiliki kemungkinan berikut : • Akan sama, atau • Naik 1, atau • Turun 1

8. Transisi kondisi (state transition) untuk antrian M/M/1 dikenal sebagai suatu birth-death process: • Perhatikan bahwa pada diagram di atas, transisi ke kondisi yang sama telah diabaikan karena transisi seperti ini tidak mempengaruhi hasil yang akan kita peroleh untuk sistem antrian yang akan kita diskusikan

9. Kesetimbangan aliran (flow balancing) • Diasumsikan bahwa sistem antrian akan menjadi setimbang setelah beberapa saat • Dalam kondisi setimbang, peluang untuk memasuki suatu kondisi akan sama dengan peluang untuk meninggalkan kondisi tersebut • Ini merupakan konsep kesetimbangan aliran (flow balancing) dan diilustrasikan dalam diagram berikut ini (aliran pada state yang diberi lingkaran elips (aliran masuk/keluar kondisi n) adalah setimbang):

10. Persamaan berikut dapat diperoleh : • Memasuki kondisi n: λPn−1 + µPn+1 • Keluar dari kondisi n : ( λ + µ )Pn • Dengan menggunakan kesetimbangan aliran, kita dapatkan ( λ + µ ) Pn = λ Pn − 1 + µPn + 1 • Yang sama dengan persamaan yang telah kita peroleh sebelumnya

11. Kondisi kesetimbangan aliran akan memberikan : λPn = µPn+1, atau Pn+1 = ρPn , untuk n = 1, 2, … • Solusi untuk persamaan ini adalah Pn = ρn P0 • Dan hasil serupa akan diperoleh seperti yang sudah kita dapat sebelumnya

12. Throughput • Throughput, , dari suatu sistem antrian adalah jumlah customer rata-rata yang telah dilayani, atau keluaran dari antrian, per satuan • Pada antrian M/M/1, dengan adanya buffer yang berukuran tak terhingga, maka buffer tidak akan pernah overflows sehingga setiap job dapat dilayani • Dengan demikian, throughput adalah sama dengan laju kedatangan rata-rata yaitu  = λ

13. Throughput dapat pula dihitung dengan cara menganalisa server • Peluang bahwa server pada antrian M/M/1 idle adalah P0, maka prosentase waktu dimana server sibuk adalah 1−P0 • Ketika sibuk, server menyelesaikan pelayanan dengan rate µ jobs/detik, maka laju rata-rata penyelesaian tugas server (laju ini sama dengan throughput), adalah = (1−P0)µ • Untuk antrian M/M/1, P0 = 1 − ρ, sehingga  = µ(1−P0)= µρ = µ λ/µ = λ (hasil yang sama telah kita peroleh)

14. Analisa delay untuk antrian M/M/1 • Biasanya pengetahuan tentang delay sistem diperlukan • Delay biasa disebut juga waktu respons (response time) • Delay adalah total waktu yang dihabiskan customer di dalam sistem, meliputi waktu menunggu (waiting time) dan waktu pelayanan (service time) • Bila kita nyatakan waktu menunggu sebagai W dan waktu pelayanan sebagai S maka delay (bila kita nyatakan sebagai D) adalah : D = W+S • Delay rata-rata ditentukan dengan menerapkan teorema Little

15. Teorema Little • Jumlah job rata-rata n di dalam sistem antrian pada kondisi steady-state adalah sama dengan perkalian laju kedatangan rata-rata λ dengan delay rata-rata , yaitu

16. Untuk antrian M/M/1, kita telah peroleh bahwa • Dengan menerapkan teorema Little kita peroleh: • Dimana  adalah delay rata-rata • Maka delay rata-rata dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut: • Karena µ dan λ memiliki satuan jobs per satuan waktu, maka unit time,  memiliki satuan waktu (time) per job, misalnya detik/job, atau menit /job dsb.

17. Menghitung waktu tunggu rata-rata (waiting time) • Ingat D = W + S, maka W = D-S • Dengan demikian :

18. Bila yang diketahui adalah kecepatan link dan panjang paket rata-rata maka perhatikan slide-slide berikut ini

19. Customer = paket • λ = laju kedatangan paket (packet arrival rate) (packets per time unit) • L = panjang paket rata-rata (data units) • server = link, tempat menunggu = buffer • C = kecepatan link (data units per time unit) • Waktu pelayanan = waktu transmisi paket rata-rata (packet transmission time) • 1/μ = L/C = waktu transmisi paket rata-rata • Definisi: traffic load ρ merupakan perbandingan antara laju kedatangan (arrival rate) λ dengan waktu pelayanan (service rate) μ = C/L:

20. Contoh • Misalkan ada sebuah link di antara dua paket. Asumsikan bahwa: • Rata-rata ada 10 paket baru yang datang di dalam satu detik • Panjang paket rata-rata adalah 400 bytes,dan • Kecepatan link adalah 64 kbps • Maka traffic loadadalah • Jika kecepatan link dinaikkan menjadi 150 Mbps, maka load hanya sebesar:

21. Analisa Teletraffic • Kapasitas sistem • C = kecepatan link yang dinyatakan di dalam kbps • Traffic load • λ = Laju kedatangan paket yang dinyatakan di dalam packet/s (anggap sebagai suatu variable) • L = panjang paket rata-rata di dalam satuan kbits • Quality of service (dari sudut pandang user) • Pz = peluang suatu paket harus menunggu “terlalu lama”, yakni lebih lama dari waktu referensi z • Jika diasumsikan sistem merupakan sistem antrian M/M/1, yaitu: • Kedatangan paket meruoakan proses Poisson (dengan rate λ) • Panjang paket terdistribusi exponential dengan rata-rata L • Maka hubungan kuantitatif antara ketiga faktor (kapasitas sistem,beban trafik dan quality of service) diberikan oleh rumus tunggu (waiting time formula) berikut: Catatan: Sistem hanya akan stabil bila ρ < 1, bila tidak maka jumlah paket yang mengantri akan menuju tak terhingga

22. Contoh • Asumsikan bahwa paket datang dengan laju λ = 50 packet/s dan kecepatan link adalah C = 64 kbps. Maka peluang paket yang datang menunggu terlalu lama (Pz ) (yaitu lebih lama dariz = 0.1 s) adalah • Panjang paket rata-rata di diasumsikan konstant sebesar 1 kbit • Perhatikan bahwa sistem akan stabil karena:

23. Analisa antrian M/M/1 terbatas • Kita amati suatu antrian yang memiliki satu server dan R-1 buffers • Sehingga sistem dapat menangani maksimum R customers • Nilai kondisi adalah 0, 1, 2, ... R, dan diagram kondisinya adalah sebagai berikut:

24. Dengan menerapkan kesetimbangan aliran (flow balancing): Pn = ρnP0, n ≤ R • Untuk menentukan P0, kita tahu bahwa • Maka

25. Distribusi probabilitas kondisi diperoleh sebagai berikut: • Perhatikan bahwa ρ tidak perlu kurang dari 1 • Misalnya jika ρ=1, maka Pn=P0 untuk semua n, sehingga

26. Blocking pada antrian M/M/1 yang terbatas • Jika suatu customer datang pada saat sudah terdapat R customers di dalam antrian, maka customer tersebut akan di blok (rejected) • Untuk antrian M/M/1 yang terbatas dan hanya dapat melayani maksimum R customers, probabilitas blocking PB adalah sama dengan peluang bahwa pada antrian sudah terdapat R customers, yaitu.: • Dapat dilihat bahwa jika ρ → ∞, probabilitas blocking akan cepat menuju 1, yaitu hampir semua customer di-blok

