形象思维与工程语言 2014/10/30 杨培中博士副教授上海交通大学 pzyang@sjtu

形象思维与工程语言2014/10/30杨培中博士 副教授上海交通大学pzyang@sjtu.edu.cn

建模与优化

工程设计不仅仅是给出一个方案，而是要给出一个最佳方案。工程设计不仅仅是给出一个方案，而是要给出一个最佳方案。 • 通常情况下，最佳方案会受到各种约束的影响，如可用资源，法律规定等。 • 优化问题通常比较复杂，需要长时间的试凑方法。有些情况下，可使用解析方法。 • 要使用解析方法，首先需要将关心的优化量进行解析表达。

学习目标 • 理解解析建模与优化的重要性。 • 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。 • 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。

解析建模 • 建立数学模型 • 列出你的需求 • 列出所有可能的关系式 • 质量守恒 • 动量守恒 • 能量守恒 • 资金守恒 • 几何关系 • 物理关系 • 消去冗余关系 • 检查量纲

优化—微积分方法 为了优化，首先要将目标函数进行表达，目标函数应表示成独立变量的函数。如果目标函数（如成本）能表示成：则最优解可通过对F进行微分，然后让导数为零得到。原则上，还须求出二阶导数以确定是否为最大或最小解。

优化通常，目标函数会有一个或多个约束。

2 r h 例 1 — 容器的设计假设你要做一个封闭的罐子或者圆柱形容器，能够装载的容积为Vo。容器的壁厚给定。需要确定容器高度 (h)和半径(r)的关系，使得制作该容器所使用的材料最少。

例 1 — 容器的设计 假定该容器壁厚很小，相对于高度或半径可以忽略不计。容器的容积为：表面积为: 消去高度参数，有:

例 1 — 容器的设计 对半径求导，并令其为零，有： or 将容积公式带入，得：或者说：直径与高度相等。

例 1 — 容器的设计 虽然大的存储容器通常有接近于最优解的尺寸，但很多容器并没有按照这样的尺寸进行设计制造。譬如饮料罐，会选择较小的半径。我们可以得出结论，外观的魅力以及使用的方便性是非常重要的，或者说偏离最优解所增加的成本相对较少。

Shallow optimum Variable Optimum 敏感性确定最优解对参数的敏感性是非常重要的。如果最优解是平坦的，比较大的偏离只需较低的代价；如果最优解是陡峭的，则较小的偏离则会付出巨大的代价。 Cost

敏感性 对于容器，我们有:

敏感性

敏感性 x=0.50 y = 2.3811 yopt = 26% x=1.00 y = 2.0000 yopt = 5.8% x=1.50 y = 1.9079 yopt = 0.9% x=2.00 y = 1.8899 yopt = 0% x=2.50 y = 1.9001 yopt = 0.5% x=3.00 y = 1.9230 yopt = 1.7% x=3.50 y = 1.9521 yopt = 3.3%

课堂练习 1 课堂练习 (3 分钟)

课堂练习 1 确定长方形盒子的尺寸，使得其体积最大。要求：最小截面的周长加上和它垂直的边的长度小于84 in. a b c

课堂练习 1 体积为: a 约束为： b c 消去 a，得：

课堂练习 1 a 对 b和c求便导，有： b c 简化得：解为:

例-II 例-II

回归—Taylor刀具寿命公式 • 对金属进行机加工时，发现当切削速度增加时，刀具寿命缩短。 • 如果所有其它因素都为常数，可以将刀具寿命T表示成切削速度V的函数。 • 如果切削速度接近于零，则刀具寿命就会接近无穷大。如果切削速度接近于无穷大，则刀具寿命就会接近零。 • 通过这些想法，我们可以观测刀具寿命和切削速度的关系曲线，从而得出其关系式具有幂次关系。

回归—Taylor刀具寿命公式 切削速度 vs 刀具寿命 V T

回归—Taylor刀具寿命公式 这些常数可以从手册中查到。注意 C的单位：如果速度的单位为m/min 如果速度的单位为fpm

回归—Taylor刀具寿命公式 • 刀具寿命和切削速度之间的关系可以用以下经验公式来表示： • 其中V 为切削速度，T为刀具寿命，n和 C为依赖于刀具材料和加工材料的常数。 • 显然，若提高切削速度，产量会提高；但高速会导致刀具短寿，提高刀具成本，增加了更换刀具的频率。 • 假设我们只加工若干件，我们就必须找到最优化的切削速度，从而降低单件的刀具成本。

线性规划 线性规划

线性规划 • 通常, 在参数允许变动的区域，成本函数是单调递增或单调递减函数，无法通过微分法来求出最大最小值。 • 最简单也是常见的情形为：需要优化的函数以及约束函数都是变量的线性组合。 • 在这种情形中，最优解一定位于约束函数相交的角点处。 • 对于多变量问题，我们必须使用计算机来求解，但对两个变量的问题，我们可以用图示法求解。

例-III 例-III

例-III • 如何选择x和y，使得如下的目标函数最大。 • f=3x+4y • x和 y有下面的约束: • x>0 • y>0 • 2x+y-4<0 • 由于只有两个变量，所有可以用图示法来求解。

例-III • 首先在x-y平面上将可能的解区域绘制出来。最后一个约束通过它与x与y的交点坐标便很容易绘制出来了。令y=0, 得 x=2； • 令x=0, 则 y=4。 • 可能的解区域如右图所示。 y 4 可能的解区域 2 y=4-2x 0 2 x 0

例-III y • 既然成本函数是线性的，最大值必然落在角点上。 • 分别计算各个角点的值： f(0,0)=0 • f(2,0)=6 • f(0,4)=16. • 显然最优解落在点 (0,4). 4 可能的解区域 2 y=4-2x 0 2 x 0

例-IV 例-IV

例-IV 一家椅子产商有1000 板英尺（体积单位）硬木和750板英尺软木。每板英尺的成本分别为 $0.3 和 $0.15. 公司可以用这些硬木和软木来生产椅子，每把椅子需要5 板英尺硬木和10 板英尺软木。也可以生产桌子，每张桌子需要25 板英尺硬木和15 板英尺软木。每把椅子的售价为$75，利润为$12；而每张桌子的售价为$150，利润为$30。分别生产多少椅子和桌子才能获得最大利润？

例-IV NC: 椅子数 NT: 桌子数利润公式 P=12•NC + 30•NT 木材量的约束 5•NC + 25•NT  1000 10•NC + 15•NT  750 交点为(36,20) P(0,0) = 0 P(0,75) =12•75 =900 P(40,0) =30•40 =1200 P(36,20) =12•20 + 30•36 =1320

课堂练习 2 课堂练习 (3 分钟)

课堂练习 2 一名卡车司机可以运输两种类型的箱子。A型箱子重100kg，体积为4 m3。B A型箱子重200kg，体积为2 m3。卡车可容纳200 m3，能运载10,000 kg. 如果司机运输一只A型箱子可以获得 $20利润，运输一只B型箱子可以获得 $15利润, 要获得最大利润，应运输多少A型箱子和B型箱子？

课堂练习 2 利润为: P=20 NA +15 NB Box A Box B Max Kg Vol 100 200 10,000 4 2 200 约束为： 100 NA +200 NB  10,000 4 NA +2 NB  200

课堂练习 2 P=20 NA +15 NB 100 NA +200 NB10,000 NB Possible points of maximum profit 4 NA +2 NB  200 100 交点: NA=33.33，NB=33.33 由于交点非整数，需要选取可能解区域中相关的整数点进行计算: 50 NA NB P 50 0 1000 0 50 650 33 33 1155 34 32 1160 32 34 1150 NA 50 100

课堂练习 2 NB 最大利润的可能点 100 一般来说,允许任意数量的约束。这时就必须检查所有的角点。新约束 50 NA 50 100

学习目标： • 理解解析建模与优化的重要性。 • 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。 • 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。

个人作业： 列举与你专业相关或相近的优化问题。要求：（1）微分法和线性规划法各一个；（2）给出题目和答案；（3）以WORD文档格式通过EMAIL在一周内提交。

Any question? 谢谢!

形象思维与工程语言 2014/10/30 杨培中博士副教授上海交通大学 pzyang@sjtu