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Tests non paramétriques

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Tests non paramétriques. Contre paramétriques. Tests libres. Certains tests statistiques ne sont valables que sous certaines conditions concernant la forme de la distribution des variables: le test de Student suppose par exemple des lois normales. L’anova également.

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tests non param triques

Tests non paramétriques

Contre paramétriques

tests libres
Tests libres
  • Certains tests statistiques ne sont valables que sous certaines conditions concernant la forme de la distribution des variables: le test de Student suppose par exemple des lois normales. L’anova également.
  • D’autres tests au contraire sont valables indépendamment de toute distribution. C’est le cas du test du khi², des signes, ou du coefficient de Spearman. On les nomme tests « libres » ou « indépendants de toute distribution » (distribution-free tests).

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tests param triques
Tests paramétriques
  • Certains tests ont pour but de démontrer une inégalité sur des paramètres (moyenne en général): anova, comparaisons de moyenne, test du coefficient de corrélation, test de Levene (variances)… Ce sont des tests paramétriques.
  • D’autres testent des hypothèses plus générales: égalité de lois, indépendance de variables nominales: tests du khi², tests de Kolmogorov-Smirnov, du tau de Kendall… Ce sont des tests non-paramétriques.

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choix de tests
Choix de tests
  • Habituellement, les tests paramétriques sont plus puissants — on les choisira de préférence — que les tests non paramétriques.
  • De même les tests non libres sont généralement plus efficaces que les tests libres.
  • Cependant, ils sont aussi plus contraignants, car il faut vérifier les conditions d’application, plus nombreuses. On choisira généralement un test libre ou non paramétrique lorsque
    • les conditions d’utilisation des autres tests ne sont pas vérifiées
    • il est impossible de vérifier ces conditions.

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slide5
Plan
  • Les parieurs — test des signes
  • Baisse d’attention & Alzheimer — Wilcoxon (indépendant) ou Mann-Whitney
  • Les Japonais — Kruskal-Wallis ou test des médianes
  • Cigarette et anxiété — Wilcoxon (apparié)
  • Luttons contre la timidité — Friedman
  • La porte! — test binomial
  • Les étudiants trichent-ils? — runs test (test des séquences)
  • Le QI des dépressifs — Kolmogorov-Smirnov à un échantillon
  • Opinions racistes — réactions extrêmes de Moses
  • Effet de la cocaïne sur les compétences réelles et imaginées — tests de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons et de Wald-Wolfowitz.
  • Episodes stressants et dépression — test de Jonckheere-Terpstra
  • Ne pas jeter sur la voie publique — Mc Nemar
  • Ne pas jeter sur la voie publique II — Homogénéité marginale
  • Utilisabilité — test Q de Cochran

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1 les parieurs

1. Les parieurs

Test des signes

exp rience
Expérience

Des joueurs parient à la machine à sous certaines sommes d’argent. Pour chacun des parieurs, on relève la somme moyenne par pari sur 10 paris, et cela dans deux situations: d’une part dans la situation témoin (sans observateur), et d’autre part lorsque 2 témoins les regardent (situation test).

Les groupes sont appariés pour le genre et contrebalancés pour l’ordre des deux situations.

La question est: les individus parient-ils plus lorsqu’ils sont observés?

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student
Student
  • Le plus évident serait d’utiliser un test de comparaison de moyennes pour échantillons appariés, afin de déterminer si la différence D=Xtest-Xtémoin est nulle en moyenneou non.
  • Il s’agit alors d’un test de Student, utilisé sur la variable D. Notre échantillon est de taille 20, ce qui est faible.
  • Avant de commencer le test de Student, on représente les données observées pour vérifier au moins graphiquement la normalité.

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slide11
Donc
  • Il n’est pas légitime ici d’utiliser le test prévu, parce que l’échantillon est petit et que la variable D n’est probablement pas normale.
  • On se rabat donc sur un test non paramétrique: le test des signes. Quelques remarques s’imposent.

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remarques
Remarques
  • Nous voulions tester la différence moyenne entre les paris avec et sans observateurs, mais nous allons tester une autre hypothèse. Avec Student, on vérifie que les paris témoin (par exemple) sont inférieurs en moyenne aux paris test. Avec le test des signes, on testera que les paris témoins sont en général inférieurs aux paris test.
  • Nous utilisons un test peu puissant. En fait, on perd énormément d’information, puisqu’on ne conserve que le signe de D. Si D suivait une loi normale, ou si on avait un gros échantillon, un test de comparaison de moyennes serait de loin préférable.

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r sultats
Résultats
  • On calcule par ordinateur les résultats pour le test des signes, qui permet d’opposer l’hypothèse nulle que la première valeur (test) est aussi souvent supérieure qu’inférieure à la seconde (témoin).
  • Dans les résultats qui suivent, on a utilisé la différence témoin-test, si bien qu’une différence négative indique des paris plus élevés dans la situation test.

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slide14

statistiques descriptives

résultats du test des signes

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conclusion
Conclusion
  • Le test des signes fonctionne. On peut donc conclure H1 (effet de la présence d’observateurs) contre H0 (pas d’effet). Cela au risque de 0.1%.

Il resterait à étudier, bien entendu, le lien entre les observateurs et les parieurs. Mais ça n’est pas un problème purement statistique.

  • Le test des signes permet de comparer deux variables (i.e. deux échantillons appariés).

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attention soutenue

Berardi, A. et al. Sustained Attention in Mild Dementia of the Alzheimer Type. A paraître.

Attention soutenue

Test U de Mann-Whitney

Test de Wilcoxon pour échantillons indépendants

principe
Principe
  • On dispose d’un groupe témoin (n=10) et de patients de type Alzheimer (n=10), appariés pour l’âge et le genre.
  • On relève par une variable X numérique la baisse de l’attention au cours d’une séance d’exercices cognitifs (reconnaissance d’une lettre apparaissant à l’écran).
  • On veut montrer — entre autres — que la baisse de l’attention est plus rapide chez les patients (donc X est plus élevé).
  • Les distributions de X ne semblent pas normales, et les variances diffèrent énormément. Il nous faut une alternative au test de comparaison de moyennes.

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principe1
Principe
  • On utilisera donc le test U de Mann-Whitney ou Test de Wilcoxon pour deux échantillons indépendants.
  • Ce test permet de confronter les hypothèses H0(les deux variables sont du même ordre de grandeur) et H1(l’une des deux variables a tendance à dépasser l’autre).
  • On observe sur l’échantillon la somme des rangs: la somme la plus élevée correspond aux valeurs les plus grandes. Ici, le groupe Alzheimer est numéroté 2, le groupe témoin est codé 1.

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le test
Le test

le test U de Mann-Whitney utilise les rangs.

le test U de Mann-Whitney est identique au test des sommes des rangs de Wilcoxon.

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conclusion1
Conclusion
  • On peut donc conclure au risque de 2% que les patients Alzheimer présentent globalement une baisse plus marquée de l’attention soutenue (de manière rigoureuse: X est stochastiquement supérieure pour les patients Alzheimer.

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estime corporelle

Kowner, R. (2002). Japanese body image: Structure and esteem scores in a cross-cultural perspective. International Journal of Psychology, 37.

Estime corporelle

Test H de Kruskal-Wallis

Test des médianes

l tude
L’étude
  • On relève dans différents pays un score d’estime corporelle par une variable quantitative X.
  • On souhaite savoir si le pays P a un effet sur la variable X. Il est donc tout naturel de s’orienter vers une analyse de variance simple. On vérifie dans un premier temps les conditions d’application.

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conditions d application
Conditions d’application

Conditions d’application non vérifiées

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l tude1
L’étude
  • Une solution est de transformer les données. Ici, c’est difficile parce que les distributions sont franchement asymétriques, et d’asymétries opposées.
  • Nous abandonnons l’idée d’une anova, et utilisons à la place un équivalent de l’anova simple qui utilise non les valeurs mais les rangs: L’analyse de variance à un critère de classification de Kruskal-Wallis (ou H de Kruskal-Wallis).
  • Nous pouvons aussi penser au test des médianes.

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le test des m dianes
Le test des médianes
  • Le test des médianes calcule la médiane commune des groupes, disons m, puis transforme la variable dépendante en une variable dichotomique (supérieure ou inférieure à m). Il ne reste plus qu’à effectuer un test du khi² sur ces nouvelles données.
  • Ce test a l’inconvénient d’être très peu puissant. On le réservera plutôt aux cas où l’on ne peut pas utiliser le test de Kruskal-Wallis (trop d’ex æquo), à moins qu’on ne cherche précisément une différence sur les médianes, ce que détecte ce test.

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le tableau de contingence est propice au test du khi² d’indépendance

les données sont censurées (dichotomisées)

le khi² est significatif au risque de 2.5%, mais pas au risque de 2%

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kruskal wallis
Kruskal-Wallis

Le test de Kruskal-Wallis utilise les rangs

La variable de décision suit une loi du khi² sous l’hypothèse nulle

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r sultats1
Résultats
  • On peut donc conclure — mais seulement au risque de 2,5% — que les différents pays ne donnent pas les mêmes valeurs de X globalement. Il semblerait que les Japonais aient une estime corporelle inférieure à celle des Canadiens et des Israéliens en général.
  • Il faudrait faire des tests supplémentaires pour décider si la différence particulière Japon-Canada par exemple est significative ou non. Par exemple, une fera une série de tests de Wilcoxon… en faisant attention au risque.

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tabac et anxi t

Juliano, L.M. & Brandon, T.H. (2002). Effect of nicotine dose, instructional set, and outcome expectancies on the subjective effect of smoking in the presence of a stressor. Journal of Abnormal Psychology, 111.

Tabac et anxiété

Test de Wilcoxon pour échantillons appariés

l id e
L’idée
  • On compare l’anxiété chez des fumeurs ayant à leur disposition des cigarettes (groupe test) et des placebo (cigarettes sans nicotine: groupe témoin). Ils ne sont pas informés de l’absence éventuelle de nicotine.
  • On utilise un plan répété pour des raisons d’efficacité et parce que les différences inter-individuelles d’anxiété sont importantes par rapport à l’effet attendu de la nicotine. L’échantillon est contrebalancé pour l’ordre.
  • Pour étudier l’effet de la nicotine, le plus logique est d’utiliser un test de Student pour échantillons pairés. Cependant, la variable différence D=Xnicotine-Xplaceboest bimodale.

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le test1
Le test
  • On utilisera alors un test de Wilcoxon pour échantillons appariés, pour opposer l’hypothèse nulle que la nicotine n’a pas d’effet (i.e. le score X d’anxiété est globalement le même dans le deux cas) contre l’hypothèse inverse.

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slide32

Les données vont dans le sens voulu. La nicotine semble plus efficace.

Le test de Wilcoxon se base sur les rangs de la différence

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th rapie comportementale

Thérapie comportementale

Test de Friedman

W de Kendall

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Idée
  • Pour lutter contre la timidité, plusieurs thérapies ont été testées, mais la plus prometteuse est la thérapie comportementale. On mesure, sur quelques patients qui suivent la thérapie, une grandeur X de la gravité des symptômes liées à la timidité. X est relevée 5 fois au cours de la thérapie (intervalles: 8 jours).
  • On souhaite montrer un effet de la thérapie — en réalité, il faudrait comparer avec un groupe témoin mais nous supposerons que sans thérapie il n’y a pas d’amélioration. Pour cela, on pourrait envisager une anova pour plans répétés, mais les conditions d’application ne sont pas vérifiées.

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slide35
Idée
  • On utilisera alors un équivalent de l’anova pour plans répétés, et qui utilise les rangs de la variable pour chaque sujet: le test de Friedman.
  • Malheureusement, cette méthode ne permet pas — ici c’est sans importance — de montrer un éventuel effet du facteur sujet.

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slide36

L’ordre est conforme à ce qu’on attend d’une thérapie efficace

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slide37

La variable de décision suit une loi du khi² sous H0.

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compl ment
Complément
  • Le coefficient qui sert au test de Friedman a été normalisé: c’est alors le W de Kendall. L’intérêt du W de Kendall est qu’il se lit comme un coefficient de corrélation (il est toujours compris entre 0 et 1).
  • On peut donc l’interpréter indépendamment de la taille de l’échantillon.

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Le W de Kendall (ou coefficient de concordance de Kendall). Il montre ici un accord moyen. Il est plus utile lorsque les différentes valeurs sont données par des juges.

le khi² est celui de Friedman

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conclusion2
Conclusion
  • Il y a donc un effet du temps sur la gravité des symptômes. Les rangs vont dans le sens voulu. On conclut à un effet positif de la thérapie.

Attention: il faudrait normalement absolument comparer ces résultats à ceux d’un groupe témoin, ne serait-ce qu’à cause du phénomène de régression vers la moyenne.

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la porte

La porte

Test binomial

principe2
Principe
  • Pour des raisons de sécurité, il peut être important de savoir si les gens auront tendance à pousser ou à tirer la porte.
  • On relève sur un échantillon qui pousse et qui tire la porte. On veut tester l’hypothèse que la distribution pousser/tirer n’est pas uniforme (50%-50%).
  • On pourrait pour cela utiliser un test du khi² de conformité, mais la variable de décision ne suit pas une vraie loi du khi²: il s’agit d’une approximation. On préfèrera alors un test exact.

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test binomial
Test binomial
  • On utilisera ici le test binomial.
  • Ce test n’est valable que dans le cas d’une unique variable dichotomique dont on veut tester la distribution.

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slide44

les données vont dans le sens voulu (hypothèse alternative)

soit 0.3% en bilatéral, donc 0.15% unilatéral

proportion théorique

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les tudiants trichent ils

Les étudiants trichent-ils?

test des suites en séquences

« runs test procedure »

donn es
Données
  • On dispose d’un paquet de copies, qui est encore classé dans l’ordre où les étudiants étaient assis.
  • On aimerait savoir, comme dans le cas courant d’un échantillon pseudo-aléatoire, si les étudiants ont répondu indépendamment l’un de l’autre ou si l’on trouve au contraire trop de suites de réponses identiques qui se suivent.
  • Pour le savoir, on raisonne sur les « séquences ». Prenons par exemple la réponse à l’une des questions, qui était le calcul d’un écart type. Une bonne partie des étudiants s’est trompée, soit en calculant l’écart type corrigé, soit en oubliant de prendre la racine carrée…

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donn es1
Données
  • Nous disposons de nombreuses valeurs différentes de la réponse.
  • Par rapport à la médiane (ici 4), certaines valeurs sont trop faibles (strictement), ce qu’on notera « - » et d’autres trop grandes (ou égales à la médiane), ce qu’on notera « + ». On compte alors le nombre de séquences, qui devrait être ni trop petit (les voisins copient) ni trop élevé (les voisins font le contraire l’un de l’autre).
  • Le test des séquences (runs test) permet de vérifier que le nombre de séquences est raisonnable.

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séquence 2

séquence 7

séquence 1

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s quences
Séquences
  • Nous avons ici 7 séquences. Est-ce trop? trop peu? Le test des séquences y répond.
  • Ce que nous testons ici par rapport à la médiane peut aussi être testé par rapport à n’importe quelle valeur (notamment la bonne réponse 8). Il ne faut pas, bien entendu, tester un trop grand nombre de valeurs distinctes, car cela fausserait la signification.
  • Nous testons ici avec le runs test la médiane et la bonne réponse.

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slide50

la médiane et 4

16 valeurs sont inférieures à la médiane

et 27 supérieures

On a 6 séquences sur une suite de 43 valeurs.

Les étudiants ont triché

On attendait plus de séquences (z<0)

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slide51

Les résultats sont identiques quand on compare à la bonne valeur — 8 —, même si la signification est moindre.

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d pression et qi

Dépression et QI

Test de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon

probl matique
Problématique
  • On dispose des QI d’un échantillon de 25 patients dépressifs. On souhaite savoir si les dépressifs présentent un QI conforme à la population générale, et en particulier si ce QI suit une loi normale. Ce type de questions est important lorsqu’on envisage de procéder à un test fondé sur des lois normales.
  • Pour cela, on peut utiliser le test du khi², mais il obligerait à perdre une grande partie de l’information (car il faudrait regrouper les valeurs en catégories). On préfère alors un test de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon.

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probl matique1
Problématique
  • Ce test compare une distribution observée à une distribution théorique, et s’applique bien aux variables numériques.
  • Il se fonde sur la statistique du plus grand écart entre les fonctions de répartition théorique et observée:

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Les paramètres ne sont pas ceux de la population générale. Le test de KS justifie l’utilisation du test de Student.

