1 / 32

SISTEM PERSAMAAN LINIER [KAIDAH CRAMER]

SISTEM PERSAMAAN LINIER [KAIDAH CRAMER]. TATAP MUKA 5 OLEH: NURUL SAILA. Permutasi. Definisi :

meagan
Download Presentation

SISTEM PERSAMAAN LINIER [KAIDAH CRAMER]

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SISTEM PERSAMAAN LINIER[KAIDAH CRAMER] TATAP MUKA 5 OLEH: NURUL SAILA FAKULTAS EKONOMI UPM

  2. FAKULTAS EKONOMI UPM

  3. FAKULTAS EKONOMI UPM

  4. Permutasi Definisi: Sebuahpermutasihimpunanbilangan-bilanganbulat {1, 2, 3, …, n} adalahsebuahsusunanbilangan-bilanganbulatinimenurutsuatuaturantanpamenghilangkanataumengulangibilangan-bilangantersebut. FAKULTAS EKONOMI UPM

  5. Contoh Permutasidaribilangan-bilangan {1, 2, 3} adalah: 123 132 231 213 312 321 Umumnyahimpunan {1, 2, 3, …, n} akanmempunyai n (n-1)(n-2)…1 = n! permutasi FAKULTAS EKONOMI UPM

  6. Inversi Definisi: Sebuahinversi(invesion)dikatakanterjadidalamsuatupermutasi (j1, j2, j3,…, jn) bilamanasebuahbilanganbulat yang lebihbesarmendahuluisebuahbilanganbulat yang lebihkecil. FAKULTAS EKONOMI UPM

  7. Contoh 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Catatan: • ada 8 inversi • ada 3 inversi • ada 0 inversi FAKULTAS EKONOMI UPM

  8. PermutasiGenapdanGanjil Definisi: Sebuahpermutasidikatakangenap(even)jikajumlahinversiseluruhnyaadalahsebuahbilanganbulat yang genapdandinamakanganjil(odd)jikajumlahinversiseluruhnyaadalahsebuahbilanganbulat yang ganjil. FAKULTAS EKONOMI UPM

  9. Contoh 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Catatan: • permutasigenap • permutasiganjil • permutasigenap FAKULTAS EKONOMI UPM

  10. HasilPerkalianElementer Definisi: A adalahmatriknxn. Hasilperkalianelementerdari Aadalahsetiaphasilperkalian n entry dari A, yang tidakbolehduadiantaranya yang berasaldaribaris yang samaataukolom yang sama. FAKULTAS EKONOMI UPM

  11. Contoh Hasilperkalianelementerdari adalah: a11a22 a12a21 FAKULTAS EKONOMI UPM

  12. Hasil-hasilperkalianelementertersebutadalahhasil-hasilperkalian yang berbentuk: dimana (j1, j2, j3,…, jn) adalahsebuahpermutasidarihimpunan {1, 2, 3, …, n}. • Sebuahmatrik A yang berukuran n x n mempunyai n! hasilperkalianelementer. FAKULTAS EKONOMI UPM

  13. Contoh Tentukanhasil-hasilperkalianelementerdari: FAKULTAS EKONOMI UPM

  14. HasilPerkalianElementerBertanda Definisi: Sebuahhasilperkalianelementerbertandadari A adalahsebuahhasilperkalianelementer dikalikandengan +1 atau -1. Kita menggunakantanda + jika (j1, j2, j3,…, jn) adalahsebuahpermutasigenapdantanda – jika (j1, j2, j3,…, jn) adalahsebuahpermutasiganjil. Hasil-hasilperkalianelementerbertandadari: adalah +a11a22 , -a12a21 FAKULTAS EKONOMI UPM

  15. Tentukanhasilperkalianelementerbertandadari : FAKULTAS EKONOMI UPM

  16. Determinan Definisi: Misalkan A adalahsebuahmatrikkuadrat. Fungsideterminan (determinant function)dinyatakanolehdet, dankitamendefinisikandet(A) sebagaijumlahsemuahasilperkalianelementerbertandadari A. Contoh: Tentukandeterminandarimatrik-matrikberikut: = a11a22 - a12a21 FAKULTAS EKONOMI UPM

