Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade

1. Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade Aula 7

2. Variável aleatória contínua unidimensional • Conceito: • “Se uma variável aleatória x assume todos os valores de um intervalo real, então x é denominada variável aleatória contínua”. • Processos definidos a partir da contagem conduzem a modelos que envolvem variáveis aleatórias, enquanto os processos definidos a partir de medidas conduzem aos modelos que envolvem variáveis aleatórias contínuas.

3. f(x) x Função densidade de probabilidade • No caso de uma variável contínua não podemos mais atribuir um único valor para x. Assim termos que verificar qual é a função pra esse valor. • A região compreendida sob o gráfico da função e o eixo x é igual a 1. A probabilidade é dada pela área da f(x)

4. f(x) x Função densidade de probabilidade • Exemplos: • Considere o intervalo real [2,10] e a função que associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao ponto 2. • Calcule a probabilidade de: • Função de densidade de probabilidade: 1/8 2 3 4 5 6 7 8 1

5. f(x) x Função densidade de probabilidade • Exemplo 2: • Considere a variável aleatória x que assume valores no intervalo [0,5] com a seguinte função densidade de probabilidade: • Construa o gráfico da função f e calcule: 0,4 5

6. Função densidade de probabilidade • Porém outras funções, assim como o valor esperado, a variância e desvio padrão, só podem ser calculadas através do calculo da integral, o torna o processo bastante complicado. • Assim para os principais casos, foram construídas tabelas que apresentam esses valores de probabilidade prontos.

7. Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade • Distribuição Normal de Probabilidade • Características do modelo: Suponha que uma variável x, com média µ e desvio-padrão , apresenta-se as seguintes características: • Valores da variável aleatória x mais próximos da média ocorrem com maior frequência. • Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com mesma frequência. • A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo x tem área unitária (=1)

8. f(x) x Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade • Descrição do modelo: • . • . Distribuição Normal – (Gauss)

9. f(x) f(z) x x Cálculo da Probabilidade • A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[. • Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição normal z com média 0 e variância = 1, foi construída. a b z 0

10. f(z) x Cálculo da Probabilidade • Exemplo: • Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores entre 0 e 1. • Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413 1

11. Cálculo da Probabilidade • Exercícios • Calcule para a distribuição z normal padrão: • P(z<2,00) • P(-2,00<z<3,00) • P(2<z<2,5) • P(-3,27<z<-1,74)

12. Cálculo da Probabilidade • Qualquer distribuição normal pode ser transformada em distribuição z (valor esperado=0 e variância=1) utilizando a seguinte relação: • Por exemplo: • Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desvio-padrão3. Calcule p(20<x<23). • Usando a mudança de variável: • Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.

13. Cálculo da Probabilidade • Exercício: • Se a variável aleatória x admite distribuição normal com média 30 e desvio padrão 3, calcule: • P(30<x<36) • P(x>38) • P(32<x<35)

14. Cálculo da Probabilidade • Exercício: • O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa revelou que sua distribuição é normal com média 50 e desvio-padrão 4. • Se o preço de venda unitário é de 60, qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso ocasionar prejuízo a empresa? Resposta: 0,62%

15. Cálculo da Probabilidade • Exercício: • Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o lucro realizado distribui-se normalmente com média R$48.000,00 e desvio padrão de R$8.000,00. Qual a probabilidade de que: • Na próxima semana o lucro seja maior que R$50.000? • Na próxima semana o lucro esteja entre R$40.000,00 e R$45.000,00? • Na próxima semana haja prejuízo?

16. Aproximação da Binomial pela Normal • Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas o número n de repetições do experimento E é grande (n>30), com a probabilidade p de sucesso próximo a 0,5, podemos , com uma pequena margem de erro, calcular as probabilidades da distribuição binomial y através de um distribuição normal x, com as seguintes condições: • 1. • 2. • 3. A probabilidade binomial p[k=ki] corresponderá a: p[ki-0,5<x<ki+0,5]

17. Aproximação da Binomial pela Normal • Exemplo: • Um exame do tipo teste é constituído de 50 questões, cada uma delas com quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Calcule a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte exatamente 15 questões. • Solução: • Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar. (A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4). • N= 50 e k =15.

18. Aproximação da Binomial pela Normal Aproximando pela normal: • Com média: • E desvio padrão: • Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal: • Transformando para a normal z:

19. Aproximação da Binomial pela Normal • Exercício: • Um candidato, pela última pesquisa, detém 20% dos votos de uma região. Calcule a probabilidade de que em um conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta região ele obtenha: • Exatamente 45 votos. Resp.: 4,59%