Kaidah pencacahan
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 29

Kaidah Pencacahan PowerPoint PPT Presentation


  • 1787 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Kaidah Pencacahan. ~ Aturan pengisian tempat yang tersedia. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh : Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir , yaitu A( Adi ), B( Banu ), C ( Candra ), dan D( Dodi ).

Download Presentation

Kaidah Pencacahan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Kaidah pencacahan

KaidahPencacahan

~Aturanpengisiantempat yang tersedia

1. Aturanpengisiantempat yang tersedia

Contoh:

Padalombalari 100 meter, empatanakloloskeputaranakhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Padaperlombaantersebutdisediakanduahadiah. Adaberapakahsusunanpemenang yang mungkinmunculpadaakhirpertandingan?


Kaidah pencacahan

Jadiseluruhnyaada4 x 3 = 12 (susunanpemenang yang mungkinterjadi)

  • jawab

    Pemenang pertamadankedua yang mungkinmuncul, dapat kitasusun yaitu:

    AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

    Prosesmenentukanbanyaknyasusunanpemenangsecaraumummengikutiaturansebagaiberikut:

    Langkah1:

    Ada 4 peserta lomba yangsemuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

    Langkah2:

    Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.


Kaidah pencacahan

Contoh 2

Amaliamemiliki 4 buahkemeja, 2 buahcelanapanjangdan 3 sepatu. Adaberpacaraiadapatberpakaianlengkap?

Jawab:

Kemeja yang dapatdipilihAmaliaada 4 cara, celanapanjang 2 caradansepatu 3 cara.

Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 caraameliadapatberpakainlengkap


Kaidah pencacahan

Dari uraiantersebutdapatkitaperolehsuatukesimpulan :

Jikaterdapatbuahtempat yang tersediadengan:

n1 =banyaknyacarauntukmengisitempatpertama.

n2 = banyaknyacaramengisitempatkedua, setelahtempatpertamaterisi.

n3 = banyaknyacaramengisitempatketiga, setelahtempatpertamadankeduaterisi, dan

nk = banyaknyacaramengisitempatke – k, setelahtempat-tempatsebelumnyaterisi.

Makabanyaknyacarauntukmengisi k tempat yang tersediaadalah

Aturanini yang dimaksudsebagaiaturanpengisiantempat yang tersediaataukaidahperkalian.

n1 x n2 x n3 x … x nk.


Kaidah pencacahan

  • DefinisidanNotasifaktorial

    Definisi:

    Hasilperkaliansemuabilanganbulatpositipdarisatusampaidengan n disebut n faktorial, dandiberinotasi n!.

    jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau

    n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

    dengan 1! = 1 dan 0! = 1


Kaidah pencacahan

...

Obyek

Eksp.

B

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

Cara Eksp.

A

...

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

C

A

S, n(S) =

...

Diundiuntuk

memperebutkan 2 hadiah

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

A

B

B

...

C

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

C

...

A

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

C

3 cara

...

2 cara

B

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

Permutasi

  • Misalkandiadakanundianuntukmemperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkanhadiahituada 3 orang (A, B, dan C), adaberapacarakeduamacamhadiahitudapatdiberikankepadaparapemenang?.

  • Jawab:

Banyaknya cara: n(S) =

=

=

Menurut Prinsip Perkalian

= 3×2 = 6

=

= 3×2


Kaidah pencacahan

MMAA

MAMA

AMMA

AMAM

AAMM

MAAM

Ada 6 cara

=

6

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Adaberapacarauntukmembuatsusunanhuruf yang berbedadarikata “MAMA”?.

Jawab

=

=

=


Kaidah pencacahan

.Banyaknyacaramengambil 2 huruf A dari (7 – 4) hurufsisanyaada, danbanyaknyacaramengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) hurufsisanyaada

Makamenurutprinsipperkalianbanyaknyacarauntukmembuatsusunanhurufdarikata KAKAKKU ada:

=

×

×

=

n2

nk

n

n1

+

+

+

=

=

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Berapabanyakcarauntukmembuatsusunanhurufdarikata “KAKAKKU”?