Il semble que la distribution du QI suive une loi proche de la normale

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opinions racistes

Opinions racistes

Test des réactions extrêmes de Moses

exp rience1
Expérience
  • On relève par une note X la position des sujets face au racisme. On souhaite comparer deux groupes. Le groupe témoin remplit directement le questionnaire. Le groupe test entend d’abord un discours « anti »-raciste particulièrement violent.
  • On pense que la variable groupe G a un effet, mais non pas sur la moyenne (plutôt sur la variance): l’idée est que le discours du groupe test va radicaliser les positions, qui s’écarteront de la moyenne.
  • C’est une situation idéale pour l’utilisation du test des réactions extrêmes de Moses.

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exp rience2
Expérience
  • Ce test compare deux groupes selon une variable numérique. Il se fonde plus ou moins sur l’amplitude des valeurs, et utilise les rangs.
  • L’idée est que les rangs du groupe test auront tendance sous H1 à se retrouver dans les extrêmes.

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slide59

il y a bien une différence entre les groupes. Le discours a un effet.

l’effet est encore significatif si on filtre la variable (en enlevant les valeurs extrêmes).

on élimine les valeurs extrêmes pour éviter de prendre en compte les erreurs.

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la coca ne

La cocaïne

Kolmogorov-Smirnov (2 échantillons indépendants)

Test de Wald-Wolfowitz

pr sentation
Présentation
  • On relève sur deux groupes indépendants (variable G) de consommateurs de cocaïne — l’un étant sous l’influence de la cocaïne et l’autre non — les résultats à un test de compétences logiques (variable REEL). On explique le barème aux sujets qui doivent estimer leurs compétences (variable PERCU).
  • Notre hypothèse est que REEL ne changera pas d’un groupe à l’autre, mais que PERCU variera.
  • Les échantillons sont petits et les variables n’ont pas l’air gaussiennes.

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pr sentation1
Présentation
  • On peut utiliser un test de Mann-Whitney, mais il existe deux tests équivalents plus généraux, et plus puissants dans les cas courants :
  • Le test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons indépendants et le test de Wald-Wolfowitz.
  • Nous utilisons ici — exceptionnellement — les deux tests (chacun deux fois).
  • Notons que le test WW n’utilise que les rangs — on perd de l’information, et donc de la puissance.

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slide63

on utilise des différences de répartition. Détecte bien les formes différentes.

la variable de décision est normale sous H0

conforme à l’hypothèse de départ

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slide64

dans le cas où nous nous trouvons, le test de Wald-Wolfowitz n’est pas adapté. Il ne repère pas la différence entre les groupes

le test de Wald-Wolfowitz utilise les séquences.

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remarques1
Remarques
  • Le test KS pour 2 échantillons est assez puissant. Il repère des différences de fonctions de répartition.
  • Le test WW se fonde sur les séquences dans les données rangées: si on range les données dans l’ordre, certaines sont dans le groupe 1 d’autre dans le groupe 2. On peut ainsi déterminer une suite de la forme 1112212112… Le test WW sera sensible au fait que les séquences dans cette suite sont peu ou très nombreuses. Ainsi, on détectera facilement une différence si l’un des groupes donne une distribution bimodale et l’autre unimodale. En revanche une différence de moyennes sera éventuellement difficilement détectée.
  • Entre les deux tests, on décidera donc essentiellement en fonction de ce qu’on pense de H1 (ce qu’on veut montrer).

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episodes stressant

Episodes stressant

Test de Jonckheere-Terpstra

principe3
Principe
  • On classe des patients en fonction de la durée cumulée des épisodes stressants récents (difficultés familiales, professionnelles, deuils…) en 3 catégories (court/moyen/long) ainsi que la gravité de l’état dépressif, notée par une valeur X.
  • Les conditions d’application de l’anova ne sont pas vérifiées. On pourrait penser à un test de Kruskal-Wallis, plus puissant que celui des médianes, mais on est ici dans un cas particulier.
  • On s’attend en effet à ce que le lien entre les groupes (naturellement ordonnés) et X soit monotone. Dans ce cas, mieux vaut utiliser un autre test: celui de Jonckheere-Terpstra.

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principe4
Principe
  • Ce test est en effet particulièrement puissant dans le cas d’un lien monotone entre la VI et la VD. C’est celui que nous utiliserons ici.

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slide69

la test est concluant au risque de 1.1%.