27. Throughput • Perhatikan suatu sistem antrian dengan bloking yang umum berikut ini: • Customers yang tidak di-blok akan berhasil masuk ke dalam antrian • Jumlah rata-rata customers yang tidak di-blok persatuan waktu ini adalah merupakan throughput g yaitu g = λ( 1 − PB ) • Dimana probabilitas blocking adalah PB, dan laju kedatangan adalah λ • Jika kita amati server, maka throughput adalah: g = µ( 1 − P0 )

28. Untuk antrian M/M/1/R • Maka throughput untuk antrian M/M/1/R dinyatakan oleh:

29. Antrian yang state-dependent • Pada beberapa sistem antrian, karakteristik kedatangan (arrival ) dan kepergian (departure) tidaklah tetap • Karakteristik bisa tergantung pada kondisi sistem • Laju kedatangan pada kondisi n = λn • Laju pelayanan pada kondisi n = µn Solusi Umum • Untuk memperoleh solusi umum bagi antrian yang state-dependent, kita dapat menerapkan prinsip flow balancing tetapi dengan laju kedatangan dan kepergian yang state-dependent

30. Perhatikan diagram berikut dan kita terapkan flow balancing pada state yang diberi elips: • Persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut: • ( λn + µn ) Pn = λn − 1 Pn − 1 + µn + 1Pn + 1 • Atau untuk elips berikut : • Persamaan kesetimbangan adalah sbb: • λn−1Pn−1 = µnPn

31. Yang dapat disederhanakan menjadi : • Seperti biasa, P0 dapat ditentukan dari kondisi normalisasi: • Tergantung dari apakah buffernya tak terhingga atau terbatas • Solusi umum adalah sbb:

32. Antrian M/M/2 • Antrian M/M/2 adalah antrian dengan 2 server yang identik dan satu buffer yang sama seperti diperlihatkan di bawah: • Ketika suatu customer datang, : • Dia akan dilayani oleh server manapun bila kedua server sedang idle, atau • Dilayani oleh salah satu server jika hanya ada satu server yang idle, atau • Akan menunggu di buffer sampai sebuah server bebas (akan dilayani oleh server pertama yang idle)

33. Ketergantungan laju kedatangan pada kondisi: • Laju kedatangan λ konstan dan tidak tergantung pada kondisi yaitu λn = λ • Ketergantungan laju pelayanan (service rate) pada kondisi: • Jika hanya ada 1 customer di dalam sistem, satu server akan sibuk sedangkan server lainnya idle; pada kasus ini sistem ekivalen dengan sistem yang mempunyai satu server dengan laju pelayanan µ, yaitu µ1 = µ • Jika kedua server sibuk, maka sistem antrian menjadi ekivalen dengan sistem antrian yang memiliki satu server dengan laju pelayanan 2 µ, yaitu, µ2 = 2µ, µ3 = 2µ, ... dsb, atau secara umum µn = 2µ untuk n≥2

34. Dengan ρ didefinisikan sebagai 2µ, solusi umum untuk distribusi probabilitas kondisi sistem antrian M/M/2 adalah: • Dengan ukuran buffer yang tidak terhingga, P0 dapat ditentukan sbb: • Probabilitas kondisi lainnya adalah :

35. Panjang antrian rata-rata adalah • Average response time adalah: • Throughput bila dilihat dari sisi server: • Cara lain untuk menghitung throughput adalah sbb: karena pada antrian M/M/2 tidak ada loss, throughput adalah sama dengan arrival rate λ

36. Antrian M/M/∞ • Antrian ini memiliki jumlah server yang tak terhingga, tetapi tidak memiliki buffer (karena tidak diperlukan) • Layanan diberikan langsung bila ada customer datang • Karena laju kedatangan tidak tergantung kondisi maka λn = λ untuk n=0,1,2,… • Laju pelayanan tergantung kondisi : µn = nµ untuk n=1,2,…

37. Solusi umum untuk probabilitas kondisi adalah sbb: • Untuk mencari P0 kita gunakan • Jumlah rata-rata customers adalah:

