Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias

1. Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias Distribuições Teóricas de Probabilidade

2. Geração de Variáveis Aleatórias • Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades. • A necessidade de tais variáveis: • tempos entre chegadas; • tempos de serviço; • demandas por produtos, etc.

3. Métodos de Geração • Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1). • xexpresso como uma função explícita de R.. • Métodos básicos: • Transformação Inversa; • Transformação Direta; • Convolução; • Aceitação/Rejeição; • Propriedades Especiais

4. Distribuição Geométrica • Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é: p(x) = p(1 - p)x , x = 1, 2, ... • Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação:

5. Distribuição Geométrica • Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessitamos do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p. • Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular x = • A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x o maior inteiro que satisfaz a relação anterior.

6. Exemplo • Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2. Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. • Primeiramente calculamos o valor da constante 1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443. Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s .

7. Exemplo

8. Distribuição de Poisson • A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade: • a qual representa a probabilidade de ocorrência de x sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo.

9. Distribuição de Poisson • Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição: • Fazer n = 0, e P =1; • Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P.Rn+1; • Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2. • A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é gerar um número aleatório e testar uma determinada condição de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos.

10. Exemplo • Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0,2. • Primeiramente, computamos o valor de . • Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados

11. Exemplo

12. Distribuição Empírica Discreta • Para gerar uma variável aleatória que tenha um comportamento semelhante ao determinado por distribuição empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, determinarmos as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo: • Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num procedimento muito semelhante ao que realizamos no capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo.

13. Procedimentos • Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x: Esquematizando os procedimentos: 1. Gerar R; 2. Descobrir i, tal que ri-1 < Rri; 3 Fazer X = xi.

14. Dados R1= 0,43; R2=0,61 e R3=0,83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição. R1= 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2; F(x=2) = 0,45 < R2= 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3; F(x=3) = 0,80 < R3= 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5; Exemplo Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades:

15. Distribuição Uniforme • Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por: • A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte: • Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados: • Gerar R; • Calcular

16. Exemplo • Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Aplicando o método proposto teremos:

17. onde . A moda b = 3 E (x)- (a + c). Distribuição Triangular Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por: Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar amostras com distribuição triangular. A variável x com esta distribuição é obtida por:

18. Exemplo • Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1, 2). Obtidos R1 = 0,544; R2 = 0,747 e R3 = 0,449.

19. Distribuição Exponencial • Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por: • O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o tempo médio entre as ocorrências. • Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação: • Uma vez que (1-Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-Ri) por Ri na expressão acima.

20. Exemplo • Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1.

21. Distribuição Normal • Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é dada por: Método de Box-Muller

22. Exemplo • Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R1 = 0,1758 e R2 = 0,1489. Z1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11 Z2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50 • Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média  e desvio padrão , deve-se aplicar a transformação xi =  + .Zi aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z1 e Z2 em uma Normal (10; 2), calcula-se: