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Esempio di v.a.: Immagini radar

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Baltrum, isole Frisone. Immagine grezza (con disturbo aleatorio). Immagine filtrata. Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di v.a., e misura di indici statistici. Esempio di v.a.: Immagini radar. Concetto di Istogramma.

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Esempio di v.a.: Immagini radar


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Presentation Transcript
esempio di v a immagini radar

Baltrum, isole Frisone

Immagine grezza (con disturbo aleatorio)

Immagine filtrata

Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di v.a., e misura di indici statistici

Esempio di v.a.: Immagini radar
concetto di istogramma
Concetto di Istogramma

K(xi) = Num. osservati che cadono nell’intervallo (bin) centrato in xi

Istogramma ottenuto mediante N=1000 realizzazioni,{ x[k]; k=1,2,..,N }, di una v.a. Gaussiana standard

Normalizzazione:

Nota sulla accuratezza della misura: deve essere soddisfatta la regola empirica

“bin”

dove

istogramma di immagini radar
Istogramma di immagini radar

Istogramma non normalizzato

Dettaglio immagine grezza

v.a. ampiezza

La mappa riporta il logaritmo

delle ampiezze

Istogramma normalizzato

Istogramma normalizzato

Trasformaz.

di v.a.:

v.a. ampiezza

v.a. intensità

ddp exp. negativa

ddp di Rayleigh

Nota: disturbi aleatori con ddp analoghe si trovano anche nei ponti radio

calcolo di istogrammi
Calcolo di istogrammi
  • Esercizio: Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato utilizzando N=105 realizzazioni di una v.a. Gaussiana standard, e confrontarlo con la ddp ideale:
  • Problema: fissato N, come scegliere Dx (ovvero il numero di bin)?
  • Verificare il compromesso risoluzione/accuratezza
  • [ Istruzioni utili: randn, function, size, hist, bar ]
esempio di file m istog m
Esempio di file.m: istog.m

% Calcolo istogramma normalizzato

function [ddp,x0] = istog(NBIN,x)

% IN: vettore dati, x; numero di bin, nbin;% OUT: istogramma normalizzato, ddp; % vettore valori di centro-bin, x0; % uscita su video di istogramma normalizzato

Nx=size(x,2); % numero di dati[count,x0]= hist(x,NBIN);% esegue i conteggiDeltax=x0(2)-x0(1); % calcola larghezza binddp= count/Deltax/Nx; % normalizza

bar(x0,ddp)% grafico

esempio di risultati

500 bin

50 bin

10 bin

Esempio di risultati

% Compromesso accuratezza/risoluzione dell'istogramma

x=randn(1,10000);

figure[d,x0]=istog(10,x);figure[d,x0]=istog(50,x);figure[d,x0]=istog(500,x);

[ per confronto si è sovrapposta la ddp effettiva ]

generazione di v a exp negativa

con X v.a. uniforme su [0,1]

Generazione di v.a. exp. negativa

Generazione di v.a. Y con d.d.p. fY(y) e funzione di distribuzione FY(y):

  • Generare N=104 realizzazioni di una v.a. esponenziale negativa con parametro h=1 [ Istruzioni utili: rand, ... ]
  • Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato dei dati generati
  • [ Istruzioni utili: hist, bar ]
esempio di file m genespneg m
Esempio di file.m: genespneg.m

% Generazione v.a. exp. negative con parametro eta=1

function X = genespneg(N)

% IN: numero di v.a., N;% OUT: vettore di v.a. esponenziali negative (eta=1);

unif=rand(1,N); % genera N v.a. uniformi tra 0 e 1

X=-log(1-unif); % trasformazione di v.a. per ottenere% le v.a. esponenziali negative (eta=1);% nota: si può usare anche la trasformazione % X=-log(unif)

% generazione 20000 v.a.x= genespneg(20000);% istogramma normalizz. con 100 bin[d,x0]=istog(100,x);

misura del valor medio e deviazione standard
Misura del valor medio e deviazione standard

Dati: { x[k]; k=1,2,..,N }

- Valutare sperimentalmente il valor medio e la deviazione standard della v.a. esponenziale negativa generata, e di una v.a. uniforme nell’intervallo [-1,3] di cui si hanno N=1000 e N=10 realizzazionigenerate al calcolatore [ Istruzioni utili: rand, mean, std ]

esempio di file m risultati 1
Esempio di file.m & risultati (1)

% Generazione delle v.a. esponenziali negative con eta=1x=genespneg(20000);% calcola media e deviazione standard mean(x)std(x)% oppure std(x,1)

ans =

1.0102

ans =

1.0034

Valori effettivi: media=1; dev_stand=1

esempio di file m risultati 2
Esempio di file.m & risultati (2)

% Generazione 1000 realizzazioni di v.a. uniforme tra –1 e 3x=rand(1,1000)*4-1;% calcola media e deviazione standard mean(x)std(x)% oppure std(x,1)% calcolo con sole 10 realizzazionimean(x(1:10))std(x(1:10))% oppure std(x(1:10),1)

ans =

1.0645ans =

1.1713

ans =

1.2035ans =

0.8916

N=1000

N=10

Valori effettivi: media=1; dev_stand=1.1547

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dove è la varianza

Skewness e Kurtosis

Definizione di Skewness e Kurtosis:

Sono indici di non Gaussianità !

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Misura di Indici Statistici

  • Esercizio:
  • Generare una sequenza di N=105 realizzazioni di una v.a. X, Gaussiana standard e di una v.a. Y, exp monolatera, avente varianza unitaria
  • Misurare dai dativalor medio, varianza e skewness al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura, e graficare il risultato per 1<n<N
  • Osservazione: si noti il diverso comportamento al variare di n, in particolare si noti come all’aumentare dell’ordine del momento misurato il numero di dati necessario per ottenere una misura “accurata” aumenti …
slide14

Esempio di risultati (3)

Misure empiriche (stime) di valor medio, dev. standard, skewness e kurtosis

al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura: n=1,2, …, N

slide16

Esempio di file.m: skewkurt.m

% Misura della media, dev. standard, skewness e kurtosis di v.a. Gaussiane ed esponenziali

clcclear

N=10000;

EN=exprnd(1,1,N); % genera N v.a. esponenziali negative (eta=1); GA=randn(1,N); % genera N v.a. Gaussiane standard;

for indice=1:N/10, % per numero di campioni variabile a passi di 10 ncamp=indice*10;

etaEN(indice)=mean(EN(1:ncamp)); % valuta le medieetaGA(indice)=mean(GA(1:ncamp));stdEN(indice)=std(EN(1:ncamp),1); % valuta le deviazioni standardstdGA(indice)=std(GA(1:ncamp),1);skeEN(indice)=skewness(EN(1:ncamp)); % valuta le skewnessskeGA(indice)=skewness(GA(1:ncamp));kurEN(indice)=kurtosis(EN(1:ncamp))-3; % valuta le kurtosiskurGA(indice)=kurtosis(GA(1:ncamp))-3;

end

a=10*[1:N/10]; % esegue i graficifiguresemilogx(a,etaEN,'r',a,stdEN,'g',a,skeEN,'b',a,kurEN,'k')xlabel('num. campioni')title('v.a. esponenziale negativa (eta=1)')legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.')figuresemilogx(a,etaGA,'r',a,stdGA,'g',a,skeGA,'b',a,kurGA,'k')xlabel('num. campioni')title('v.a. Gaussiana standard')legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.')