38. Karena sistem adalah non-blocking dan tidak ada loss, maka throughput pasti sama dengan laju kedatangan arrival rate λ • Tetapi jika throughput dihitung berdasarkan sudut pandang server, maka throughput dapat dihitung sebagai berikut: (perhatikan bahwa µ0 = 0) • Dengan menerapkan teorema Little, the average response time adalah:

39. Distribusi Erlang ke-2 Tutun Juhana STEI - ITB

40. Notasi Kendall dari Distribusi Erlang ke-2 adalah M/M/s • Proses kedatangan Poisson • Waktu pelayanan teridtribusi eksponensial negatif • Jumlah server sebanyak s • Buffer berukuran tak terhingga • Bila r menyatakan jumlah customer yang ada di dalam sistem (yang menunggu ditambah yang sedang dilayani), maka diagram sistem antrian M/M/s dapat dilihat di bawah ini r . . . s l m

41. ldt ldt Diagram transisi kondisi r-1 r r+1 (untuk r < s ; serupa dgn model loss system) • Bila kondisi steady state tercapai dan dengan menggunakan prinsip rate-out = rate-in maka persamaan di dalam kondisi steady state adalah sbb: (l+rm)Pr(t) = lPr-1(t) + (r+1)mPr+1(t), untuk r < s (l+sm)Pr(t) = lPr-1(t) + smPr+1(t), untuk r  s • Solusinya adalah sbb (bila a = l/m): rmdt (r+1)mdt ldt ldt (untuk r  s; karena ada sebanyak s customer yg dilayani dan sisanya sebanyak (r-s) sdg menunggu, maka peluang suatu customer selesai dilayani pada waktu t adalah smt (tdk tergantung) r) r-1 r r+1 smdt smdt

42. Jika Pr merupakan distribusi peluang pada kondisi setimbang maka kondisi normalisasi berikut akan terpenuhi • Jika a<s, maka penjumlahan pada suku kedua yang terdapat di dalam kurung [ ] akan konvergen menjadi • Dan kita akan memperoleh: • Jika a  s maka P0 akan menjadi 0 yang artinya Pr tidak ada • Karena tidak ada call yang hilang maka offered traffic harus selalu dapat diolah (carried), tetapi karena s trunk hanya dapat mengolah sebanyak s erlang, maka call yang menunggu akan sangat banyak (menuju tak hingga) sehingga sistem tidak akan setimbang (stabil/steady state) • Kondisi setimbang tercapai bila r < 1 • Ingat bahwa faktor utilisasi didefinisikan sebagai r = a/s

43. Waktu tunggu rata-rata • Peluang menunggu didefinisikan sebagai peluang suatu kedatangan harus menunggu; kita nyatakan sebagai M(0) yaitu peluang waktu tunggu melebihi 0 • Suatu customer/call harus menunggu jika dan hanya jika jumlah call yang ada di dalam sistem tidak lebih kecil dari s, maka dengan prinsip PASTA akan kita peroleh: • Persamaan di atas disebut rumus Erlang C (rumus distribusi Erlang ke-2) • Kalau kita tulis ulang akan diperoleh persamaan berikut (agar dapat dihitung menggunakan rumus rugi erlang (rumus erlang B) • Jumlah rata-rata panggilan yang menunggu diberikan oleh • Dengan menggunakan rumus Little, kita akan peroleh waktu tunggu rata-rata sbb: dimana h=1/m dan a=l/m

44. Peluang waktu tunggu melebihi t, yang kita nyatakan sebagai M(t), diberikan oleh persamaan berikut ini (untuk disiplin antrian FIFO (First In First Out)): • Peluang waktu tunggu melebihi t, dengan disiplin antrian RSO (Random Service Order) dinyatakan oleh: • Disiplin antrian seperti FIFO, RSO, LIFO dsb., diklasifikasikan sebagai non-biased discipline (penanganannya tidak tergantung waktu pelayanan) • Untuk non-biased discipline waktu tunggu rata-ratanya akan sama dengan W • Sedangkan untuk biased discipline(penanganannya tergantung waktu pelayanan), waktu tunggu akan berbeda dengan W • Contoh biased discipline adalah SSTF (shortest service time first)