  17. Soal • Tentukandeterminandarimatrikberikutmenggunakandefinisi: FAKULTAS EKONOMI UPM

  18. Sifat-sifatDeterminan • Jikaelemensuatubaris/kolomsuatumatrikbujursangkarbernilai 0 makadeterminanmatriktersebut 0. • Jika A adalahmatrikbujursangkarmakadeterminan A sama dg determinan transpose A. • Jikaelemensuatubaris/kolomdarideterminan |A| dikalikan dg suatuskalar k, determinandikalikan k; jikasetiapelemensuatubaris/kolomsuatudeterminan |A| mempunyai k sebagaifaktormaka k bolehdifaktorkandari |A| >>>> OBE 1 FAKULTAS EKONOMI UPM

  19. Sifat-sifatDeterminan • Jika B diperolehdari A dg carapenukaranduabaris/kolomberdampingan, maka |B| = -|A|. • Jika B diperolehdari A dg carapenukaransebarangduabaris/kolomnyamaka |B|=-|A|. >>>>> OBE 2 • Jika B diperolehdari A dg caramembawabaris/kolomke-isepanjang p baris/kolom, maka |B| = (-1)p|A| FAKULTAS EKONOMI UPM

  20. Sifat-sifatDeterminan • Jikaduabaris/kolom A identikmaka |A|=0 • Jika B diperolehdari A dg caramenambahkansuatukelipatanskalarelemenbaris/kolompadaelemenpadanannya pd baris/kolomke-i, maka |B| = |A|. >>>>>> OBE 3 FAKULTAS EKONOMI UPM

  21. Tentukannilaideterminannya FAKULTAS EKONOMI UPM

  22. MenentukanDeterminandenganReduksiBaris (OBE) Teorema A : Jika A adalahsebuahmatrikssegitiga yang berukurannxnmakadet(A) adalahhasilperkalianentri-entripada diagonal utama, yakni, det(A) = a11 a22 a33 … ann Makadeterminandarimatrikberikut: Adalah … FAKULTAS EKONOMI UPM

  23. MenentukanDeterminandenganReduksiBaris (OBE) PemikirandasardarimetodamenentukandeterminanmatriksdenganReduksiBarisadalah: > menggunakanoperasibariselementeruntukmereduksisuatumatriksmenjadisebuahmatrikssegitiga > determinannyadptdihitungmenggunakanteorema A dimananilaideterminannyadptdiperolehmenggunakansifat-sifatdeterminan. FAKULTAS EKONOMI UPM

  24. Contoh Tentukandeterminandarimatriks-matriksberikut: FAKULTAS EKONOMI UPM

  25. Kofaktor Definisi; Misal A matrikbujursangkar dg determinan |A|. Jikaelemen pd bariske-idankolomke-j dari A dihapus, determinanmatrikbujursangkarsisanya [peringkat(n-1)] disebut minor dari A atauminordariaijdandinyatakan dg |Mij|. Minor bertanda (-1)i+j|Mij| disebutkofaktoraijdandinyatakanolehij. FAKULTAS EKONOMI UPM

  26. Kofaktor • Nilaideterminan |A| adalahjumlahhasilkaliygdiperolehdariperkaliantiapelemensuatubaris/kolom |A| dg kofaktornya. • Jumlahdarihasilkaliygdibentuk dg perkalianelemen-elemensuatubaris/kolomsuatumatrikbujursangkar A dg kofaktorpadanannyadaribaris/kolom A lainnyaadalah 0. FAKULTAS EKONOMI UPM

  27. Contoh Tentukan: • Minor a11, a12, a13. • Kofaktor a11, a12, a13. • |A| FAKULTAS EKONOMI UPM

  28. Contoh Tentukandeterminandarimatrikberikut: FAKULTAS EKONOMI UPM

  29. Kaidah Cramer Teorema (Kaidah Cramer): Jika AX = B adalahsebuah system yang terdiridari n persamaan linier didalam n bilangan yang tdkdiketahui, sehinggadet(A)  0 , maka system tersebutmempunyaisebuahpemecahan yang unik. FAKULTAS EKONOMI UPM

  30. Pemecahaniniadalah: • DimanaAjadalahmatriks yang didapatkandenganmenggantikanentri-entrididalamkolomke j dari A denganentri-entrididalammatriks, FAKULTAS EKONOMI UPM

  31. Contoh: Tentukanselesaiandarisistempersamaanberikutmenggunakankaidahcramer. FAKULTAS EKONOMI UPM

  32. TugasMandiri • TugasPertemuan5 FAKULTAS EKONOMI UPM

More Related