U.T.N REGIONAL ACADÉMICA CONFLUENCIA TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN

1. U.T.N REGIONAL ACADÉMICA CONFLUENCIATECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN Sistema de Procesamientos de Datos Docentes: Lic. Laz Contreras, Gustavo A. Ing. Torrico Terrazas, Henry Alex

2. Lógica Los enunciados o proposiciones lógicas ¿Qué es un enunciado lógico? Una proposición o enunciado es el significado de cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como los valores de verdad del enunciado.

3. Lógica • Ejemplo 1: las proposiciones • La frase "1=1" es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es V. • La frase "1=0" también es un enunciado, pero su valor de verdad es F. • "Lloverá mañana" es una proposición. Para conocer su valor de verdad habrá que esperar hasta mañana. • El siguiente enunciado podría salir de la boca de un enfermo mental: "Si soy Napoleón, entonces no soy Napoleón". Este enunciado, como veremos más adelante, equivale al enunciado "No soy Napoleón". Como el hablante no es Napoleón, es un enunciado verdadero. • "Haz los ejercicios de lógica"no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) • "Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (También está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) • "El perro"no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).

4. Lógica Los enunciados como resultado de los juicios El acto mental que tiene como resultado una proposición o enunciado se denomina juicio (sustantivo, del verbo enjuiciar). La expresión verbal de un juicio es un enunciado. Los seres humanos realizamos un juicio cada vez que pensamos que algo es alguna otra cosa (a lo que llamamos afirmación), y también cuando pensamos que algo no es otra cosa (a lo que llamamos negación). En consonancia con lo que decíamos al principio, enjuiciar consiste en afirmar o negar. Si tú piensas que este ordenador es complicado, entonces estás ejecutando un juicio. Si expresas verbalmente este juicio, lo habrás de hacer en forma de un enunciado o proposición: la proposición "Este ordenador es complicado". El juicio es el acto mental que ocurre cuando piensas que este ordenador es complicado, y la proposición es la oración que construyes para expresar dicho pensamiento.

5. Lógica Consideraremos proposiciones en su forma más simple (atómicas) y las proposiciones compuestas, como aquellas formadas por proposiciones simple mediante términos de enlace. Una proposición simple es una proposición sin términos de enlace. Los términos de enlace se usan para formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones atómicas. Por ejemplo, consideremos las siguientes proposiciones atómicas, Hoy es Domingo. No hay clase. Mediante un termino de enlace podemos formar una nueva proposición compuesta. Por ejemplo Hoy es Domingo y no hay clase El termino de enlace que hemos utilizado es “y”. Cuando tenemos una proposición molecular es importante determinar las proposiciones atómicas que la componen.

6. Lógica TERMINOS DE ENLACE Los términos de enlace entre proposiciones que utilizaremos son: “y”, “o”, “no” , “si..., entonces” . Simbólicamente representaremos estos términos de enlace por, respectivamente. ∧, ∨, ∼, ⇒ Claramente al utilizar un termino de enlace entre dos o más proposiciones atómicas obtendremos proposiciones compuestas. Observemos que el termino de enlace “no” actúa sobre una sola proposición, mientras que los demás términos de enlaces actúan sobre dos proposiciones. Algunos ejemplos en las que utilizan los términos de enlace son los siguientes Si estamos en diciembre entonces pronto llegará la Navidad Hoy es lunes y hay clases El viento arrasará las nubes o lloverá con seguridad. No tendremos clase en el día de hoy. Vamos a simbolizar cualquier proposición con las letras p, q, r, s, t, etc..

7. Lógica La regla fundamental de la lógica es, La ley del medio excluido. Toda proposición debe ser verdadera o falsa, pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos cosas. P: Si estamos en diciembre Q: Pronto llegará la Navidad P Q S: Hoy es lunes T: hay clases S ^ T R: El viento arrasará las nubes U: lloverá con seguridad. R v U S: Tendremos clase en el día de hoy. ~S

8. Lógica Tablas de Verdad Útiles: Disyunción: “  ” = o Negación Implicación= “Entonces” Conjunción:“  ” = y

9. Lógica PROPOSICION DOBLE IMPLICACION Es la proposición expresada simbólicamente por p ⇐⇒ q es una combinación de las dos proposiciones condicionales p ⇒ q y q ⇒ p. El símbolo de enlace ⇐⇒ se lee “si y sólo si ”o “necesario y suficiente” La proposición p ⇐⇒ q será verdadera si p y q son verdaderas o p y q son falsas. Por ejemplo, Un triángulo tiene tres lados iguales ⇐⇒el triángulo es equilátero. Doble Implicación= “Si y solo si”

10. Algebra de BOOLE UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA OPERADOR + OPERADOR OR OPERADOR · OPERADOR AND OPERADOR ‘ OPERADOR NOT

11. Algebra de BOOLE PROPIEDADES 1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA: A + B = B + A A · B = B · A 2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A·(B+C) = A·B + A·C A + B·C = (A+B)·(A+C) 3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES A + 0 = A A · 1 = A 4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’ A + A’ = 1 A · A’ = 0

12. Algebra de BOOLE PROPIEDADES PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0. CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del algebra, ya sea constante o fórmula completa.

13. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único. TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1 A·0 = 0 TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0 TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A·A=A TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A

14. TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica: A+A·B=A A·(A+B)=A TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’·B = A + B A · (A’ + B) = A · B TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C A·(B·C) = (A·B)·C LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica: (A+B)’ = A’·B’ (A·B)’ = A’ + B’

15. ÁLGEBRA DE BOOLE FUNCIONES BÁSICAS (I)

16. ÁLGEBRA DE BOOLE FUNCIONES BÁSICAS (I)

17. ÁLGEBRA DE BOOLE FUNCIONES BÁSICAS (II)

18. ÁLGEBRA DE BOOLE FUNCIONES BÁSICAS (II)

19. IMPLEMENTACION DE FUNCIONES BOOLEANA MEDIANTES CONJUNTOS COMPLETO (I)

20. IMPLEMENTACION DE FUNCIONES BOOLEANA MEDIANTES CONJUNTOS COMPLETO (I)

21. IMPLEMENTACION DE FUNCIONES BOOLEANA MEDIANTES CONJUNTOS COMPLETO (II)

22. IMPLEMENTACION DE FUNCIONES BOOLEANA MEDIANTES CONJUNTOS COMPLETO (II)

23. Resumen Disyunción: “  ” = o Disyunción Negada Conjunción:“  ” = y Conjunción Negada

24. Implicación= “Entonces” Implicación Negada Doble Implicación= “Si y solo si” Equivalencias de Doble Implicación

25. Doble Implicación Negada