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Diskrete Fouriertransformation - PowerPoint PPT Presentation


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Cosinus Funktionen. Sinus Funktionen. Diskrete Fouriertransformation. Informationsgewinnung. Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit Frequenzen  u und mit Amplituden F dargestellt werden.

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Presentation Transcript
diskrete fouriertransformation

Cosinus Funktionen

Sinus Funktionen

Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit
    • Frequenzen u und mit
    • Amplituden F

dargestellt werden.

  • Diese Koeffizienten geben an, mit welcher Häufigkeit die entsprechenden Funktionen vorkommen.

g(x)

Computer Vision 1_Seite 1

diskrete fouriertransformation1
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Die Berechnung der Koeffizienten heißt diskrete Fouriertransformation (DFT) und erfolgt via
  • Aus den Koeffizienten kann das Originalsignal zurück gewonnen werden: Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)

Computer Vision 1_Seite 2

diskrete fouriertransformation2
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

1)

  • Die Fouriertransformation und ihre Inverse werden oft in komplexer Schreibweise angegeben:
  • Es ist

DFT:

IDFT:

F(u)

|F(u)|

Fo(u)

Amplitude (Magnitude)

Fe(u)

Phase

1) Die Umrechung von reeller in komplexe Schreibweise erfolgt mit

Computer Vision 1_Seite 3

diskrete fouriertransformation3
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Die Fouriertransformation und ihre Inverse bilden einen Zusammenhang zwischen Orts- und Frequenzraum

Ortsraum

Frequenzraum (Amplitude)

Frequenz

Notation:

oder

oder

Zweidimensional?

Computer Vision 1_Seite 4

diskrete fouriertransformation4
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation und ihre Inverse. Bild g ( B x H )

  • DFT:
  • Die Inverse: IDFT

Frequenzraum

Ortsraum

Computer Vision 1_Seite 5

diskrete fouriertransformation5

Bemerkung:

Wegen der Punktsymmetrie muss nur eine Hälfte der DFT berechnet werden und der Ursprung kann in den Bildmittelpunkt gelegt werden:

bzw.

A

D

B

bzw.

bzw.

B

A

Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Darstellung im Frequenzraum

Amplitude

Phase

Frequenzraum (Amplitude und Phase)

Frequenzraum

Computer Vision 1_Seite 6

diskrete fouriertransformation6
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Amplitude

Amplitude

Phasen

Die Phase beinhaltet entscheidende Informationen!

Computer Vision 1_Seite 7

Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

diskrete fouriertransformation7
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Im Frequenzraum sind viele Operationen günstiger durchzuführen:

  • Alle linearen Operationen z.B. Hochpass, Tiefpass und Bandpass können mit hoher Güte durchgeführt werden. Der Faltungssatz besagt u.a., dass eine Faltung im Ortsbereich auch durch eine Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden kann:
  • Erkennung periodischer Strukturen
  • Manipulation periodischer Strukturen

1)

Manipulation von F im

Frequenzraum

1) Multiplikation von komplexen Zahlen:

Computer Vision 1_Seite 8

diskrete fouriertransformation8
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Beispiel: Tiefpaßfilter durch mit

  • Erinnerung: separierbarer Kern
  • Anwendung des Faltungssatzes (Führe anstelle der Faltung im Ortsraum eine Multiplikation im Frequenzraum durch):

Computer Vision 1_Seite 9

diskrete fouriertransformation9

D

B

A

A

B

Für die DFT muss der Ursprung des Kerns dem Ursprung des Bildes entsprechen!

Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Koordinatensysteme von Bild und Kern:

Computer Vision 1_Seite 10

diskrete fouriertransformation10

DFT

IDFT

DFT

Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Ortsraum

Frequenzraum

Ortsraum

Multiplikation von komplexen Zahlen:

Computer Vision 1_Seite 11

diskrete fouriertransformation11
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Die Berechnung des Kerns für die Gaußfunktion muss nicht durchgeführt werden, da die Gaußfunktion im Frequenzbereich wieder eine Gaußfunktion (mit reziproker Varianz) ist:
  • Die Fouriertransformierte lässt sich für weitere Funktionen analytisch berechnen, z. B.

