Lucimar Donizete Gusmão Renata Cristina Lopes Equipe de Matemática DEB/SEED/PR

1. Lucimar Donizete GusmãoRenata Cristina LopesEquipe de MatemáticaDEB/SEED/PR debmatematica@gmail.com(41) 3340 1714

2. MINICURSO Folhas/Ensino Médio:Vivemos em um planeta semelhante a uma esfera!!! Conteúdo Estruturante: Geometrias Conteúdo Básico:Geometria Espacial Conteúdo específico: Esfera Relação interdisciplinar:Geografia

3. Seria possível definir qual o formato do nosso planeta Terra??? Se tivermos a curiosidade de observar melhor o nosso planeta, talvez tenhamos uma possibilidade de perceber o seu formato e ao que ele mais se assemelha. Desde a Grécia Antiga, no tempo de Pitágoras (582-500 a.C.) começou-se a considerar que a forma do planeta Terra poderia ser esférica, por se assemelhar aos corpos celestes e mais perceptível aos olhos de quem os observa.

4. Nesse sentido, o Planeta Terra que é representado por um modelo, o“globo terrestre” poderia ser considerado então uma esfera?

5. Encaminhamentos... - Considerando o globo terrestre como um objeto de aprendizagem, levantar questões que façam os alunos refletirem sobre a representação do planeta Terra, por esse modelo, e expressarem as características que eles recordam sobre a esfera.

6. Observe o globo terrestre... Quais características você percebe neste modelo??? Localize e caracterize o Equador???

7. A “esfera” é um sólido geométrico estudado desde a antiguidade, como fez Arquimedes, filho de um astrônomo, que nasceu por volta de 287 a.C. e morreu por volta de 212 a.C. Arquimedes dedicou parte de seus estudos a geometria e especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas características, a forma arredondada, lhe permitindo rolar, e ser considerada desta forma um corpo redondo.

8. A intencionalidade da utilização do globo terrestre é para evidenciar que, historicamente, a humanidade sempre procurou esclarecer os mistérios do meio em que vive, seja pelas suas observações, pelas conjecturas que faz a partir dessas observações, formalizando conceitos e modelos matemáticos.

9. Observe a imagem...

10. Considerando que... Centro: é o ponto O; Diâmetro: cordas que passam pelo ponto O; Raio: são segmentos de reta com um extremo em O (centro) e outro na superfície da esfera. Obs. Em uma superfície esférica, uma corda que não passa pelo ponto O, tem medida menor que o diâmetro.

11. Não devemos confundir ESFERA com SUPERFÍCIE ESFÉRICA... - Um exemplo de Esfera ??? - E de Superfície Esférica ???

12. Meridianos, Paralelos e Pólos Considerando o modelo de globo terrestre que representa o planeta Terra, outros elementos estão presentes no estudo da esfera: Meridianos, Paralelos e Pólos – Termos utilizado pela disciplina de Geografia. Para a localização de um determinado ponto na superfície terrestre utilizamos as “coordenadas geográficas” achando o valor do Meridiano e Paralelo, que passa sobre o ponto, ou seja, sua Latitude e Longitude.

13. Convencionou-se a divisão da Terra em hemisférios – Norte/Sul, a partir da Linha do Equador - Latitude e Leste/Oeste, a partir do Meridiano de Greenwich - Longitude.

14. Analisando... • Utilizando o globo terrestre analise e responda... • a) Qual a variação da latitude terrestre, que é uma medida angular entre a Linha do Equador e qualquer ponto situado na superfície da Terra? • b) Qual a variação angular entre o Meridiano de Greenwich e qualquer ponto na superfície terrestre?

15. Video: Informações Adicionais: Um jovem náufrago recorre a conceitos geométricos simples para determinar sua latitude e longitude e assim mandar o sinal de socorro. Este vídeo tem por objetivos: revisar o conceito de ângulos e suas subdivisões; revisar o conceito de retas paralelas e ângulos alternos internos; trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo e; iniciar o conceito de inversas das funções trigonométricas. http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22599

16. Observe o Mapa do Estado do Paraná.

17. Observe o mapa De acordo com as coordenadas geográficas determinadas no mapa do Paraná, temos a localização de um ponto central que representa o município de Pitanga. Fazendo uma leitura do mapa e observando as coordenadas geográficas de Latitude/Longitude referente ao município de Pitanga, você saberia dizer como foram determinadas essas coordenadas?

18. Primeiramente devemos determinar no mapa uma “quadrícula” Observando o mapa temos a quadrícula formada pelos Paralelos de 22º e 28º e os Meridianos de 45º e 57º. Exemplo: Para calcular a Latitude é preciso considerar a diferença entre as Latitudes, que será correspondente à medida entre os dois Paralelos. AB = 28º - 22º= 6º

19. É preciso entender que na superfície terrestre, esta medida, corresponde aum arco de circunferência.

20. Se temos: L = comprimento do arco α = a medida do ângulo central que determina o arco, que na situação apresentada mede 6º . R = medida do raio da esfera. Neste caso utilizamos a medida do raio do planeta Terra, que é aproximadamente 6.378 km.

