Leçon 20 PGCD, APPLICATIONS

1. Leçon 20 PGCD, APPLICATIONS Fabienne BUSSAC

2. Cliquer sur le titre de paragraphe pour un accès direct… 1. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Fabienne BUSSAC 2. FRACTIONS IRREDUCTIBLES 3. PGCD ET PROBLEMES

3. 1. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Si le PGCD de deux nombres est 1, alors on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux. Exemple 1 : montrer que 128 et 247 sont premiers entre eux. On calcule leur PGCD avec l’algorithme d’Euclide : Fabienne BUSSAC 247 = 1 × 128 + 119 128 = 9 1 × 119 + 13 × 9 + 119 = 2 9 = 4 × 2 + 1 2 = 2 × 1 + 0 PGCD(247 ; 128) = 1 donc 247 et 128 sont premiers entre eux.

4. Exemple 2 : Montrer que 328 et 1486 ne sont pas premiers entre eux. Ici, il est inutile de calculer leur PGCD, car ces deux nombres sont pairs  : leur PGCD ne peut donc pas être 1. Fabienne BUSSAC

5. 2. Fractions irréductibles Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de simplifier cette fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur. Exemple : simplifier la fraction On calcule le PGCD de 2202 et 5138 avec l’algorithme d’Euclide. Fabienne BUSSAC 5138 = 2 × 2202 + 734 2202 = 3 0 × 734 + Le dernier reste différent de 0 est 734 donc PGCD(2202 ; 5138) = 734.

6. 3. PGCD ET PROBLEMES Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges. Elle souhaite faire des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition de roses rouges et de roses blanches, en utilisant toutes les fleurs. Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition. 411 roses blanches Pour chaque bouquet, on prend le même nombre de roses blanches. Fabienne BUSSAC Il ne reste pas de rose blanche donc le nombre de bouquets est un diviseur de 411.

7. Pour chaque bouquet, on prend le même nombre de roses blanches. Il ne reste pas de rose blanche donc le nombre de bouquets est un diviseur de 411. Pour chaque bouquet, on prend le même nombre de roses rouges. Il ne reste pas de rose rouge donc le nombre de bouquets est un diviseur de 685. Le nombre de bouquets est donc un diviseur commun de 411 et 685. 685 roses rouges 411 roses blanches Fabienne BUSSAC

8. Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges. Elle souhaite faire des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition de roses rouges et de roses blanches, en utilisant toutes les fleurs. Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition. La fleuriste veut utiliser toutes les fleurs et faire des bouquets identiques donc le nombre de bouquets est un diviseur commun de 411 et 685. Fabienne BUSSAC Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 411 et 685. Soustractions successives : 685 – 411 = 274 411 – 274 = 137 274 – 137 = 137 PGCD(411 ; 685) = 137

9. Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges. Elle souhaite faire des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition de roses rouges et de roses blanches, en utilisant toutes les fleurs. Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition. PGCD(411 ; 685) = 137 Fabienne BUSSAC La fleuriste pourra faire 137 bouquets au maximum. 411  137 = 3 Il y aura 3 roses blanches par bouquet. 685  137 = 5 Il y aura 5 roses rouges par bouquet.