Computer Vision 1_Seite 12

Quelle: Handbook of Computer Vision

diskrete fouriertransformation12
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Eigenschaften der DFT

Computer Vision 1_Seite 13

Quelle: Handbook of Computer Vision

diskrete fouriertransformation13

wird für alle v und y berechnet

wird für alle u und x berechnet

Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Effizienz:

Beispiel: N:=B=H, dann hat die Berechnung der DFT einen Aufwand von O(N4)

void DFT(const CImageMemory< unsigned char >& source,

CImageMemory< unsigned char >& real, CImageMemory< unsigned char >& imag)

{

... Parametervereinbarung ...

for (v = 0; v < H; v++)

{

for (u = 0; u < B/2; u++)

{

realTeil = 0; imagTeil = 0;

for (y = 0; y < H; y++)

{

for (x = 0; x < B; x++)

{

summand = - fac * ((u*x)/double(B) + (v*y)/double(H));

realTeil += source.GetPixelValue(x,y) * cos(summand);

imagTeil += source.GetPixelValue(x,y) * sin(summand);

}

}

real.SetPixelValue(u,v,realTeil/sqrt_B_H);

imag.SetPixelValue(u,v,imagTeil/sqrt_B_H);

}

}

}

Computer Vision 1_Seite 14

diskrete fouriertransformation14
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Effizienz: Die DFT kann separiert werden:
  • Weitere Effizienzsteigerung: Für die DFT existieren effiziente Verfahren, z.B. die FFT (Fast Fourier Transformation): DFT Implementierung nach dem Teile und Herrsche Prinzip. Voraussetzung: Die Bildgröße ist eine Zweierpotenz, also

Eindimensionale DFT (abh. von x und v, unabh. von u) !

1-dim DFT

1-dim DFT

Computer Vision 1_Seite 15

diskrete fouriertransformation15
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

  • Beispiel: Faltung von Gaußfunktion und Grauwertkeil durch Multiplikation im Frequenzraum

Ortsraum

Ortsraum

komplexe

Multiplikation

DFT

IDFT

DFT

Die Fouriertransformation geht von periodischen Signalen aus!!!

Computer Vision 1_Seite 16

diskrete fouriertransformation16
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Typische Randeffekte nichtperiodischer Signale

Frequenzraum (Amplitude)

Ortsraum

Abhilfe: Multiplikation im Ortsbereich mit einer Fensterfunktion

Computer Vision 1_Seite 17

diskrete fouriertransformation17
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Eigenschaften der Fouriertransformation 1: Bezeichungen

  • Linearität (a,b reelle Zahlen)

insbesondere ist

Beispiel: Bild g(x,y) invertieren: f(x,y) := 255

  • Verschiebung im Ortsbereich
  • Verschiebungen im Frequenzbereich

Computer Vision 1_Seite 18

diskrete fouriertransformation18
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Eigenschaften der Fouriertransformation 2:

  • Ähnlichkeit (invertierbare 2x2 Matrix A)

insbesondere ist für Drehungen U

Frequenzraum (Amplitude)

Ortsraum

90°Drehung

nach rechts

90°Drehung

nach rechts

Computer Vision 1_Seite 19

diskrete fouriertransformation19
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Frage: Wie stark kann ein Bild ohne Informationsverlust in der Größe reduziert werden?

jeder 4. Bildpunkt in x-und y-Richtung

jeder 5. Bildpunkt in x-und y-Richtung

Moiré-Effekt:

Das Abtasttheorem wurde verletzt!

Pro Wellenlänge werden mindestens zwei Abtastpunkte benötigt!

Computer Vision 1_Seite 20

Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

diskrete fouriertransformation20
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Abtastungen:

  • Bestimme die oberen Grenzfrequenzen im Bildbereich:
  • Normierung bzgl. Bildbreite und -höhe

Abtasttheorem: Gilt und , so kann das Bild aus den

abgetasteten Punkten exakt rekonstruiert werden.

Ortsraum

Frequenzraum (Amplitude)

Computer Vision 1_Seite 21

Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung

diskrete fouriertransformation21
Diskrete Fouriertransformation

Informationsgewinnung

Zusammenfassung:

  • Die DFT geht von periodischen Signalen aus.
  • Die DFT liefert das Spektrum eines Bildes.
  • Die DFT transformiert ein Bild in zwei Bilder mit identischer Größe (Real- und Imaginärteil). Diese können in Phase und Amplitude umgerechnet werden.
  • Faltungssatz: Faltungen im Ortsbereich können als Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden.
  • Diverse Funktionen und Operationen können analytisch auf den Frequenzbereichübertragen werden.
  • Das Spektrum liefert Informationen für die verlustfreie Abtastmöglichkeit (Abtasttheorem).
  • Die Manipulation des Spektrums (auch in einer einzigen Frequenz) beeinflusst das gesamte daraus rekonstruierte Bild.

Computer Vision 1_Seite 22