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LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS. ¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene 365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366 personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%?.
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LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS ¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene 365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366 personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%? El número de posibles: n fechas de 365 (casos posibles) es: n fechas distintas de 365 (casos no favorables) es: Con n = 23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0,5.
¿Y si fijamos la fecha? Por ejemplo, yo nací el 2 de julio, ¿cuántas personas son necesarias en un grupo para alcanzar el 50% de probabilidad de que al menos una haya nacido el mismo día que yo? Para n = 253 esta probabilidad es aproximadamente del 50%. Moraleja: mientras que es probable que ocurra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto.
(1) Probabilidad de que al menos haya coincidencia en un cumpleaños Calcularemos la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia y utilizaremos el complementario. [1,...,1] [0,...,0] (23) (342) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar dos grupos con 23 urnas de tipo 1 y 342 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! formas distintas de colocar las bolas en las urnas tipo 1. Casos favorables Entonces, la probabilidad de que no haya coincidencia es: La probabilidad de que haya al menos un par de personas con el mismo día de cumpleaños será:
(2) Probabilidad de que haya precisamente una coincidencia y solo una [2] [1,...,1] [0,...,0] (1) (21) (343) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 2, 21 urnas de tipo 1 y 343 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /2! formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente una coincidencia es:
(3) Probabilidad de que haya precisamente dos coincidencias [2,2] [1,...,1] [0,...,0] (2) (19) (344) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 2 urnas de tipo 2, 19 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!)2 formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:
(4) Probabilidad de que haya precisamente tres coincidencias [2,2,2] [1,...,1] [0,...,0] (3) (17) (345) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 3 urnas de tipo 2, 17 urnas de tipo 1 y 345 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!)3 formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:
(5) Probabilidad de que haya precisamente una triple coincidencia [3] [1,...,1] [0,...,0] (1) (20) (344) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 3, 20 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /3! formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:
