Aclaración de la Paradoja de Russell y sus Variantes , con Verdades Lógicas

1. Aclaración de la Paradoja de Russelly sus Variantes, con Verdades Lógicas José Alfredo Amor Facultad de Ciencias UNAM jaam@fciencias.unam.mx

2. Si todos los maestros de lógica de Huauchinango enseñan lógica a toda la gente de aquí que no se enseña lógica a sí misma y sólo a esa . . . ¡Entonces, no hay maestros de lógica en Huauchinango!

3. TEMAS • ACLARAR • PARADOJAS • VERDADES LÓGICAS • LA PARADOJA DE RUSSELL • ACLARACIÓN DE LA PARADOJA (una verdad lógica muy especial) • VARIANTES DE LA PARADOJA • TEOREMA DE CANTOR • CONCLUSIONES

4. ACLARAR VOLVER CLARO O TRANSPARENTE ALGO. PONER EN CLARO ALGO O HACERLO MÁS PERCEPTIBLE PARA COMPRENDERLO MEJOR.

5. PARADOJA COSA EXTRAÑA O CONTRADICTORIA CON LA OPINIÓN COMÚN O AL SENTIDO COMÚN DE LA GENTE AFIRMACIÓN INVEROSÍMIL O ABSURDA PARA LA INTUICIÓN QUE SE PRESENTA CON APARIENCIA DE VERDADERA

6. Las paradojas son resultados contrarios a la opinión común. A primera vista parecían no problemáticos pero con un razonamiento adecuado nos llevan a una contradicción. Son como los acertijos: parecen problemas insolubles, pero siempre tienen solución, sólo es necesario entenderlas y aclararlas. Son argumentos que nos llevan a una contradicción con alguna suposición que inocentemente parecía correcta y clara a la intuición.

7. La intuición como facultad humana ayuda mucho en muchísimos casos,pero obstaculiza en otros • Si un razonamiento impecable conduce a contradecir una intuición particular que uno tiene sobre algo, probablemente estará mal la intuición particular. • En un principio las paradojas pueden parecer inexplicables, pero analizadas, entendidas y aclaradas, encontramos que son pruebas fehacientes de que nuestro patrón de intuición era erróneo y debe ser modificado.

8. Así pues, las paradojas son inferencias correctas en una teoría, pero que chocan fuertemente con nuestra intuición o sentido común. • No son afirmaciones erróneas, sólo contradicen nuestras intuiciones pero serán estas últimas, las intuiciones, las equivocadas y las que tendremos que cambiar. • Esto puede ser difícil por dos razones: primero, porque generalmente no está claro cuál de las intuiciones supuestas nos llevó a la contradicción. • Segundo, porque generalmente no queremos aceptar que nuestra clara intuición está equivocada. Pero descubrir las intuiciones equivocadas y eliminarlas . . . . ¡Mejorará nuestra intuición!

9. Muchas paradojas son germen de nuevas ideas • Sólo necesitamos poder “ver más allá” para aclararlas y mejorar nuestra intuición, logrando con ello un proceso heurístico que nos llevará a nuevos descubrimientos. • En general, convertir una aparente imposibilidad paradójica en una nueva posibilidad creativa, aclarando y desechando la concepción equivocada y cambiando la intuición, puede llevarnos a un descubrimiento

10. Algunos ejemplos históricos de este proceso heurístico son los siguientes: • 1. La existencia de los inconmensurables: a partir de la paradoja, para los pitagóricos, de que el lado del cuadrado fuera inconmensurable con su diagonal. • 2. La aceptación de las geometrías no euclidianas: a partir de las paradojas antieuclidianas en la geometría de las superficies curvas; cambiando la intuición equivocada de que la única geometría verdadera y posible era la euclidiana, por el nuevo criterio de existencia como equivalente de no contradicción. • 3. El concepto de conjunto infinito de Dedekind: tomando como definición, precisamente lo que se había considerado una paradoja desde Galileo hasta Bolzano: que un conjunto (infinito) fuera biyectable con un subconjunto propio.

11. 4. El concepto de verdad respecto a una interpretación que indica que un enunciado es verdadero si su significado se refiere a un hecho en la interpretación. Pero la verdad siempre se refiere al significado y debe excluirse la intuición equivocada de que el significado pudiera referirse a su propia verdad, en cuyo caso se tiene la paradoja del mentiroso. • 5. La prueba del teorema de Gödel de incompletud de la aritmética formal, cambiando en la paradoja del mentiroso, el concepto “falso” por el de “indemostrable”, con lo cual es posible construir un enunciado verdadero en el modelo estándar de la aritmética, pero indemostrable en la aritmética formal. • 6. El concepto iterativo de conjunto, base intuitiva de la axiomática de Zermelo-Fraenkel, cambiando la errónea concepción extensional de Russell, por la concepción iterativa o constructiva de conjunto

12. VERDADES LÓGICAS • SON ENUNCIADOS VERDADEROS CON CUALQUIER SIGNIFICADO • ES DECIR, SON VERDADES QUE NO DEPENDEN DEL SIGNIFICADO • SÓLO DEPENDEN DE SU FORMA LÓGICA

13. EJEMPLOS DE VERDADES LÓGICAS • SI HAY UN PAYASO TODOS RÍEN O SI TODOS RÍEN HAY UN PAYASO. • TODOS LOS HOMBRES SON CASADOS O NO SON CASADOS. • CUALQUIER NIÑO ES IGUAL A SÍ MISMO. • SI HAY ALGUIEN RELACIONADO CON TODOS, ENTONCES PARA TODOS HAY ALGUIEN RELACIONADO CON ÉL.

14. UNA PARADOJA EN MATEMÁTICAS EL CONCEPTO DE CONJUNTO: • INTUITIVAMENTE, UN CONJUNTO ES UNA COLECCIÓN DE OBJETOS • ESCRIBIMOS AB Y LEEMOS “A ES ELEMENTO DE B” SI A ES UNO DE LOS OBJETOS QUE FORMAN EL CONJUNTO B. • EN CASO CONTRARIO SE DENOTA AB.

15. El concepto ingenuo de conjunto:Cualquier propiedad determina un conjunto, el conjunto de todos los objetos que la cumplen. Así, si P es una propiedad cualquiera, entonces la colección de los objetos X tales que X cumple la propiedad P {X / X cumple P} es un conjunto. Ésta es una concepción intuitiva, clara y útil, del concepto de conjunto

16. EJEMPLOS {X / X es número par menor que 10} = {2,4,6,8} • Álvaro Obregón{X / X fue presidente de México} • {a, b} = { X / X = a o X = b }

17. DADO UN CONJUNTO DE OBJETOS B, PUEDE OCURRIR QUE: • B PERTENCE A B (ES DECIR BB) o bien que: • B NO PERTENECE A B (ES DECIR BB).

18. POR EJEMPLO: • SI EL CONJUNTO I DE TODAS LAS IDEAS ES UNA IDEA ENTONCES PERTENECE A I, ES DECIR I  I • EL CONJUNTO S DE TODAS LAS SILLAS NO ES UNA SILLA, ENTONCES NO PERTENECE A S, ES DECIR SS. ASÍ, • “NO PERTENECERSE A SÍ MISMO”, ES UNA PROPIEDAD ACERCA DE CONJUNTOS

19. SI CUALQUIER COLECCIÓN DETERMINADA POR UNA PROPIEDAD ES UN CONJUNTO Y CONSIDERAMOS LA PROPIEDAD: • “SER UN CONJUNTO Y NO PERTENECERSE A SÍ MISMO” Entonces • B = {X / X es un conjunto y XX} ES UN CONJUNTO

20. ASÍ, PARA CUALQUIER OBJETO X • XB SI Y SÓLO SI X es un conjunto y XX. Entonces para cualquier conjunto X: • X B SI Y SÓLO SI X  X Ahora, si B es realmente un conjunto, en particular para B tenemos que: • B B SI Y SÓLO SI BB ¡Pero eso es absurdo !

21. Si suponemos que B = {x / x es un conjunto y xx} es un conjunto, entonces tenemos una contradicción. • Tenemos que concluir entonces que B no es un conjunto. Esto contradice la concepción ingenua, tan intuitiva, tan clara y útil. • Pero entonces esa intuición está mal y tenemos que desecharla. • Pero ¿por qué está mal? • ¿Cuál es la razón de fondo para que esto sea así? ¿Hay alguna explicación, además del argumento anterior?

22. Aclaración de la Paradojacon una verdad lógica muy especial* • En cualquier universo de objetos y para cualquier relación R entre objetos de ese universo: No hay ahí en ese universo objeto alguno que tenga esa relación R exactamente con todos aquellos objetos que no tengan esa relación Rconsigo mismos, y sólamente con esos. * Se puede demostrar fácilmente que este enunciado es una verdad lógica

23. OCHO EJEMPLOS DE LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIAL • UNIVERSO: LOS HOMBRES DE HUAUCHINANGO • RELACIÓN R: X RASURA A Y • VERDAD LÓGICA: NO HAY BARBERO EN HUAUCHINANGO QUE RASURE A TODOS LOS HOMBRES DE HUAUCHINANGO QUE NO SE RASURAN A SÍ MISMOS, Y SÓLO A ESOS

24. UNIVERSO: LOS SOCIOS DE CLUBES CON NOMBRES DE SOCIOS • RELACIÓN R: X ES SOCIO DEL CLUB CON EL NOMBRE DE Y. • VERDAD LÓGICA: NO HAY PERSONA TAL QUE LOS SOCIOS DEL CLUB CON SU NOMBRE SEAN EXACTAMENTE LOS QUE NO SON SOCIOS DEL CLUB CON SU NOMBRE Y SÓLO ESOS.

25. UNIVERSO: LOS CATÁLOGOS DE CATÁLOGOS • RELACIÓN R: X CATALOGA A Y. • VERDAD LÓGICA: NO HAY UN CATÁLOGO QUE CATALOGUE A TODOS LOS CATÁLOGOS QUE NO SE CATALOGAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A ESOS.

26. UNIVERSO: LOS VÉRTICES DE UNA GRAFICA DIRIGIDA G • RELACIÓN R: X ESTÁ CONECTADO CON UNA ARISTA HACIA Y. • VERDAD LÓGICA: NO HAY VÉRTICE EN G QUE ESTÉ CONECTADO HACIA TODOS LOS VÉRTICES QUE NO ESTÉN CONECTADOS HACIA SÍ MISMOS Y SÓLO HACIA ESOS.

27. UNIVERSO: LOS ADJETIVOS • RELACIÓN R: X DENOTA A Y. • VERDAD LÓGICA: NO HAY ADJETIVO QUE DENOTE A TODOS LOS ADJETIVOS QUE NO SE DENOTAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A ESOS. (ES DECIR, NO EXISTE EL ADJETIVO HETEROLÓGICO).

28. UNIVERSO: LOS PRESIDENTES MUNICIPALES • RELACIÓN R: X ES EL PRESIDENTE MUNICIPAL DEL MUNICIPIO DONDE VIVE EL PRESIDENTE MUNICIPAL Y. • VERDAD LÓGICA: NO HAY PRESIDENTE MUNICIPAL DEL MUNICIPIO DE TODOS LOS PRESIDENTES MUNICIPALES QUE NO VIVEN EN EL MUNICIPIO DEL QUE SON PRESIDENTES MUNICIPALES.

29. UNIVERSO: LOS HABITANTES DE HUAUCHINANGO RELACIÓN R: X ENSEÑA LOGICA A Y • VERDAD LÓGICA: NO HAY PROFESORES DE LOGICA EN HUAUCHINANGO QUE ENSEÑEN LOGICA A TODOS LOS HABITANTES DE HUAUCHINANGO QUE NO SE ENSEÑAN LOGICA A SÍ MISMOS, Y SÓLO A ESOS.

30. UNIVERSO: LOS CONJUNTOS • RELACION R:Y ES ELEMENTO DE X O Y PERTENECE A X (Y  X). • VERDAD LÓGICA: NO HAY UN CONJUNTO AL QUE LE PERTENEZCAN TODOS LOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS, Y SÓLO ESOS. • ES DECIR, NO HAY UN CONJUNTO B = { Y / Y  Y }

31. LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIAL EN EL CASO DE LOS CONJUNTOS • En el universo de los conjuntos con la relación pertenencia entre conjuntos (ser elemento de). • No existe un conjunto cuyos elementos sean exactamente todos aquellos conjuntos que no son elementos de sí mismos, y sólo esos. • Así pues B = {x / x x }, no existe (en el universo de los conjuntos) o bien • Tal B no es un conjunto. ¡Esto es una verdad lógica!

32. Concluimos la aclaración de la paradoja • El concepto ingenuo de conjunto como colección de objetos que cumplen una propiedad, aunque es intuitivo, claro y útil es erróneo. • Porque es contradictorio con una verdad lógica, para el caso de la propiedad “Ser un conjunto y no pertenecerse a sí mismo”.

33. ES CLARO AHORA, EL PORQUÉ DE LA PARADOJA DE RUSSELL: ¡ ES UN CONCEPTO QUE CONTRADICE A UNA VERDAD LÓGICA ! • CONCEPTO INGENUO: EXISTE UN CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS. • VERDAD LÓGICA: NO EXISTE UN CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS.

34. EQUIPOTENCIA • DEFINICION: Un conjunto A es equipotente a un conjunto B si y sólo si hay una biyección de A sobre B. • NOTACION: Si A es equipotente a B, lo denotamos A ~ B. • Ejemplos: • ℕ~ℕxℕ ~ℤ~ℚ • ℕ≁ℝ • ℝ~ℝxℝ

35. ¿El conjunto de los espectadores de un teatro tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los asientos del teatro? • Para saber la respuesta, el acomodador ¡no necesita contar a los espectadores ni a los asientos!

36. Podemos definir las relaciones “los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos”, o “el conjunto A tiene estrictamente menor número de elementos que el conjunto B”. Todo sin sabernada acerca de números. Lo único que necesitamos hacer en el primer caso es establecer una biyección entre todos los elementos de A y todos los elementos de B. En el segundo caso establecer una función inyectiva de todos los elementos de A a elementos de B y mostrar que no hay biyección entre los dos conjuntos.

37. TEOREMA DE CANTORPara todo conjunto A, A≁P(A) • Sea g: A → P(A) cualquier función Sea B = {y∈A / y∉g(y)} B∈P(A) • Pero B∉im(g) pues si B = g(z) para algún z∈A, tendríamos que z∈B  z∉g(z)  z∉B ! • Así pues g no es suprayectiva y como fue arbitraria, no hay biyección entre A y P(A). • Observación. Hay f: A→P(A) inyectiva, por ejemplo tal que x∈A, f(x)={x} ∈ P(A)

38. Una Observación Lógica • La afirmación ¬zw [w R g(z)  ¬(w R g(w))] Es lógicamente válida, en todo universo, para toda g función y toda R relación binaria. Como caso particular, con la interpretación en el universo de los conjuntos, la relación R como ∈, y g como cualquier función, se afirma: • No hay un conjunto tal que su imagen bajo g sea el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a su propia imagen bajo g: ¬z g(z)={w / w∉g(w)}.

39. ¿Es el Teorema de Cantor una Verdad Lógica? • Una fórmula lógicamente válida, relacionada con el Teorema de Cantor es la siguiente: Ag[F(g)D(g,A) z ( R(z,A)  w(R(w,A) [R(w,f(g,z))  R(w,f(g,w))]))] El lenguaje es: F predicado de un argumento; D, R predicados de dos argumentos; f símbolo de función de dos argumentos. Las variables son: A, g, z, w. Esta fórmula es lógicamente válida: dados A y g tales que F(g)D(g,A) por reducción al absurdo mostrar  z (.....), suponiendo z (.....).

40. Considero la siguiente interpretación para el lenguaje: • Dominio V: los conjuntos (de aquí que A, g, z, w  representan conjuntos)F V, se interpreta como F(g): g es una función (conjunto de pares ordenados donde no hay dos pares con igual izquierdo y diferente derecho).D VxV, se interpreta como D(g, A): g es función y A es su dominio (A es el conjunto de los elementos izquierdos de los pares ordenados de g).R VxV, se interpreta como R(z, A): z A (R es la relación de pertenencia entre conjuntos).f : VxV -------> V es una función binaria sobre el conjunto V, tal que para todo g, z V: • i) f(g, z) = g(z)   si g es función y z está en el dominio de g •  ii) f(g, z) = Vacío, en otro caso.

41. Sean A cualquier conjunto y g cualquier conjunto-función cuyo dominio es A. • Se concluye que no hay z  A tal que g(z) = {w A / w  g(w)} por lo que el conjunto {w A / w  g(w)} no está en la imagen de A bajo g. • Pero ese conjunto {w A / w  g(w)} es subconjunto de A por lo que pertenece al conjunto Potencia de A. • Concluimos que g no es suprayectiva sobre Potencia de A. Y como g fue arbitraria, no hay biyección posible entre A y Potencia de A (Teorema de Cantor).

42. Observaciones • En el penúltimo renglón del párrafo anterior es donde para decir que {w A / w  g(w)} es un conjunto necesito el Axioma de Separación. • Y para hablar de que {w A / w  g(w)} es elemento del conjunto Potencia de A, necesito el Axioma de Potencia.

44. BIBLIOGRAFIA • 1. AMOR J. A., “PARADOJAS, INTUICIÓN Y LÓGICA”, REVISTA CIENCIAS No.29, ENE. 1993, FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM. • AMOR J. A., “TEORIA DE CONJUNTOS PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS”, SERVICIOS EDITORIALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA UNAM, 2a. Ed. 2005. • QUINE W. V.O., “RUSSELL’S PARADOX AND OTHERS”, THE TECHNOLOGY REVIEW, NOV. 1941. • QUINE W. V.O., “PARADOX”, THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS, ABR. 1962. • SMULLYAN RAYMOND, “¿CÓMO SE LLAMA ESTE LIBRO?”, ED. CÁTEDRA COL. TEOREMA, 1978. • TARSKI ALFRED, “TRUTH AND PROOF”, SCIENTIFIC AMERICAN, JUN. 1969.