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Filtri Multirate e Banchi di Filtri

Filtri Multirate e Banchi di Filtri. Studio ed applicazioni. Banchi di filtri. Sono sistemi che scompongono il segnale in varie “bande di frequenza” Vengono Impiegati in molteplici settori Analisi dei segnali Compressione e Codifica di segnali ed immagini Crittografia Sistemi di antenna

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Filtri Multirate e Banchi di Filtri

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Presentation Transcript

  1. Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed applicazioni

  2. Banchi di filtri • Sono sistemi che scompongono il segnale in varie “bande di frequenza” • Vengono Impiegati in molteplici settori • Analisi dei segnali • Compressione e Codifica di segnali ed immagini • Crittografia • Sistemi di antenna • Speech processing • Ecc.

  3. Filtri Multirate • Sono sistemi che operano a diverse frequenze di campionamento • Possono essere impiegati per modificare T(Es. Scalaggi di immagini, conversione di dati digitali tra diversi supporti CD, MC, … ) • Si possono impiegate per realizzare sistemi digitali piu’ semplici da un punto di vista realizzativo • Sorgono nuove problematiche • Aliasing • Imaging

  4. Blocchi Fondamentali • Decimatore • Interpolatore M L

  5. Blocchi Fondamentali (esempio) • Decimatore • Interpolatore [… 1 3 5 7…] [ …1 2 3 4 5 6 7 …] 2 [… 1 2 3 4 5 6 7… ] [ …1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7… ] 2

  6. Considerazioni • Il decimatore e l’interpolatore • Sono sistemi lineari • NON SONO tempo invarianti Dim:

  7. Considerazioni • Il decimatore e l’interpolatore • Sono sistemi lineari • NON SONO tempo invarianti • Pertanto perdono di significato alcuni strumenti quali: • risposta impulsiva • risposta in frequenza Es: [1 2 3 4 5 6 7] [1 3 5 7] 2 [0 1 2 3 4 5 6 7] [0 2 4 6]

  8. Effetti sullo spettro (Interpolatore) • Interpolatore: In particolare:

  9. Effetti sullo spettro • Interpolatore: 2 Effetto Imaging E

  10. Effetti sullo spettro (Decimatore) • Decimatore In particolare:

  11. Effetti sullo spettro (Decimatore) • Decimatore 2 Possibile effetto Aliasing !!!

  12. M  M  Interconnessione • Il segnale originale si puo’ recuperare • Con un opportuno filtro anti-imaging • Purche’ non vi sia stato aliasing • Il segnale originale deve avere banda limitata entro • NON e’ necessario che la banda sia centrata attorno allo 0 !!!

  13. M  L  Interconnessione • In generale i due blocchi non sono intercambiabili • Es: decimare ed interpolare non e’ lo stesso che interpolare e decimare • I blocchi sono invece intercambiabili se M ed L sono “primi fra loro”

  14. M  L  L  M  Interconnessione

  15. Interconnessione Pertanto i risultati sono uguali se e solo se gli insiemi dei valori realizzati da: coincidono !!! Perche’ WkL copra tutti i punti sul cerchio unitario coperti da Wk, L ed M devono essere primi fra loro

  16. LP filter L  M  LP filter Filtri • Per modificare il periodo di campionamento • Il decimatore è preceduto da un filtro anti-aliasing • L’interpolatore è seguito da un filtro anti-imaging

  17. LP filter M  L  Variazione di un fattore razionale • Il filtro serve da anti-imaging ed anti-aliasing • La freq. di taglio va dimensionata sul max(L,M) • Problema: • Il filtro lavora ad alta frequenza • Si possono usare strutture polifase (vedi dopo!)

  18. LP filter 100  LP wp=0.01p p ws=0.008 p Realizzazioni in più stadi • Se le specifiche sono troppo stringenti si può operare in due fasi: • Esempio: decimatore per 100 ed un filtro anti-aliasing con specifiche: wp=0.01 p (nessun aliasing) ws=0.008 p (si salvi l’80% della banda utile) • Caso 1: Le specifiche del filtro sono molto stringenti

  19. LP 1 50  LP 2 2  ws=0.008 p w2=0.02p LP 1 wp=0.032p p w1=0.01p LP 2 wp=0.5p p ws=0.4 p Realizzazioni in più stadi • Caso 2: Si accetta aliasing in LP1 che poi verrà eliminato da LP2 Il primo decimatore (50) allarga lo spettro rilassando le specifiche di LP2 Entrambi I filtri presentano specifiche meno stringenti

  20. x(n) w(n) y(n) M G(z) G(zM) M Equivalenze fondamentali (1)

  21. x(n) w(n) y(n) G(z) L L G(zL) Equivalenze fondamentali (2)

  22. x0(n) y0(n) y(n) H0(z) F0(z) + x1(n) y1(n) H1(z) F1(z) xM-1(n) yM-1(n) HM-1(z) FM-1(z) H0 H1 H2 HM-1 H0 … 2p 0 Banchi di Filtri (analisi e sintesi) x(n) … … banco di analisi banco di sintesi

  23. Banchi di Filtri (analisi e sintesi) • Banco di analisi • suddivide il segnale in M sotto bande • Banco di sintesi • elabora M segnali (tipicamente da un banco di analisi) • ricombina i risultati in un segnale finale y(n) • I filtri possono essere progettati secondo diverse tipologie (Nyquist, complementari, DFT,…) • Questo schema trova impiego in molti campi • Analisi dei segnali • Codifica / compressione, multiplexing, .. • Crittografia • …

  24. H0 H1 H2 HM-1 H0 … 2p 0 Uniform DFT filter banks • Tutti i filtri derivano da un “prototipo” • Ovvero • Ossia sono versioni traslate dello stesso spettro

