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AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos

AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos. Exemplo de Motivação - Problema de Mistura Solução Gráfica Conjunto de Soluções Factíveis Plotando a Função Objetivo Achando uma solução ótima Soluções Ótimas Múltiplas Modelos Infactíveis Modelos Ilimitados Usando Indexação - Modelos Literais

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AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos

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Presentation Transcript

  1. AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos • Exemplo de Motivação - Problema de Mistura • Solução Gráfica • Conjunto de Soluções Factíveis • Plotando a Função Objetivo • Achando uma solução ótima • Soluções Ótimas Múltiplas • Modelos Infactíveis • Modelos Ilimitados • Usando Indexação - Modelos Literais • Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água • Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros • Programas Inteiros - Seleção de Investimentos, Siderúrgica e Custo Fixo

  2. Exemplo de Motivação - Problema de Mistura A refinaria de petróleo Recap destila óleo cru proveniente de duas fontes, Arábia e Venezuela e produz três produtos: gasolina, querosene e lubrificantes. Os óleos têm diferentes composições químicas e fornecem diferentes quantidades de destilados por barril processado. Cada barril da Arábia dá 0,3 barril de gasolina, 0,4 de querosene e 0,2 de lubrificante. Para a Venezuela estas quantidades são respectivamente: 0,4, 0,2 e 0,3. Há 10% de resíduos. Os óleos diferem em custo e disponibilidade. A Recap pode comprar até 9000 barris da Arábia a $20 o barril e até 6000 barris da Venezuela a $15 o barril. Contratos da Recap com distribuidores exigem que ela produza 2000 barris por dia de gasolina, 1500 de querosene e 500 de lubrificantes. Como cumprir os contratos gastando o mínimo? (qual o mix de compra/refino dos óleos) 3-2

  3. Construindo o Modelo de Mistura Variáveis de decisão: x1 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Arábia (103) x2 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Venezuela (103) Tipo das Variáveis de Decisão: x1, x2>= 0 (reais não-negativos) Conjunto de Restrições Principais: 0,3 x1 + 0,4 x2>= 2,0 (gasolina) 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene) 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes) x1 <= 9 (Arábia) x2<=6 (Venezuela) Função Objetivo: Minimizar 20x1 + 15 x2(custo total) 3-3

  4. Construindo o Modelo de Mistura Modelo Matemático Min Custo(x1, x2) = 20x1 + 15 x2(custo total) 0,3 x1 + 0,4 x2>= 2,0 (gasolina) 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene) 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes) x1 <= 9 (Arábia) x2<=6 (Venezuela) x1, x2>= 0 (reais não-negativos) 3-4

  5. Forma Geral de um Modelo Matemático Min ou Max (funções objetivo) sujeito a (restrições principais) (tipo das variáveis de decisão) 3-5

  6. Exercício de modelagem Problema: Construa o modelo matemático que determina o retângulo de área máxima cujo perímetro vale 80 metros. Modelo: l = largura do retângulo (m) w = comprimento do retângulo (m) Max lw sujeito a 2l + 2w <= 80 l, w >= 0 3-6

  7. Solução Gráfica É a coleção de todos os valores que as variáveis de decisão podem assumir, respeitando todas as restrições do modelo. Conjunto de soluções factíveis - CSF - (de um modelo matemático) Vamos desenhar o CSF do problema de mistura da Recap 3-7

  8. Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis x1, x2 >= 0 0,3 x1 + 0,4 x2>= 2,0 (gasolina) 3-8

  9. Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis CSF 3-9

  10. Solução Gráfica - Plotando a Função Objetivo 3-10

  11. PAULO FRANÇA: depois desse dar o exercício 1 de Ex.aula3.ppt Solução Gráfica - Achando uma solução ótima Solução ótima = solução factível com melhor (max/mim) valor da função objetivo. Graficamente, é um ponto factível situado na melhor curva de nível da função. 3-11

  12. PAULO FRANÇA: pedir para ser resolvido em aula Solução Gráfica - Achando uma solução ótima Max lw sujeito a 2l + 2w <= 80 l, w >= 0 3-12

  13. Soluções Ótimas Múltiplas As soluções ótimas dos problemas Recap e do retângulo de área máxima são únicas. Porém, pode haver modelos com soluções ótimas múltiplas. Suponha que no problema Recap, a função objetivo fosse trocada para Min 20 x1+ 10 x2 3-13

  14. Modelos Infactíveis Um modelo pode apresentar CSF nulo. Diz-se que o modelo é infactível. No problema da Recap, suponha que ambas as disponibilidades sejam reduzidas para 2000 barris/dia. O CSF é nulo, pois os contratos não podem ser atendidos. Min 20x1 + 15 x2 0,3 x1 + 0,4 x2>= 2,0 (gasolina) 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene) 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes) x1 <= 2 (Arábia) x2<= 2 (Venezuela) x1, x2>= 0 (reais não-negativos) 3-14

  15. PAULO FRANÇA: depois desse dar o exercício 2 do Ex.aula3.ppt Modelos Ilimitados Modelos eventualmente podem apresentar solução ótima ilimitada. Min -2x1 + 15 x2 0,3 x1 + 0,4 x2>= 2,0 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 x2<=6 x1, x2>= 0 3-15

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