kap 07 diskrete sannsynlighetsfordelinger n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Kap 07 Diskrete sannsynlighetsfordelinger PowerPoint Presentation
Download Presentation
Kap 07 Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 29

Kap 07 Diskrete sannsynlighetsfordelinger - PowerPoint PPT Presentation


  • 126 Views
  • Uploaded on

Kap 07 Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Sannsynlighetsfordelinger - Typer. Uniform fordeling Indikator fordeling Binomisk fordeling Multinomisk fordeling Geometrisk fordeling Hypergeometrisk fordeling Poisson fordeling Normalfordeling Log-normal fordeling Gamma fordeling

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kap 07 Diskrete sannsynlighetsfordelinger' - bly


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
sannsynlighetsfordelinger typer
Sannsynlighetsfordelinger - Typer

Uniform fordeling

Indikator fordeling

Binomisk fordeling

Multinomisk fordeling

Geometrisk fordeling

Hypergeometrisk fordeling

Poisson fordeling

Normalfordeling

Log-normal fordeling

Gamma fordeling

Eksponential fordeling

Beta fordeling

Weibull fordeling

sannsynlighetsfordelinger strategi
Sannsynlighetsfordelinger - Strategi

1. Grunnleggende forutsetninger for eksperimentet

og den tilhørende sannsynlighetsmodell.

2. Definisjon av den aktuelle stokastiske variable

og utledning av dennes sannsynlighetsfordeling.

3. Undersøkelse av egenskaper ved den utledede sannsynlighetsfordeling,

bl.a. beregning av forventning og varians.

uniform fordeling
Uniform fordeling

La X anta verdiene x1, x2, …, xn

alle med samme sannsynlighet p = 1/n

x x1 x2 … xn

P(X=x) p=1/n p=1/n … p=1/n

indikator fordeling
Indikator fordeling

La I være en indikatorvariabel, dvs I kan anta verdiene 0 eller 1.

La p være sannsynligheten for at I antar verdien 1.

x 0 1

P(I=x) 1-p p

Ik=I

indikator fordeling1
Indikator fordeling

Eksempel

Vi kaster n terninger. Hva blir forventet antall forskjellige øyne som terningene viser?

1 hvis minst en terning viser j øyne

La Ij =

0 hvis ingen terning viser j øyne

Antall forskjellige øyne er da:

X =  Ij j = 1,2,…6

binomisk fordeling
Binomisk fordeling

Registrering av antall ganger et bestemt utfall A inntreffer.

1) Delforsøkene er uavhengige

2) I hvert delforsøk registreres hvorvidt et utfall A inntreffer.

3) Sannsynligheten p = P(A) er den samme i alle n delforsøk.

Sannsynligheten for at vi i løpet av n forsøk får x treff er da:

binomisk fordeling3
Binomisk fordeling

Eksempel:Tre myntkast

X er antall kron i forsøket med n = 3 myntkast.

X er binomisk fordelt fordi:

1) Myntkastene er uavhengige

2) I hvert kast registreres hvorvidt et utfall K (kron) inntreffer.

3) Sannsynligheten p = P(K) = 1/2 er den samme i alle 3 delforsøk.

Sannsynligheten for at vi i løpet av 3 forsøk får x treff er da:

binomisk fordeling4
Binomisk fordeling

Eksempel:Flervalgseksamen

Til en eksamen er det til hvert av 20 spørsmål 5 valgmuligheter.

Beregn sannsynligheten for å stå til eksamen ved reint tipping

når minst 10 av svarene må være rette.

A = Utfallet at et svar er rett.

X = Antall rette svar for en eksamenskandidat

X er binomisk fordelt fordi:

1) Tipping for hvert av de n=20 spørsmålene er uavhengige.

2) I hvert spørsmål registreres hvorvidt utfall A (rett) inntreffer.

3) Sannsynligheten p = P(A) = 1/5 = 0.20 er den samme i alle n=20 delforsøk.

Sannsynligheten for at vi i løpet av n=20 forsøk får x rette er da:

binomisk fordeling5
Binomisk fordeling

Alternativ

Registrering av antall ganger et bestemt utfall A inntreffer.

1) Delforsøkene er uavhengige

2) I hvert delforsøk registreres hvorvidt et utfall A inntreffer.

3) Sannsynlighetene p1 = P(A) og p2 = P(Ac) = 1-p1

er den samme i alle n delforsøk.

Sannsynligheten for at vi i løpet av n forsøk får

x1 treff og x2 = n-x1 ikke-treff er da:

multinomisk fordeling
Multinomisk fordeling

Registrering av antall ganger bestemte utfall A1, A2, …, Am inntreffer.

1) Delforsøkene er uavhengige

2) Hvert delforsøk gir ett av m mulige utfall A1, A2, …, Am

3) Sannsynlighetene for hvert av de mulige utfallene

er de samme i alle n delforsøk.

Sannsynligheten for at vi i løpet av n forsøk får x1 treff av A1,

x2 treff av A2, …, xm treff av Am:

multinomisk fordeling1
Multinomisk fordeling

Eksempel:12 terningkast

Vi utfører n = 12 terningkast.. Hvert kast har 6 mulige utfall,

1 øye (A1), 2 øyne (A2),, …, 6 øyne (A6) med p1 = p2 = … = p6 = 1/6.

Xi = Antall ganger i øyne observeres.

Sannsynlighetsfordelingen til X1, X2 , …, X6 er gitt ved:

Spesielt er sannsynligheten for at alle øyne forekommer 2 ganger lik:

geometrisk fordeling
Geometrisk fordeling

Vi tenker oss et binomisk forsøk, en serie uavhengige enkeltforsøk,

hvor vi holder på inntil første gang A inntreffer.

X = Antall forsøk til første gang A inntreffer

Sannsynligheten for at første treff kommer i x’te forsøk:

Siden punktsannsynlighetene blir ledd i en geometrisk rekke,

sier vi at X er geometrisk fordelt.

geometrisk fordeling1
Geometrisk fordeling

Eksempel:Måleinstrument

Sannsynligheten for at et gitt måleinstrument feiler ved en test

setter vi til 0.05.

Hva er sannsynligheten for at det sjette måleinstrumentet

som blir kontrollert er det første som feiler

og hva er forventet antall tester inntil første feilforekomst?

hypergeometrisk fordeling
Hypergeometrisk fordeling

N = Totalt antall elementer i populasjonen.

M = Antall spesielle objekter i populasjonen (defekte, rød , …)

N-M = Antall vanlige objekter i populasjonen (intakte , hvite, …)

Trekking av n elementer fra populasjonen (uten tilbakelegging).

Antall spesielle elementer noteres.

Trekking med tilbakelegging gir binomisk situasjon.

N>> n gir også binomisk situasjon med Y ~ bin(n,M/N)

hypergeometrisk fordeling1
Hypergeometrisk fordeling

Eksempel:Delegasjon 1

I en forening med 10 medlemmer er det 6 menn og 4 kvinner.

En delegasjon på 4 medlemmer velges ut ved loddtrekning.

Bestem sannsynligheten for at delegasjonen består av 3 kvinner.

N=10 M = 4 n = 4 Y = Antall kvinner i delegasjonen y = 3

hypergeometrisk fordeling2
Hypergeometrisk fordeling

Eksempel:Delegasjon 2

I en forening med 100 medlemmer er det 60 menn og 40 kvinner.

En delegasjon på 4 medlemmer velges ut ved loddtrekning.

Y = Antall kvinner i delegasjonen.

N=100 M = 40 n = 4

Hypergeometrisk:

Binomisk:

poisson fordeling
Poisson fordeling

Registrerer forekomster av en hendelse A i et bestemt område t.

1) Forekomster av A i ikke-overlappende områder er uavhengige.

2) Forventet antall forekomster  av A pr enhet er konstant

over hele området.