  25. 88kHz sampler A/D Converter H(z) 2 Applicazioni • Transmultiplexers • Multiplazione di segnali in tempo o in frequenza • Segnali audio digitali HI-FI • Per ottenere una banda utile di 22k si deve campionare almeno a 44k • Questo richiede un filtro analogico anti-aliasing con caratteristiche stringenti (elittici a fase non lineare) • Campionando ad una frequenza superiore (88k) si puo’ usare un filtro analogico meno stringente, si aggiunga quindi un filtro digitale ed un decimatore

  26. H0(z) 2 2 F0(z) + H1(z) 2 2 F1(z) Applicazioni • Subband Coding • Spesso i segnali presentano l’energia concentrata in certe sotto-bande (Es. speech, immagini, …) • Se l’energia è limitata ad una sotto-banda si può usare ad esempio un filtro ed un decimatore • Se l’energia occupa tutta la banda utile ma in modo diverso si può usare un banco di analisi, una opportuna codifica ed un banco di sintesi. • Note: • Conoscenza a priori della tipologia di segnali • Fondamentale l’eliminazione di Aliasing-Imaging

  27. Applicazioni • Crittografia di un segnale vocale su linea telefonica analogica • suddivisione di un segnale in n sottobande • ogni sottobanda viene quindi suddivisa in m segmenti temporali • permutazione dei segnali ( nm! ) • ricombinazione

  28. Decomposizione Polifase • Si riuniscano i coefficienti h(n) di un filtro in piu’ gruppi (Ad es. pari e dispari) E0 : filtro composto dai soli coeff. pari E1 : filtro composto dai soli coeff. dispari Es: [… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 …]= [… 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 7 0 5 0 …]+ [… 0 2 0 4 0 6 0 8 0 8 0 6 0 4 …]

  29. Decomposizione Polifase • Filtri IIR • analogamente si può operare anche su filtri IIR Es:

  30. Decomposizione Polifase • Più genericamente (I Tipo): • Essendo e0(n) la versione decimata di h(n) vale la seguente proprietà

  31. E0(zM) z-1 E1(zM) + z-1 EM-1(zM) + Decomposizione Polifase • Schema (I Tipo):

  32. Decomposizione Polifase • Esiste anche una versione alternativa (II tipo)che è solo un modo diverso per numerare gli insiemi dei coefficienti del filtro h(n) (si spostano i ritardi a valle) • Nota: la decomposizione polifase si può applicare a qualunque sequenza.

  33. R0(zM) z-1 R1(zM) + z-1 RM-1(zM) + Decomposizione Polifase • Schema (II Tipo): Notare i ritardi messi a valle dei filtri

  34. z-1 z-1 z-1 h0 h1 h2 hn-1 2 + + + Sistemi polifase per modificare T • Finora nei decimatori e negli interpolatori il fitro operava nella parte ad alta frequenza • Inoltre il filtro compie molte operazioni inutili • campioni nulli all’ingresso dell’interpolatore • campioni eliminati in uscita dal decimatore x(n) y(n) y(2n) Il sistema deve eseguire N Moltiplicazioni ed N-1 somme ogni qualvolta esce un capione pari e potrebbe venir spento durante i campioni dispari

  35. E0(z2) x(n) z-1 y(n) y(2n) E1(z2) 2 + 2 E0(z) x(n) z-1 y(2n) 2 E1(z) + Sistemi polifase per modificare T • Implementazione polifase del decimatore: • I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata • La prima parte può essere vista come un de-multiplexer

  36. Sistemi polifase per modificare T • Implementazione polifase dell’interpolatore: x(n) 2 R0(z2) z-1 R1(z2) + R0(z) 2 x(n) z-1 R1(z) 2 + • I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata • La seconda parte può essere vista come un multiplexer

  37. LP filter M  L  Sistemi polifase per modificare T • Implementazione polifase dell’interpolatoreper un numero razionale: • Lo schema canonico è doppiamente inefficiente • il filtro opera nella parte ad alta frequenza, ovvero: • L’ingresso del filtro contiene L-1 zeri • All’uscita viene salvato solo un risultato ogni M

  38. x(n) 2 3 E0(z) z-1 3 E1(z) + z-1 3 E2(z) + R0(z) 2 x(n) z-1 R1(z) 2 3 y(n) + Sistemi polifase per modificare T • Esempio L=2, M=3; I Tipo y(n) II Tipo

  39. R0(z) 2 x(n) z-1 R1(z) 2 3 y(n) + R0(z) 2 x(n) z2 z-3 R1(z) 2 3 y(n) + Sistemi polifase per modificare T • Notando che:

  40. R0(z) 2 x(n) z2 z-3 R1(z) 2 3 y(n) + R0(z) 2 3 x(n) z-1 z-1 R1(z) 2 3 y(n) + Sistemi polifase per modificare T Per le “equivalenze fondamentali”:

  41. R0(z) 2 3 x(n) z-1 z-1 R1(z) 2 3 y(n) + R0(z) 3 2 x(n) z-1 z-1 R1(z) 3 2 y(n) + Sistemi polifase per modificare T Essendo M ed L primi tra loro:

  42. Sistemi polifase per modificare T 3 R00(z) x(n) z-1 z-1 3 R01(z) + z-1 3 R02(z) 2 + 3 R10(z) z-1 z-1 3 R11(z) + z-1 2 3 R12(z) + + y(n)

  43. Sistemi polifase per modificare T • Un esempio pratico: • Siano [a b c d e f e d c b a ] i coefficienti del filtro LP: • E0=[a d e b] • E1=[b e d a] • E2=[c f c] • R0=[b d f d b] • R1=[a c e e c a] • R00=[b d] • R01=[d b] • R02=[f] • R10=[a e] • R11=[c c] • R12=[e a]

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