Movimiento armónico simple

1. Movimiento armónico simple

2. Movimientos periódicos • Un MOVIMIENTO es PERIÓDICO cuando las variables posición, velocidad y aceleración toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo constante T, llamado PERÍODO. • El número de veces que se repite el movimiento en la unidad de tiempo se denomina frecuencia.

3. Ejemplos de movimientos periódicos • Movimiento circular uniforme • Movimiento de un resorte • Movimiento del extremo de una varilla fija por el otro extremo • Movimiento de un péndulo simple

4. Movimiento armónico simple (M.A.S.) • Es un movimiento PERIÓDICO • Es un movimiento RECTILÍNEO • La partícula oscila periódicamente alrededor de su posición de equilibrio • La velocidades nula en los extremos del movimiento y máximaen la posición de equilibrio. • La aceleración es nula en la posición de equilibrio (F=0) y es máxima en los extremos.

5. Magnitudes físicas características del MAS

6. Ecuación del M.A.S. • Describe cómo varía el valor de la elongación con el transcurso del tiempo x (t) = A sen (ωt + φ0) ωt + φ0se denominaFASE φ0 es la fase inicial

7. Ecuación del MAS en función del coseno • Como sen α = cos (α -π/2) x (t) = A sen (ωt + φ0) = A cos (ωt + φ0 -π/2) = = A cos (ωt + φ1 ) • Al cambiar la función seno por la función coseno sólo cambiamos la fase inicial en π/2 radianes. • En la práctica podemos usar una u otra forma para expresar un MAS

8. Velocidad de un oscilador armónico • La velocidad del oscilador armónico la obtenemos derivando respecto del tiempo la elongación:

9. Aceleración de un oscilador armónico • Derivamos la expresión de la velocidad respecto del tiempo:

10. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+p /6) . Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre el desplazamiento, su velocidad, su aceleración. Determinar el periodo y la amplitud del movimiento

11. Un cuerpo de 2 kg está unido a un muelle horizontal de constante k= 5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0. Hallar: la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S. ¿cuál es la velocidad máxima? ¿Cuál es la aceleración máxima? ¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición de equilibrio? ω = (K/m)1/2 = (5/2)1/2 = 1,58 rad/s T = 2/ ω = 3,97 s  = 1/T = 0,25 Hz Ecuación del M.A.S.: x = A sen (ωt + φ0) x = 0,1 m  A = 0,1 m Como en el instante t =0  v = 0 m/s  φ0 = /2 rad x = 0,1 sen (1,58 t + /2) Velocidad: v máx = 0,158 m/s Aceleración: a máx = 0,25 m/s2 Pasa por x = 0 por primera vez cuando φ = 1,58 t + /2 =   t = 0,993 s

12. Dinámica del M.A.S. • La fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento • Ley de Hooke:F = - Kx  - Kx = ma ⇒ a = - (K/m) x • 2ª ley de Newton: F = ma • Como a = - ω2 x , la pulsación viene dada por: ω2 = K/m

13. Energía de un oscilador armónico • Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: • Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) • Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa). • Energía cinética: Ec = ½ mv2, siendov = dx/dt = Awcos (wt + Fo) Ec  = ½ mv2  =  ½ m A2 w2 cos2 (wt + Fo) = ½ k A2 cos2 (w t + Fo ) • Energía potencial: Ep = ½ k x2 = ½ k A2 sen2 (w t + Fo ) • Energía mecánica: E = Ec + Ep = ½ k A2

14. Energía de un oscilador armónico (II)

15. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:a) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. b) Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. a) x = A sen (ωt + φ0) A = 0,2 m k = 43,2 N/m v = A ω cos (ωt + φ0) a = - A ω2 sen (ωt + φ0) = - ω2 x - k x = m a  a = - (k/m) x  ω2 = k/m  ω = 12 rad/s En t = 0, x = 0,1 m  0,1 = 0,2 sen φ0  φ0 = /6 ó φ0 = 5/6 Como v < 0, la fase inicial tiene que ser φ0 = 5/6 rad Por tanto: x = 0,2 sen (12 t + 5/6 ) v = 2,4 cos (12 t + 5/6 ) a = -28,8 sen (12 t + 5/6 )

16. b) La energía cinética en cualquier instante es: Ec = ½ mv2 = ½ m [2,4 cos (12 t + 5/6 )]2 ; En t = 0: Ec = 0,648 J La energía potencial en cualquier instante es: Ep = ½ kx2 = ½ k [0,2 sen (12 t + 5/6 )]2 ; En t = 0: Ep = 0,216 J La energía mecánica en cualquier instante es: Em = Ec + Ep = 0’864 J (constante)

17. Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0,2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar: a) El periodo de la oscilación. b) La ecuación del M.A.S. c) El (los) instante(s) en el (los) que el móvil pasa por la posición x= -0,1 m, después de haber pasado por el origen. Los valores de la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total del móvil en dicho(s) instante(s).

18. Péndulo simple • Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. • Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. • El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos • el peso mg • La tensión T del hilo

19. Péndulo simple (II) • Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq  en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial. • Ecuación del movimiento en la dirección radial • La aceleración de la partícula es an = v2 / l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. • La segunda ley de Newton se escribe m an = T – mg ·cosq • Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q  podemos determinar la tensión T del hilo. • La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T = mg + mv2/l • Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T = mgcosq0

20. Péndulo simple (III) • Ecuación del movimiento en la dirección tangencial mg·senq = mat ; g senθ = at Si el ánguloq es pequeño (< 15º) sen q  q q = s/ l  x/ l at = g (-x/l) = - (g/l) x En un MAS: a = - ω2 x , por lo que nuestro péndulo se comporta como un osciladorarmónico para ángulos pequeños, siendo g/l = ω2 Como ω = 2/T, g/ l = 4 2/ T2 El período de un péndulo simple será: