Тройной интеграл

1. Тройной интеграл { тройной интеграл – вычисление - пример – замена переменной в тройном интеграле – якобиан преобразования – вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат – примеры }

2. Определение и вычисление тройного интеграла Интегральная сумма Римана z z = f2 (x,y) Тройной интеграл D z = f1 (x,y) a Вычисление g1 (x) b S 0 g2 (x) y x

3. Тройной интеграл Масса фигуры ограниченного объема с заданной функцией плотности Объем ограниченной трехмерной фигуры Свойства

4. Пример @ Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями: Решение z W2 (-2,0,4) D (2,0,4) W1 (-2,0,0) S (2,0,0) y x

5. Замена переменныхв тройном интеграле Замена переменных в тройном интеграле определяется отражением Tобласти Rв плоскости uvwв область Dплоскости xyz. R Якобиан преобразования: (u,v,w) (x,y,z) w v u z y D x 0 0

6. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат z Преобразование T : отражение областиD : r,j,zна C :x,y,z. M(x,y,z) r Якобиан преобразования: M(r,j,z) 0 y j x

7. Пример @ Найти пределы интегрирования в тройном интеграле для фигуры, ограниченной поверхностями: плоскостью , цилиндрической поверхностью и параболоидом . Решение z В декартовой системе координатуравнение цилиндра: В декартовой системе координатуравнение параболоида: В цилиндрической системе координат: В цилиндрической системе координат: D 0 y r j x

8. Пример @ Найти объем фигуры ограниченной полусферой и конусом Решение z D S y y 0 0 x

9. Тройной интеграл в сферической системе координат Преобразование T : отражение областиD : r,y,jна C :x,y,z. z Якобиан преобразования: M(r, q,j) M(x,y,z) r y q 0 j x z q M(r, q,j) r y x j

10. Тройной интеграл в сферической системе координат Преобразование T : отражение областиD : r,y,jна C :x,y,z. z Якобиан преобразования: M(r, q,j) M(x,y,z) r y q 0 j x

11. Пример @ Найти объем фигуры ограниченной полусферой и конусом Решение r = a z q = p /4 D x 0