Diskrete mathematik
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Diskrete Mathematik. Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A A A A A A A A A A A A. Kapitel 2:. Graphentheorie. Hamiltonkreise & Eulertouren.

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Presentation Transcript
Diskrete mathematik

Diskrete Mathematik

Angelika Steger

Institut für Theoretische Informatik

steger@inf.ethz.ch

TexPoint fonts used in EMF.

Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAA


Diskrete mathematik

Kapitel 2:

Graphentheorie


Hamiltonkreise eulertouren
Hamiltonkreise & Eulertouren

Betrachte einen Graphen G=(V,E):

Hamiltonkreis:

Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten

des Graphen genau einmal enthält.

Eulertour:

Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der

jede Kante des Graphen genau einmal enthält.


Hamilton
Hamilton

The Icosian Game :

Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865),

Irischer Mathematiker, Physiker und Astronom.


Hamiltonkreis beispiele
Hamiltonkreis - Beispiele

kein Hamiltonkreis …


Np vollst ndigkeit
NP-Vollständigkeit

Karp (1972)

Das Problem

Gegeben ein Graph G=(V,E), enthält G einen Hamiltonkreis?

ist NP-vollständig.

P= effizient entscheidbare Probleme

NP= (einseitig) effizient verifizierbare Probleme

P = NP→ 1 Million US-$ (Clay-Foundation)

?


Hamiltonkreise im gitter
Hamiltonkreise im Gitter

Gibt es einen Hamiltonkreis?

Nein!


Hamiltonkreise im gitter1
Hamiltonkreise im Gitter

Satz: Ein n x m Gitter enthält genau dann einen

Hamiltonkreis, wenn nm gerade ist.


Hamiltonkreise eulertouren1
Hamiltonkreise & Eulertouren

Betrachte einen Graphen G=(V,E):

Hamiltonkreis:

Ein Hamiltonkreis ist ein Kreis, der jeden Knoten

des Graphen genau einmal enthält.

Eulertour:

Eine Eulertour ist ein geschlossener Weg, der

jede Kante des Graphen genau einmal enthält.


Euler
Euler

Euler-Gedenktafel in Riehen

Leonhard Euler (1707 - 1783)


K nigsberger br ckenproblem
Königsberger Brückenproblem

Gibt es einen Spaziergang, bei dem jede Brücke

genau einmal verwendet wird?


Eulertour
Eulertour

Definition:

Ein Graph G=(V,E) heisst eulersch, wenn es

eine Eulertour gibt, d.h. einen Weg, der jede

Kante des Graphen genau einmal enthält

und dessen Anfangs- und Endknoten

identisch sind.

Satz:

Für einen zsghd. Graph G=(V,E) gilt:

G eulerschÜÞalle Knoten haben

geraden Grad


Diskrete mathematik

Kapitel 2.5:

Graphen und lineare Algebra,

Gerichtete Graphen


Adjazenzmatrix
Adjazenzmatrix

Für einen Graphen G=(V,E) ist die

Adjazenzmatrix AG definiert durch:

Beispiel:


Adjazenzmatrix eigenschaften
Adjazenzmatrix - Eigenschaften

  • AG ist symmterisch.

  • AG hat Nullen auf der Hauptdiagonalen

    Satz:

    Der Eintrag aijk der i-ten Zeile und j-ten

    Spalte der Matrix AGk zählt genau die

    Anzahl Wege der Länge (genau) k in G

    von i nach j. [Annahme: V = {1,…,|V|}.]



Gerichtete graphen
Gerichtete Graphen

Definition:

Ein gerichteter Graph, auch Digraph, ist ein Tupel

D=(V,A), wobei V eine (endliche) Menge von

Knoten ist und A Í V x V eine Menge von

gerichteten Kanten (engl. arcs).


Gerichtete graphen1
Gerichtete Graphen

Definitionen: gerichteter Graph D=(V,A), vV

  • Aus-Grad: deg-(v) = | {xV | (v,x)  A } |

  • Ein-Grad: deg+(v) = | {xV | (x,v)  A } |

    Satz:

    Für jeden gerichteten Graphen D=(V,A) gilt:


Gerichtete graphen2
Gerichtete Graphen

  • gerichteter Weg …

  • gerichteter Kreis …

  • zugrundeliegender ungerichteter Graph …

  • schwach zshgd

    ÜÞzugrundeliegender Graph zshgd.

  • stark zshgd

    ÜÞ " x,y ÎV : $ gerichteter x-y-Pfad



Beispiel
Beispiel

Betrachten Folgen der Länge n über dem Alphabet

{0,1}, die keine zwei aufeinanderfolgende Einsen

enthalten: