Frequency Domain Processing

1. Frequency Domain Processing Francesca Pizzorni Ferrarese 17/03/2010

2. Sommario • Ripasso sull’analisi di Fourier e il trattamento numerico dei segnali • Elaborazione delle immagini nel dominio della frequenza

3. Trasformata di Fourier 1-D • Ogni segnale può essere descritto dalla somma di sinusoidi con differenti ampiezze e frequenze. I comandi MatLab per calcolare la trasformata di Fourier e la sua inversa sono rispettivamente fft e ifft. • Esercizio1 • Supponiamo di avere 10 campioni di un segnale casuale (rand) • Calcolare la FFT del segnale • Calcolare la IFFT del segnale • Estrarre al parte reale della IFFT • Confrontare il risultato della IFFT con il segnale di partenza

4. Forma d’onda e spettro di ampiezza • Esercizio 2 • Supponiamo di campionare un segnale ogni 0.01 secondi per la durata di 4 secondi • Il segnale è dato dalla somma di due sinusoidi di ampiezza A 3 e 5 e frequenza f 4 e 2 (ω=2πf) rispettivamente • Generare il grafico tempo – ampiezza (usare il comando axis per aggiustare la scalatura degli assi)

5. Forma d’onda e spettro di ampiezza (cont.) • Con la Trasformata di Fourier possiamo visualizzare cosa caratterizza maggiormente il segnale. • Calcolare la fft del segnale • Calcolare il suo valore assoluto e normalizzarlo • Plottare lo spettro di ampiezza

6. Filtraggio del rumore dai segnali • Vediamo come usare la fft e la ifft per filtrare il rumore dai segnali. • Esercizio 3 • Aggiungere al segnale dell’esercizio precedente del rumore casuale • Calcolare la trasformata del segnale rumoroso • Calcolare lo spettro di ampiezza • Plottare la forma d’onda e lo spettro di ampiezza

7. Filtraggio del rumore dai segnali (cont.) • Attraverso la ifft filtriamo il rumore. Il comando fix arrotonda gli elementi del suo argomento all’intero più vicino. • Settare i numeri <100 a zero • ifft dei dati trasformati ed estrarre la parte reale • Plottare l’andamento dei campioni corretti

8. Elaborazione nel dominio della frequenza • The general idea is that the image (f(x,y) of size M x N) will be represented in the frequency domain (F(u,v)). The equation for the two-dimensional discrete Fourier transform (DFT) is: • The concept behind the Fourier transform is that any waveform that can be constructed using a sum of sine and cosine waves of different frequencies. The exponential in the above formula can be expanded into sines and cosines with the variables u and v determining these frequencies. • The inverse of the above discrete Fourier transform is given by the following equation: • Thus, if we have F(u,v), we can obtain the corresponding image (f(x,y)) using the inverse, discrete Fourier transform.

9. Visualizzazione dello spettro • Esercizio 4 • Creare un’immagine 30x30 con un rettangolo bianco su sfondo nero • Calcolare la DFT e visualizzare lo spettro di ampiezza (fft2) • Aggiungere dello zero padding per migliorare il calcolo della DFT • Shiftare la componente zero al centro dello spettro • Per migliorare la visualizzazione usare la funzione log • Suggerimento per la visualizzazione usare imshow(f,'InitialMagnification','fit')

10. Relazione fra DFT e filtraggio nel dominio spaziale • The following convolution theorem shows an interesting relationship between the spatial domain and frequency domain: • and, conversely, • the symbol "*" indicates convolution of the two functions. The important thing to extract out of this is that the multiplication of two Fourier transforms corresponds to the convolution of the associated functions in the spatial domain.

11. Relazione fra DFT e filtraggio nel dominio spaziale • The following summarize the basic steps in DFT Filtering (taken directly from page 121 of Digital Image Processing Using MATLAB): • Obtain the padding parameters using function paddedsize: PQ=paddedsize(size(f)); • Obtain the Fourier transform with padding:F=fft2(f, PQ(1), PQ(2)); • Generate a filter function, H, of size PQ(1) x PQ(2).... • Multiply the transform by the filter:G=H.*F; • Obtain the real part of the inverse FFT of G:g=real(ifft2(G)); • Crop the top, left rectangle to the original size:g=g(1:size(f, 1), 1:size(f, 2));

12. Relazione fra DFT e filtraggio nel dominio spaziale • Esercizio 5 • Caricare l’immagine garden.JPG • Applicare un filtro di Sobel1 per estrarre i contorni verticali (fspecial) sia nel dominio spaziale (imfilter) che in quello delle frequenze (utilizzare la funzione paddedsize per ottenere un campionamento più fine) • Visualizzare le due immagini filtrate 1L'operatore calcola il gradiente della luminosità dell'immagine in ciascun punto, trovando la direzione lungo la quale si ha il massimo incremento possibile dal chiaro allo scuro, e la velocità con cui avviene il cambiamento lungo questa direzione. Il risultato ottenuto fornisce una misura di quanto "bruscamente" oppure "gradualmente" l'immagine cambia in quel punto, e quindi della probabilità che quella parte di immagine rappresenti un contorno, e fornisce anche un'indicazione del probabile orientamento di quel contorno.

13. Correlazione • MATLAB uses one of two methods, correlation or convolution, to filter various images. The two operations are identical except correlation rotates the filter matrix 180o before filtering, while convolution keeps it the same. • The Fourier transform can also be used to perform correlatio. Correlation can be used to locate features within an image; in this context correlation is often called template matching.

14. Correlazione • Esercizio 6 • Caricare l’immagine text.png • Estrarre la lettera a dall’immagine e creare un template • Calcolare la correlazione C = ifft2(fft2(A).*fft2(B)); • Visualizzare la localizzazione nell’immagine della lettera a