1 / 63

Filtri FIR

Filtri FIR. Progetto filtri FIR. Vantaggi: Stabilità intrinseca. Facilità nell’ottenere fase lineare. Assenza di retroazione  gli errori non vengono rimessi in “circolo” Svantaggi: Prestazioni contenute.

nicholas
Download Presentation

Filtri FIR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Filtri FIR

  2. Progetto filtri FIR • Vantaggi: • Stabilità intrinseca. • Facilità nell’ottenere fase lineare. • Assenza di retroazione  gli errori non vengono rimessi in “circolo” • Svantaggi: • Prestazioni contenute. • Per ottenere buone caratteristiche la lunghezza del filtro può risultare notevole  struttura complessa • Ritardo considerevole tra ingresso e uscita. • Il progetto in termini di “maschere” risulta difficile da affrontare in forma analitica (in pratica risulta difficile stimare ripple e attenuazione in forma chiusa)

  3. Linearità di fase • E’ garantita da vincoli di simmetria/antisimmetria nella risposta impulsiva del filtro • Questi vincoli si traducono in opportuni accoppiamenti di zeri sul piano z

  4. Linearità di fase (caso 1) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione banale: α=0

  5. Linearità di fase (caso 1) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione non banale: simmetria dei coefficienti h(n) La soluzione è unica (Serie di Fourier)

  6. Linearita’ di fase Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=b e c=d ovvero le sinusoidi rispettivamente in fase e contro-fase si devono elidere a 2 a 2

  7. Linearità di fase (caso 1) • La simmetria su h(n) comporta che: ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ • Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo complesso-coniugato

  8. Esempio 1 h(n)= [ 1 2 3 2 3 2 1]

  9. Esempio 2 h(n)= [ 1 2 3 1 1 3 2 1]

  10. Linearità di fase (caso 2) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione: antisimmetria dei coefficienti h(n) La soluzione è unica (Serie di Fourier)

  11. Linearita’ di fase Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=-b e c=-d ovvero le sinusoidi rispettivamente in fase tra loro si devono elidere a 2 a 2

  12. Linearità di fase (caso 1) • La antisimmetria su h(n) comporta che: ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ • Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo complesso-coniugato

  13. Esempio 3 h(n)= [ 1 2 3 0 -3 -2 -1]

  14. Esempio 4 h(n)= [ 1 2 3 -3 -2 -1]

  15. Campionamento in frequenza • Si scelga un opportuno numero di campioni in frequenza e si calcola h(n) imponendo che l’H(ω) corrispondente passi per i campioni voluti • La soluzione puo’ avvenire attraverso: • L’impiego della IDFT (campioni equispaziati) • La soluzione di un sistema lineare • Equazioni dirette

  16. Campionamento in Frequenza (IDFT) • Scelti N campioni equispaziati sul cerchio unitario • detti campioni godano della simmetria coniugata • il primo campione sia posto in 1 • Si applichi la IDFT a detti campioni per ottenere h(n) • La risposta in frequenza della sequenza ottenuta sara’ vincolata a passare per i campioni iniziali

  17. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 Campionamento in frequenza • Si definisce la maschera ideale in frequenza • Si opera un campionamento della medesima su N punti equidistanti • Sui campioni così ottenuti si applica la IDFT • Il risultato fornisce la risposta impulsiva del filtro Questo procedimento garantisce che la risposta in frequenza del filtro così ottenuto passerà ESATTAMENTE per i punti di campionamento della maschera ideale

  18. Simmetrici – N dispari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

  19. Simmetrici – N pari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

  20. Antisimmetrici – N dispari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

  21. Antisimmetrici – N pari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

  22. Scelta dei campioni in frequenza • In teoria i campioni possono essere scelti in qualunque punto del cerchio unitario pur di rispettare alcuni vincoli: • Devono essere in numero uguale ai campioni indipendenti della risposta impulsiva “h(n)” • Simmitrico dispari: (N+1)/2 • Simmetrico pari: N/2 • Antisimmetrico dispari: (N-1)/2 (il campione centrale e’ nullo) • Antisimmetrico pari: N/2 • Non devono portare ad una matrice singolare • Simmitrico dispari: Nessun vincolo • Simmetrico pari: Nessun campione in π • Antisimmetrico dispari: Nessun campione in 0 o π • Antisimmetrico pari: Nessun campione in 0 • Più comunemente essi vengono presi equispaziati sul cerchio unitario, ma sempre rispettando le regole di cui sopra

