Introdução à análise Vetorial

1. Introdução à análise Vetorial Prof. Luis S. B. Marques

2. A derivada Mas qual o significado da derivada?

3. A derivada • A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

4. A derivada • A derivada pode também ser interpretada como a taxa de variação instantânea de uma função.

5. A Integral

6. A Integral • A integral definida representa a área sob uma determinada curva.

7. A Integral

8. A Integral

9. A Integral

10. Vetores e escalares • Escalar • Algumas grandezas físicas são totalmente definidas por um número e uma unidade. Quando dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma pessoa é 38oC a informação está completa. • Vetor • Entretanto, ao informarmos que a velocidade de um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que direção e em qual sentido este carro se movimenta.

11. Vetores e escalares • Os vetores representam grandezas que possuem módulo, direção e sentido e são representados por setas. • O deslocamento entre os pontos A e B pode ser representado por um vetor. O sentido é dado pela seta • O vetor, no plano, pode ser decomposto em duas componentes: ax e ay.

12. Vetores e escalares • Pode-se representar um vetor através de suas componentes em um dado sistema de coordenadas. • Sendo i e j vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

13. Adição de Vetores

14. Produto escalar • O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e é definido através da equação: • módulo do primeiro multiplicado pela componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro. • Uma aplicação é encontrada na definição de trabalho, em que a força e a distância estão sobre o mesmo eixo de referência.

15. EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo: SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto : Vetor unitário

16. EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo: SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:

17. Produto vetorial • O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido através da equação: • O resultado do produto vetorial entre dois vetores a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado pelos dois vetores a e b. • Uma aplicação é a definição de força que atua em um condutor em condução.

18. Produto vetorial PRODUTO VETORIAL : Dado os Vetores Definido como:

19. EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força aplicado ao ponto (4,5,6) . SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor Força, portanto :

20. Vetor posição • A localização de um ponto no espaço pode ser descrita através das suas coordenadas cartesianas (x,y,z). • O vetor da origem ao ponto (x,y,z) é definido como Vetor Posição r.

21. Campo escalar Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos definindo um campo escalar. Campo escalar de temperatura

22. Campo vetorial É definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial. Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético. Campo vetorial gravitacional

23. SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Vetor posição do ponto P Orientado para fora do volume delimitado pela área Vetor unitário na direção x

24. SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS ângulo azimutal

25. SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS ângulo polar ângulo azimutal