Jawab

=

= 105 cara

Karenaada 4K, 2A, dan 1U, makabanyaknyacara =

Secaramatematikaformal, banyaknyacaramengambil 4 huruf K dari 7 hurufada

Secaraumum,

dengan


Kaidah pencacahan

Permutasi Siklis

Makaberartiketigapermutasisiklistersebutsama, yakni ABC = CAB = BCA. Untukmelihatkesamaannyaperhatikanbahwa:

CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagaititikawal).

A

C

B

C

B

A

B

A

C

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

Dari 3 tempatdudukpadapermainanrodaputaritusebenarnyahanyaada 2 saja yang berbedasusunannya, yakni ABC dan ACB. Sehinggahanyaada 2 permutasisiklis.

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

= (n – 1)!


Kaidah pencacahan

Permutasi berulang

  • Jikakitaininmenyusunkata yang terdiri 2 huruf, yang dipilihdarihuruf A, D, I, sertakata yang terbentukbolehmengandunghuruf yang sama, makakitaakanmendapatkankata:

    AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.

    Jadi, banyaknyapermutasiduahuruf yang diambildari 3 hurufdenganhuruf- hurufitubolehberulangada 9 cara.

  • Secaraumum:

    Banyaknyapermutasi r unsur yang diambildari n unsur yang tersedia (dengantiapunsur yang tersediabolehditulisberulang) adalahsebagaiberikut:

P (berulang) =nr

denganr < n


Kaidah pencacahan

Kombinasi


Kaidah pencacahan

Banyaknya

Permutasi

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan

Macam

Kombinasi

2!

2!

2!

2!

2!

2!

c1 = AB

c2 = AC

c3 = AD

c4 = BC

c5 = BD

c6 = CD

AB dan BA

AC dan CA

AD dan DA

BC dan CB

BD dan DB

CD dan DC

= 6

6 × 2!

Total= = 12 = 6 × 2

Perhatikanbahwa

12 = 6 x 2!

= x 2!


Kaidah pencacahan

Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama

Misal 4 bola akan yang diambildaridalamkotakberisi 4 bola merah, 3 bolaputihdan 2 bola hijau.Empat bola yang diambilharusterdiridari 2 bola merah, 1 bola putihdan 1 bola hijau.

Cara pengambilaninimerupakanmasalahkombinasi k unsurdari n unsurdenganbeberapaunsur yang sama.

Sehingga total carapemilihan 4 bola dari 9 bola adalah

4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1cara.


Kaidah pencacahan

  • Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn

    Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.

    Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.

    Banyak cara pengambilan adalah:

n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke


Kaidah pencacahan

PeluangKejadian

  • Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian

Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.

P(A)=

Kombinatorik

Adalahteknikmenghitungbanyaknyaanggotaruangsampeldengan :

Cara mendatar

Membuattabel

Membuat diagram pohon


Kaidah pencacahan

Hasil-hasil

Yang Mungkin

s1

s2

s3

S

s4

s5

Obyek

Eksp.

Cara Eksp.

S

s3

s1

s5

s4

s2

Eksperimen (Percobaan Acak)

  • Ada Obyek Eksperimen

  • Ada Cara Eksperimen

  • Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)

S= Ruang Sampel ={ s1 , s2, s3 , . . . , s5}

= Himpunan semua hasil yang mungkin

dalam eksperimen itu

s1,s2 , s3, . . . , s5 masing-masing

disebut titik sampel


Kaidah pencacahan

S

A

sn

s3

s2

s1

sm

S = Ruang Sampel

= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu

= {s1,s2, s3, . . . , sm , . . . , sn}

A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S

= {s1 , s2, s3 , . . . , sm}

Prinsip Penjumlahan

P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})

= jumlah peluang masing-masing titik sampel

yang ada di dalamnya


Kaidah pencacahan

Peluang Berdasar Pengambilan Sampel

  • Pengambilan Sekaligus → Kombinasi

    Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak

    diperhatikan (tak punya makna)

  • Pengambilan Satu Demi Satu

    1. Tanpa Pengembalian → Permutasi

    Pengulangan obyek eksp. tidak

    dimungkinkan dan urutan

    diperhatikan (punya makna)

    2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan

    Bukan Kombinasi


Kaidah pencacahan

Ambilacak 2 bola sekaligus.

Hasil-hasil yang mungkin?

Cara Ekp.

Hasil-hasil yang mungkin

Obyek Eksp

A

n(S) =

=

3 .

Eksp1: ambil acak

2 bola sekaligus

S

s3

s1

s2

P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =

Maka S berdistribusi seragam

P(A)

=

S

A

2

1

1

1

… s1

… s2

… s3

3

3

3

2

2

1.PengambilanSekaligus

S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A= Peristiwa terambilnya jumlahkedua nomor bola ganjil

= {s1, s3 } , n(A) = 2.


Kaidah pencacahan

Ambilacak 2 bola 1 – 1 tanpapengemb. Hasil-hasil yang mungkin?

Hasil-hasil yang mungkin

A

Cara Ekp.

… s1

Obyek Eksp

… s2

… s3

s4

s2

s6

s1

s3

Eksp 2 : ambil acak

2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian

S

… s4

… s5

… s6

3 cara

2 cara

S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil

= {s1, s3, s4 , s6 }

P(A) == = .

S

s5

n(S) =

3 × 2

6.

=

=

A

3

1

2

2

3

1

3

1

2

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =

Maka S berdistribusi seragam.

1

3

3

2

3

1

2

1

3

1

1

3

2

2

2

2. PengambilanSatudemiSatuTanpaPengembalian


Kaidah pencacahan

Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?

Hasil-hasil yang mungkin

II

A

Eksp2:ambil acak

2 bola 1-1 dengan pengemb.

I

… s1

1

2

2

… s2

… s3

S

… s7

3 cara

3 cara

S

S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.

n(S) = 3 × 3 = 9

A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.

= {s2, s4, s6 , s8}

P(A) == .

A

s7

s9

s1

s8

s5

s3

s6

s2

s4

P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =

Maka S berdistribusi seragam.

3

1

1

1

1

1

3

1

3

3

3

3

3

3

2

1

2

1

3

2

2

… s8

… s9

3.Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian


Kaidah pencacahan

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.

Fr(A) = P(A) . n

dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A

P (A) = peluang kejadian A

n = banyaknya percobaan

Contoh:

Peluangseoranganakterkenapenyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapakira- kira yang terjangkitpenyakit polio?

Jawab:

P(kenapolio) = 0,01, n= 8000

Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80

Jadi, dari 8000 anakdiperkirakanada 80 anak yang terkenapenyakit polio


Kaidah pencacahan

A’

S

A

1. Komplemen

Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A.

Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A.


Kaidah pencacahan

S

.1.4

B

.6

.8

.9

.10 .12

A

.2 .5

.7

.3 .11

2.Dua Kejadian Saling Lepas

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A={kejadian mendapatkan bilangan prima}

B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5}

Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sehingga

Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat

irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh


Kaidah pencacahan

dan

Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)

Maka = P(Ø) = 0

Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka


Kaidah pencacahan

Contoh Soal :

  • Sebuahdadudilemparkansatu kali, JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuahdadudilemparkansatu kali, makaruangsampelnyaadalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}JikaA = {kejadianmunculmatadadulebihdari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3

2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?


Kaidah pencacahan

Dua Kejadian Saling Bebas

Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang dua kejadian A dan B yangyang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)

Contoh : Misal A = kejadianmunculmatadadu 3 padapelemparanpertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =

Misal B = kejadianmunculmatadadu 5 padapelemparankedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =

Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =


Kaidah pencacahan

1. Peluangtidakterjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)

Rangkuman

2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka


Kaidah pencacahan

SEKIAN

TERIMA KASIH

SAMPAI JUMPA LAGI


  • Login