  23. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro simmetrico dispari Es: N=9 , α=0 Nessuna particolare nota

  24. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro simmetrico pari Es: N=8 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in π

  25. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro antisimmetrico dispari Es: N=9 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma comunque il numero dei campioni indipendenti di h(n) sono (N-1)/2

  26. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro antisimmetrico pari Es: N=8 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma si puo’ ovviare aggiungendo invece il campione in π

  27. Scelta dei campioni in frequenza • Un’altra possibilità per evitare la presenza di campioni nello 0 (o a π) è quella di scegliere un valore per ‘α’ uguale ad ½ (ovvero si applica una rotazione di ‘π/M’ a tutti i campioni)

  28. IDFT • Quando i campioni sono scelti equispaziati sul cerchio unitari si può utilizzare la IDFT per calcolare la ‘h(n)’ • si scelgono N campioni equispaziati sul cerchio unitario • si applichi la IDFT • per definizione l’ H(ω) passerà per I punti scelti • NOTA: questo a priori non garantisce la linearità di fase • ci sono vari g.d.l. sfruttabili • Fase dei campioni • Segno dei campioni

  29. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Imaginary Part 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part Equazioni dirette • Sfruttando alcuni vincoli si possono calcolare i campioni della risposta in frequenza direttamente dai campioni in frequenza (senza IDFT e senza l’inversa di una matrice) • Vincoli: • Fase lineare → simmetrie su h(n) • h(n) reale → simmetria coniugata su H(ω) • equispaziatura dei campini sul cerchio unitario Definiamo: I campioni in frequenza equispaziati sul cerchio unitario (α assume il valore 0 oppure ½)

  30. Calcolo di h(n) (caso generale) per definizione moltiplicando per exp(..) sommando su k ma:

  31. Considerazioni • Quanto trovato ricorda la IDFT (ma con α) • Vale per qualunque h(n) anche privo di simmetrie • Vale per campioni H(k+α) equispaziati • Su questi campioni per il momento non si sono fatte altre ipotesi

  32. Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0) • sia h(n) reale, simmetrica ed α=0 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

  33. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno opposto NOTA: inoltre G(N/2)=0 !!!

  34. Calcolo di h(n) (Caso 1) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

  35. Calcolo di h(n) (Caso 1) • Concludendo Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

  36. Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2) • sia h(n) reale, simmetrica ed α=1/2 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria: Ovvero H(k+1/2) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

  37. Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno concorde

  38. Calcolo di h(n) (Caso 2) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

  39. Calcolo di h(n) (Caso 2) • Concludendo Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

  40. Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0) • sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=0 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

  41. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno uguale NOTA: inoltre G(0)=0 nei filtri antisimmetrici

  42. Calcolo di h(n) (Caso 3) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

  43. Calcolo di h(n) (Caso 3) • Concludendo IN quanto il campione in G(N/2) contribuisce una sola volta nella sommatoria inoltre il campione G(0)=0

  44. Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2) • sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=1/2 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

  45. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno opposto NOTA: inoltre G(N/2)=-G(N/2)=0 nei filtri dispari

  46. Calcolo di h(n) (Caso 4) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

  47. Calcolo di h(n) (Caso 4) • Concludendo

  48. Funzioni finestra • Partendo dalle specifiche richieste si progetta analiticamente un filtro ideale • detto filtro ideale richiederebbe infiniti campioni. • Si riduce il numero di campioni operando una “finestratura” dei coefficienti del filtro. • Il prodotto termine a termine di due segnali digitali comporta nel dominio delle frequenze una convoluzione tra gli spettri. • La risposta in frequenza del filtro così realizzato sarà quindi la convoluzione delle specifiche ideali con lo spettro della finestra utilizzata • L’impiego di diversi tipi di finestre comporta prestazioni diverse che possono migliorare questo o quel particolare del filtro quali: • ripidità del taglio, ampiezza delle oscillazioni.

  49. ... ... Funzioni finestra (analisi) Genericamente: In un filtro passa-basso(ideale):

  50. Funzioni finestra (Esempio)

More Related