45. Contoh: • Pada jaringan telepon, waktu sejak off-hook sampai mendapatkan dial-tone disebut dial-tone delay. Di dalam pemakaian praktis, peluang dial-tone delay melebihi 3 detik tidak boleh lebih daripada 1%. Dial digit receivers (register pengolah digit yang di-dial) dirancang untuk memenuhi kriteria kinerja ini. Misalnya di dalam suatu PABX yang melayani 3000 telepon diketahui bahwa setiap telepon membangkitkan rata-rata satu panggilan per jam dan waktu men-dial terdistribusi ekponensial dengan rata-rata 12 detik. Asumsikan bahwa diperlukan waktu selama 0,5 detik (tetap) untuk menghubungkan register di dalam operasi switching, maka waktu tunggu di dalam register yang diperbolehkan adalah 2,5 detik (jangan lupa dial-tone delay tidak boleh melebihi 3 detik) • Beban trafik yang diberikan kepada register adalah a=3000 x 12/3600 = 10 erlang • Jika jumlah register adalah sebanyak 17 (s=17) maka M(0)=0,0309 • Peluang waktu tunggu melebihi 2,5 detik adalah sbb: • Bila disiplin antrian adalah FIFO maka M(2,5 detik) = 0,0072 • Bila disiplin antrian adalah RSO maka M(2,5 detik) = 0,0061 • Keduanya memenuhi syarat peluang waktu tunggu melebih 2,5 detik yaitu 1% • Waktu tunggu rata-rata untuk kedua kasus adalah W=0,0529, dengan demikian dial-tone delay rata-rata adalah 0,5529 (W ditambah 0,5 detik waktu untuk menghubungkan register di dalam operasi switching)

46. Antrian M/M/s/s+m • Pada antrian ini: • Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov) • Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov) • Ada sebanyak s server • Ukuran buffer sebanyak m • Parameter sistem: • Waktu tunggu (di buffer) rata-rata (W) • Probabilitas Blocking (B) • Probabilitas suatu customer harus menunggu, M(0), atau probabilitas wajtu tunggu melebihi 0 • Probabilitas waktu tunggu melebihi t, M(t)

47. Extended Markovian Models

48. Pada model-model antrian sebelumnya yang sudah kita bahas, populasi user selalu diasumsikan tak terhingga (kecuali untuk model binomial dan Engset) • Sekarang kita akan membahas model-model Markov lain yang memiliki populasi user terbatas • Input pada model ini disebut quasi random input • Model disebut extended Markovian models • Untuk memudahkan penulisan notasi Kendall maka untuk mengindikasikan populasi pelanggan yang terbatas digunakan tanda kurung pada posisi proses kedatangan • Contoh: M(n)/M/s • Artinya: antrian dengan quasi random input dimana jumlah populasi user adalah n • Tanda kurung juga digunakan untuk menunjukkan ukuran buffer

49. M(n)/M/s(m,) Sistem dengan quasi-random input, waktu pelayanan eksponensial, dan dengan buffer yang berukuran m Diasumsikan bahwa waktu untuk meninggalkan antrian sebelum waktunya (menyerah dan tidak melanjutkan untuk menunggu (give up waiting)) terdistribusi ekponensial dengan rata-rata g-1 Persamaan-perrsamaan untuk sistem antrian ini diperlihatkan di sebelah kanan (dengan laju kedatangan dari sumber yang idle adalah  dan m-1 sebagai waktu pelayanan rata-rata) Koeffisien birth and death akan tergantung kondisi sbb: (*)

50. M/M/s(m,) Dengan membuat n   dan   0 serta nh = a, maka kita akan memperoleh persamaan-persamaan berikut dari (*)