21. Lembrando que... De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja: 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

22. Precisamos determinar a medida do arco da circunferência. Para isso, basta considerar uma regra de três simples. 180º ↔ π R α ↔ x

23. No caso considerado, temos: 180º ↔ π 6378 6º ↔ xº X= ????

24. Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15''. A quadrícula na figura 6, se inicia com a Latitude de 22°. Para obtermos o valor do ângulo que determina a medida do arco AO , temos que considerar a diferença de Latitudes. Para a transformação das unidades em graus, utilizamos a base sexagesimal. Então...a diferença é de … 2,6875°

25. Logo a medida do arco será... 6º ↔ 667, 564 2,6875 ↔ x X = ???? Considerando que a medida do arco AB é aproximadamente 667,564 km e que a medida do arco AO é aproximadamente 299,013 km, podemos determinar a Latitude do município de Pitanga.

26. ATIVIDADE Agora você pode determinar pelo mesmo raciocínio a Longitude. Para saber mais:No município de Pitanga existe um marco Geodésico que representa o centro do Paraná.

28. Um elemento importante de uma esfera são as circunferências máximas desse sólido geométrico. Relembrando o conceito de circunferência, esta pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um mesmo plano que equidistam de um ponto definido como o centro da circunferência.

29. Lugar geométrico??? Raio??? Circunferência??? p.9

30. Circunferências máximas de uma esfera - são circunferências que tem o mesmo centro de uma esfera e como medida de raio a mesma que a medida do raio da esfera. Círculo máximo: a região limitada pela circunferência máxima juntamente com a própria circunferência é chamada de círculo máximo.

31. Secção.. “Toda secção plana de uma esfera é um círculo.”(Dolce & Pompeu, 2005, p.251) “Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.”(idem)

32. Área do Círculo Informações Adicionais: Neste vídeo o Professor pode, de forma dinâmica, mostrar aos estudantes a relação entre o raio do círculo e sua área. Vídeo http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9596

33. Duas circunferências importantes do planeta Terra.CircunferênciaPolar

34. Circunferência Equatorial

35. A circunferência polar é igual a circunferência do meridiano e mede, aproximadamente 39 942 km. O seu diâmetro polar mede aproximadamente 12 714 km. A circunferência equatorial mede aproximadamente 40 074 km. E seu diâmetro equatorial mede aproximadamente 12 756 km. Fonte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/erath.html.

36. A superfície terrestre é a parte do planeta que permite a existência de seres vivos. Imagine se você, que mora na superfície deste planeta correspondente à crosta terrestre, tivesse que adquirir uma parte da área dessa superfície. Qual seria o procedimento para determinar a área de um terreno ou de uma propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície?

37. Para conjecturar... A superfície da Terra parece plana em áreas limitadas, com por exemplo no quintal da casa. Mas sabemos que ela possui uma curvatura. Podemos calcular a área de uma região delimitada que será uma área muito próxima à medida de uma área de superfície plana.

38. Calcular a área de uma superfície esférica é mais uma das necessidades humanas de sobrevivência neste planeta e foi um desafio para alguns matemáticos, entre eles, Arquimedes.

39. ATIVIDADE DE EXPERIMENTAÇAO Realize e reflita a respeito da atividade abaixo proposta.

40. Material: cartolina, tesoura, régua, compasso, cola, bola de isopor que tenha aproximadamente 30 cm como perímetro de sua circunferência máxima, barbante e Alfinetes. Procedimento: 1) Construa na cartolina um círculo que tenha a medida do raio igual ao da bola de isopor. Recorte. Cubra a superfície deste círculo com barbante desde o centro em forma de espiral.

41. 2) Desenrole o barbante do círculo, pegue mais uma medida desse barbante e os enrole na superfície esférica da bola de isopor. Compare os comprimentos e a superfície que foi coberta da bola de isopor. Qual a conclusão do grupo????

42. Sabendo que a área de um círculo é πR², logo, a área da superfície esférica é 4πR². Arquimedes repetiu várias vezes o procedimento para mostrar este cálculo. Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de uma superfície esférica, mas não é uma demonstração matemática do cálculo desta área.

43. ATIVIDADE 2 Considerando a tabela a seguir do Inmetro, qual seria a economia em cm² de material para fabricar uma bola de futebol que estivesse 5% fora do padrão considerado máximo na medida da circunferência?

44. Medidas das bolas - Circunferência (cm)FONTE: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/futebol.asp

45. ATIVIDADE 3:Observe a figura abaixo:

46. A secção plana da figura é o círculo máximo da esfera. Considerando que o diâmetro da secção maior do nosso planeta é igual ao diâmetro equatorial que mede aproximadamente 12 756 km. Com essas informações, qual é a medida da circunferência máxima dessa secção? E qual a medida da área da superfície esférica, da semi-esfera ou hemisfério norte?

47. É possível saber também o volume de uma esfera? Como determinar? Observe as figuras - Semiesfera e Cone

48. Áreas e Volumes - 3, 2, 1 - Mistério Informações Adicionais: O programa aborda o Princípio de Cavaliere que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.Este vídeo tem por objetivos: apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; apresentar o Princípio de Cavalieri para sólidos e; apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone. http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22600

49. Observe as figuras: uma representa uma semi-esfera e a outra representa um cone. A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma medida dos raios da semi-esfera.

50. Se enchermos com algum líquido o cone e despejarmos na semi-esfera, iremos precisar de duas medidas do cone para encher completamente a semi- esfera. Com este procedimento podemos verificar que a capacidade da esfera é de quatro vezes a capacidade do cone.