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Produto Vetorial

Produto Vetorial. Produto Vetorial. Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas Para isso, considere uma base do espaço {v 1 , v 2 , v 3 } e um observador

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Presentation Transcript

  1. Produto Vetorial

  2. Produto Vetorial • Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas • Para isso, considere uma base do espaço {v1, v2 , v3} e um observador • O observador deve estar com os pés em um plano que contém representantes de v1 e v2 (os dois primeiros vetores da base) • v3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido para os seus olhos

  3. Produto Vetorial • No exemplo considere OA =v1 e OB =v2 • Considere agora, a rotação de menor ângulo em torno de O, que torna o vetor v1 ( o primeiro vetor da base) com mesmo sentido do vetor v2 ( o segundo vetor) • Se esta rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio (anti-horário), dizemos que a base é positiva • Caso contrário (sentido horário), a base é negativa. • Assim, a base {v1, v2 , v3}, do exemplo, é positiva

  4. A base {v2 , v1, v3} é positiva?

  5. E {v3 , v2 , v1}?

  6. Produto Vetorial • Note que nem sempre o observador está no mesmo semi-espaço que nós • Neste caso, o sentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos • Para ilustrar este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma origem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do outro

  7. Produto Vetorial • A folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folha • de papel divide o espaço em dois semi-espaços • Note que, em um desses semi-espaços vemos esta rotação com um sentido. Se mudarmos de semi-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior

  8. Esta observação é útil na identificação de bases positivas e negativas, quando o observador não está no mesmo semi-espaço que nós • Por exemplo, ao analisar a base {v2 , v1,- v3} vemos a rotação no sentido horário, porém o observador, por estar no semi-espaço distinto do qual nos encontramos, vê esta rotação no sentido anti-horário • Portanto esta base é positiva.

  9. Exemplo • Considere o sistema {O, i, j, k}

  10. Exemplo • Quais as bases positivas e negativas?

  11. Exemplo • As bases {i , j, k}, { j, k, i} e {k, i , j} são positivas. • As bases { j, i , k}, {i , k, j} e {k, j, i} são negativas.

  12. Produto Vetorial • Definição: Sejam u e v vetores não colineares. • O produto vetorial de u por v, indicado u x v, é um vetor, tal que: • | u x v |= | u | | v | sen(u, v) • O vetor u x v é ortogonal ao plano que contém representantes dos vetores u e v • A base {u, v, u x v} é positiva

  13. Exemplo • Sejam u e v vetores com representantes no plano alpha , onde | u |= 2, | v |= e (u, v) = 30º

  14. | u x v | = | u || v | sen 30º= • =2 ½ = • | v x u | = | v | | u |sen 30º= • ½ 2 =

  15. Exemplo • |u x v| = |v x u|, mas estes vetores são opostos

  16. Exemplo 3 • Dada a base ortonormal positiva {i, j, k} • i x i= j x j= k x k= 0 • i x j= k, j x k =i e k x i= j • j x i =-k, k x j=- i e i x k=- j

  17. Interpretação Geométrica • Consideremos o paralelogramo ABCD,

  18. Interpretação Geométrica • Sabemos que a área S desse paralelogramo é: • S = base x altura, ou seja S = | AB | × h. • Do triângulo AMD, temos: • h =| AD | sen teta

  19. Interpretação Geométrica • S = | AB | |AD | sen teta • S =| AB x AD|

  20. Interpretação Geométrica • Encontre a área do triângulo ABD

  21. S = |AB | |AD | sen teta • S =|AB x AD| • Logo a área do triângulo é |AB x AD|/2

  22. Exemplo 4 • Encontre a área do paralelogramo, onde A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0)

  23. | AB| =| (-1,0,2)| = • | AD| =| (4,0,-2)|= 2 • Cos(AB,AD) = (AB.AD)/(|AB||AD|) = -4/5 • Sen2x + cos2 x =1 • Sen(AB,AD)=3/5 • S = 3/5 2 = 6 u.a.

  24. Propriedades • Considere u, v e w vetores quaisquer e t um número real • 1) u x v = v x u • 2) (t v) x u = v x(t u) = t (v x u) • 3) u x (v + w)= u x v + u x w

  25. Expressão cartesiana do produto vetorial • Dados uma base ortonormal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2 , y2 , z2 ) • u x v = (x1i + y1j + z1k) x (x2i + y2j + z2k) • =(x1x2 ) ixi + (x1y2 ) ixj + (x1z2 ) ixk+ +(y1x2 ) jxi + (y1y2 ) jxj + (y1z2 )jxk+ +(z1x2) kxi + (z1y2 ) kxj+ (z1z2) kxk

  26. Expressão cartesiana do produto vetorial • u x v = (y1z2-y2z1)i + (z1x2-z2x1)j + (x1y2-x2y1)k

  27. Exemplo 5 • Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule: • u x v = ? • u x w = ?

  28. Exemplo 5 • Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule: • u x v = (4-3) i + (9-2) j + (1-6) k = (1,7,-5) • u x w = (12-12)i+(6-6)j+(4-4)k = (0,0,0)=0

  29. Exemplo 6 • Observe os paralelogramos ABCD e ABC’C

  30. Exemplo 6 • S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente • Determine a relação de S e S’

  31. Exemplo 6 • S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente • S =| AB x AD| • S’ =| AB x AC| • | AB x AC|= | AB x (AB+ BC) |=

  32. Exemplo 6 • | AB x(AB +BC)|= | AB x AB + AB x BC| • =| 0 + AB x AD| • = | AB x AD| = S

  33. Exemplo 7 • Determine a área S do retângulo, onde A(1,0,2), C(- 2,3,3) e AB° = (-1,0,0)

  34. S =| AB x AC| e AC = (- 3,3,1) • Como AB _ BC, temos que AB= projABº AC =(-3,0,0) • S =| (- 3,3,1)x(- 3,0,0)| =| ( 0,-3, 9 )| =

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