Download
1 / 32
330 likes | 538 Views
VII siedlecki turniej wiedzy matematycznej Złoty podział. od geometrii do algebry od algebry do geometrii Oddział Siedlecki Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki Pracownia Dydaktyki Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w Siedlcach
E N D
VII siedlecki turniej wiedzy matematycznej Złoty podział od geometrii do algebry od algebry do geometrii Oddział Siedlecki Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki Pracownia Dydaktyki Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczo Humanistyczny w Siedlcach Samorządowe Centrum Doradztwa i Doskonalenia Nauczycieli w Siedlcach www.scdidn.siedlce.pl konkursy
Złoty poddział odcinka Możliwości podziału odcinka jest bardzo wiele, lecz wśród nich jest jeden który był znany już w starożytności. Grecy uznali ten podział za najbardziej estetyczny i nazwali go złotym podziałem odcinka.
Punkt dzielący odcinek leży na nim w takim miejscu, że cały odcinek ma się do swojej większej części jak większa część do mniejszej części odcinka. a + b – długość odcinka a – długość dłuższej części b – długość krotszej części φ=(a+b) : a = a : b
Pentagram • Pentagram – gwiazda pitagorejska, znany był już starożytnym Grekom i Pitagorejczykom. Już wtedy był uznawany za symbol doskonałości. • Dla pierwszych chrześcijan był on znakiem pięciu ran Chrystusa, ze względu na pięć wierzchołków. • Od XIV w. uważany jest za symbol szatana. • Niektórzy uważają, że pentagram jest symbolem bogini Wenus • Uważano, że pięć wierzchołków symbolizuje pięć żywiołów
Właściwości pentagramu • stosunek długości przekątnej i boku pięciokąta foremnego opisanego na pentagramie jest złoty
Złoty prostokąt – to taki prostokąt w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest liczbą złotą. Co ciekawe prostokąt po odcięciu od niego największego możliwego kwadratu pozostaje nadal złoty. Po odcięciu kwadratu długość boku pozostałego prostokąta wynosi a-x. Stosunek boków dużego prostokąta wynosi a małego . Jeśli porównamy te stosunki otrzymujemy złotą proporcję. Złoty prostokąt
Złota spirala Powtarzając wielokrotnie operację odcinania kwadratów ze złotego prostokąta, otrzymujemy nieskończenie wiele małych kwadratów. Kiedy wpiszemy w kwadraty ćwiartki okręgów otrzymujemy złotą spiralę.
Złota proporcja w przyrodzie i sztuce Wielu filozofów Greckich twierdziło, że złota liczba fi ( ) jest liczbą boską, zmierzoną przez samego stwórcę. Złota proporcja jest wszechobecna wokoło nas!
Złota proporcja w przyrodzie • Liczba pszczół płci żeńskiej do trutni jakiegokolwiek ula na świecie to liczba φ • Nasiona słonecznika rosną w dwóch przeciwnych sobie spiralach. Stosunek średnic obrotu kolejnych spirali wynosi φ
Spiralnie układające się płatki szyszki sosny, układ liści na łodygach roślin, segmentacja owadów to wszystko wykazuje niesamowite posłuszeństwo liczbie φ To nie są jedyne przykłady
Złota proporcja w sztuce • Leonardo da Vinci był zafascynowany liczbą φ. Umieszczał ją praktycznie w każdym obrazie. Szczególnym tego przykładem jest blado żółty rysunek z nagim mężczyzną „Człowiek witruwiański”
Złotą proporcją kierowali się także znani artyści tacy jak Michał Anioł, Albrecht Durera i wielu innych
Sławne budowle w których występuje złota proporcja to rzymski Pantenon, egipskie piramidy, Parntenon w Atenach
Złota proporcja w ciele człowieka • Odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi
Odległość między ramieniem a czubkiem palców, podzielona przez odległość między łokciem a czubkiem palców
Odległość od biodra do podłogi podzielona przez odległość od kolan do podłogi • Stawy dłoni, palce u nóg odległość między kręgami… …wszystko to jest posłuszne złotej proporcji, boskiej proporcji.
Ile wynosi φ φ=(a+b) : a = a : b • Z rozdzielności w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika czyli 1 + 1/φ = φ • Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe φ² – φ – 1 = 0 • Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste jedno z nich jest dodatnie:
Konary i liście zachowują zależność 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55… Ciąg Fibonaciego:
Dowód Z twierdzenia Pitagorasa zatem b wynosi zatem a/b daje Konstrukcja prowadzi zatem do złotego podziału
