Определённый интеграл

1. Определённый интеграл

2. интеграл Неопределённый Определённый

3. Более подробно остановимся на «определённом интеграле» • Само слово интегралпроисходит от латинского слова integer - «целый». В русском языке слово интеграция означает восстановление, воссоединение, восполнение. В математической модели речь идёт фактически о воссоединении целого по отдельным частям. • Что же такое «определённый интеграл»?

4. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

5. Задача 1 (О вычислении площади криволинейной трапеции)

6. Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f) У= f(x) 0 x

7. Будем рассматривать её на отрезке y У= f(x) 0 а x b

8. C B У= f(x) x=a x=b A D а b y=0 Поставим задачу нахождения её площади S 0 x Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = b и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD

9. x5 x6 y С В x0 x1 x2 x3 x4 x7 xn Тогда криволинейная трапеция разобьётся – на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков. 0 А D x Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)

10. Рассмотрим отдельно k- й столбик ,т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1] y У= f(x) С В xк+1 xk 0 А D x

11. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) • Площадь прямоугольника равна f(хk)· Δхk, • где Δхk – длина отрезка [хk,хk+1]; • естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика.

12. Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площадь Sn, ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем : Sn = f(x0)Δx0+ f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+ …+ f(xk)Δxk+…+f(xn-1)Δxn-1;

13. y С В 0 А D x

14. Итак,S≈Sn,причём это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn

15. Задача 2 (О вычислении массы стержня)

16. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x вычисляется по формуле p = p (x). Найти массу стержня. • Решение. • 1) разобьём отрезок [a,b] на n равных частей. x X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

17. 2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хk. • Итак, мы считаем, что p = p(хk) x X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

18. 3) найдём приближённое значение массы m • k-го участка: mk=p(хk)Δхk, где Δхk- длина отрезка. x X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

19. 4)Найдём приближённое значение массы m стержня: • m≈Sn, • где Sn= m0 +m1+ m2+m3+…+mk+…+mn-1= • = p(х0)Δх0+p(x1)Δх1+p(x2) Δх2+…+p(хn-1)Δхn-1. x X0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

20. Искомая масса равна пределу последовательности Sn

21. Задача 3 (О перемещении точки) По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

22. Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей. • Рассмотрим промежуток времени [ ]. • Будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, т.е • Приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [ ]: • Приближенное значениеперемещения s: • Точное значение перемещения вычисляется по формуле :

24. S – площадь криволинейной трапеции В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.

25. m – массу неоднородного стержня В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

26. s – перемещение точки В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

27. S – площадь криволинейной трапеции

28. C B У= f(x) x=a x=b A D а b y=0 0 x

29. Формула Ньютона – Лейбница

30. Вычисление площадей плоских фигур

31. C B У= f(x) x=a x=b A D а b y=0 0 x

32. Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиy =0,5х2+1, y= 0,х = -2, x = 3 .

33. 2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b]функции f(х),осью Ох и прямыми х = а, х=b.

34. Рассмотрим функцию –f(x). Фигура аА1В1bсимметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но 2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b]функции f(х),осью Ох и прямыми х = а, х=b.

35. 2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b]функции f(х),осью Ох и прямыми х = а, х=b.

36. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y =-х2-1, у = 0, х =-1, х = 2.

37. 3. Фигура ограничена осью Ох,прямыми х= а, х = bи графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этомотрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b]на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка:[a; c], [с; d], [d; b].

38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π. Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х∈[- π/2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х∈[0; π]. Поэтому

43. 3. Фигура ограничена осью Ох,прямыми х= а, х = bи графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этомотрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b]на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка:[a; c], [с; d], [d; b]. Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f(х) насоответствующих отрезках. Так, площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

44. Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π. Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х∈[- π/2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х∈[0; π]. Поэтому