3) To forekomster av A kan ikke være fullstendig sammenfallende.

poisson fordeling1
Poisson fordeling

Eksempler påAnvendelses-områder

- Sjeldne fenomener

- Tilnærming til binomisk fordeling ved stor n og liten p

- Trær på et skogsareal av en bestemt størrelse

- Bakterier i en bakteriekultur

- Blodlegemer i en blodprøve

- Forsikring

- Kunder som ankommer en butikk i løpet av en viss tid

- Telefonbruk

- Arbeidsulykker i en bedrift i løpet av en viss tid

- Reservedeler

- Trafikk-ulykker

- Radioaktivitet

- Krigsutbrudd

- Posisjoner av stjerner i universet

- Feiltrykk i bøker

- …..

poisson fordeling2
Poisson fordeling

Utledning 1

n intervaller

0

h=t/n

t

poisson fordeling3
Poisson fordeling

Utledning 2

Tilnærming til Binomisk fordeling.

poisson fordeling5
Poisson fordeling

Eksempel:Trær

Vi betrakter forekomster av trær i et skogareal.

Forutsetninger:

1. Forekomster av trær i et område er uavhengig av forekomster

i andre ikke-overlappende områder.

2. Forventet antall trær pr. arealenhet er konstant over hele området.

3. To trær kan ikke stå nøyaktig på samme sted.

Gjennomsnittlig antall trær pr mål er 12.0. t=12.0 /mål ·1 mål = 12.

X = Antall trær på et mål.

Sannsynligheten for å finne 7,

henholdsvis 20 trær pr mål.

poisson fordeling6
Poisson fordeling

Eksempel:Medfødte misdannelser i Bømlo kommune 1

I 1980-81 ble det i Bømlo kommune i Hordaland observert hele 3 tilfeller av alvorlige

misdannelser i sentralnervesystemet hos nyfødte barn i løpet av et halvt års tid.

Slike misdannelser forekommer vanligvis meget sjelden. I Bømlo ville en vente anslagsvis

ett tilfelle hvert fjerde år. Den type misdannelser det dreier seg om, omfatter bl.a.

ryggmarksbrokk, dvs at ryggraden er ufullstendig utvokst og barnet kan få meget alvorlige

skader på nervene i ryggmargen.

Under ledelse av Institutt for forebyggende medisin ved Universitetet i Oslo ble det satt i gang

undersøkelse for å se om det kunne være spesielle årsaker til den overhyppighet

en registrerte i Bømlo. En fant ikke noen slike årsaker, og konkluderte med at det hele var

et resultat av tilfeldigheter.

Vi skal se på hvordan sannsynlighetsberegning kan kaste lys over dette problemet.

poisson fordeling7
Poisson fordeling

Eksempel:Medfødte misdannelser i Bømlo kommune 2

Vi bestemmer først det forventede antall forekomster  pr halvår.

Det blir født ca 80 barn i løpet av et halvt år i Bømlo, og risikoen for misdannelse (ut fra tall fra

hele landet) er ca 1.6 pr 1000 fødsler, dvs et forventet antall på 0.13.

Vi setter derfor  = 0.13.

Vi beregner sannsynligheten for 3 eller flere forekomster:

Siden dette tallet er så lite, kan det være fristende å tro at det hele ikke bare er tilfeldig, men

at misdannelsene har en bestemt årsak (medikamenter, miljøgifter, …).

Imidlertid kan vi kanskje spørre hva sannsynligheten er for en gang i løpet av 10 halvår

å observere slike 3 eller flere slike misdannelser blant de øvrige 50 kommunene på samme størrelse som Bømlo.

Siden dette tallet er såpass stort, er det ikke lengre så merkelig med slike

observasjoner som i Bømlo.

tiln rming
Tilnærming

 = M/N

(N-n)/(N-1)·np(1-p) > 10

n/N < 0.1

P+n/N < 0.1

n > 10

 Bin(n, )

np(1-p) > 10

 > 15

n > 10

p <= 0.1

 Po()

 = np