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les donn es
Les données
  • On distribue des papiers à des passants. Un observateur caché relève si le papier est jeté dans un poubelle ou non.
  • On donne un second papier aux mêmes passants un peu plus loin, en leur précisant de ne pas les jeter sur la voie publique. On relève à nouveau la même valeur.
  • Le but est de comparer le comportement avant et après, disons COMPAVT et COMPAPR. On ne peut pas utiliser de test de Student, à moins d’avoir des échantillons énormes. D’autre part, le test des signes ou de Wilcoxon (cas pairé) n’est pas adapté.

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le test2
Le test
  • En effet, les variables sont dichotomiques (beaucoup d’ex æquo).
  • On raisonne alors de la manière suivante: si la consigne n’a pas d’effet, on devrait observer, parmi les passants qui changent de comportement, autant de changements dans un sens que dans l’autre, ce qu’on teste avec un khi² corrigé.
  • C’est le test de McNemar.
  • Si le test est concluant, on peut dire que la consigne est efficace. Mais attention: si la consigne pousse 10% des personnes à changer d’avis, indépendamment de leur comportement premier, on trouvera peut-être un khi² significatif.

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slide73

la probabilité de changer de comportement si l’on n’utilisait pas la poubelle est de 60%

la probabilité de changer de comportement si l’on utilisait la poubelle est de 60%

pourtant le conseil a un effet sur les résultats de l’échantillon (contre productif…). Est-il significatif?

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slide74

au risque de 2.3%, on peut dire que la consigne a un effet négatif sur les résultats (mais non sur les passants).

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remarques2
Remarques
  • Il ne faut surtout pas contrôler la variable COMPAVT (pour avoir par exemple des échantillons de même taille), car alors le résultat n’aurait plus le même sens.
  • On contrôlera la variable si l’on souhaite savoir si le conseil a un effet sur les passants (ici : non), mais pas pour savoir s’il est efficace.

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ne pas jeter non plus

Ne pas jeter non plus

Homogénéité marginale

slide77
Idée
  • On reprend l’expérience précédente, mais les variables COMPAVT et COMPAPR ont désormais trois modalités (poubelle, emporté, autre) selon que les passants jettent dans une poubelle, emporte, ou laisse par terre le papier.
  • On se pose la même question: la consigne a-t-elle un effet. Le test de McNemar n’est plus utilisable car les variables sont nominales mais plus dichotomiques. On utilise alors l’équivalent nominal du test de McNemar: le test d’homogénéité marginale.

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slide78

les marges permettent de voir l’évolution des comportements. On voit ici que « poubelle » varie, mais « autre » aussi.

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slide79

le test étudie seulement les changements

il y a un changement significatif sur l’échantillon.

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conclusion3
Conclusion
  • Le changement est significatif, mais il semble qu’il ne soit pas positif. On observe sur l’échantillon une augmentation du nombre « emporté », ce qui pourrait correspondre tout simplement à un comportement social: pour éviter le conflit, le passant jettera le papier beaucoup plus loin.
  • Le nombre de papiers finissant à la poubelle près de l’endroit où il est distribué est diminué.

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utilisabilit

Utilisabilité

Test Q de Cochran

principe5
Principe
  • On construit un site Internet de vente par correspondance. Pour savoir si le site est bien fait, on demande à 5 personnes de venir tester le site. Chaque personne doit réaliser 6 tâches, qui ont été sélectionnées de manière à être — si le site est utilisable — de même difficulté.
  • Chaque tâche est une variable. Chaque sujet un individu. On cherche si les tâches sont de difficultés identiques.
  • Si la réponse était numérique, on utiliserait une anova pour plans répétés. En cas de violation des conditions d’applications, on utiliserait un test de Friedman.

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principe6
Principe

Mais ici se pose le problème suivant: l’ordre est mal défini, parce que la variable est dichotomique. On utilise donc un équivalent de l’anova pour plans à mesures répétées — généralisation du test de McNemar: Le Q de Cochran (sic).

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slide84

échec

tâche numéro 1

réussite

les tâches sont les variables

tâche numéro 6

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slide85

les tâches ne sont pas identiques (risque 2.4%)

un sujet est un individu

Q est la variable de décision

le degré de liberté dépend du nombre de variables (i.e. modalités du facteur)

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conclusion4
Conclusion
  • Il faut développer la support list.
  • Le développement d’un site commercial est très coûteux. Il est important qu’il soit conforme au cahier des charges.
  • L’entreprise n’a pas réussi, pour l’instant, à rendre les 6 tâches également simples. Elle devra améliorer l’utilisabilité de son site.

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