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Crystallographic Metric and Reciprocal Space

Exploring crystallographic metric, lattice parameters, and reciprocal lattice in crystallography. Understanding G-matrix properties, volumes, distances, angles, and reciprocal space properties. Learn about reciprocal lattice vectors and Miller indices in crystal symmetry. Study diffraction conditions, Ewald sphere, and Bragg's equation in reciprocal space. Essential for understanding crystal structures.

tariana
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Crystallographic Metric and Reciprocal Space

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Presentation Transcript

  1. Die kristallographische Metrik Gitterparameter: a, b, c, , ,  Positionsvektor: Bruchkoordinaten: x, y, z b a Matrix (Tensor) der Metrik: 

  2. Die kristallographische Metrik Eigenschaften der G-Matrix Volumen der Elementarzelle: Länge des r-Vektors (Abstand von [0 0 0]): Abstände zwischen Atomen in Positionen (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2): Winkel zwischen zwei Vektoren:

  3. Das reziproke Gitter … ist analog zum Kristallgitter Vektor im reziproken Gitter: Definition der Basisvektoren im reziproken Raum (Gitter): Senkrecht: d(001) c b a

  4. Reziproke Gittervektoren Triklin: Monoklin: Orthogonal (orthorhombisch, tetragonal, kubisch): Hexagonal: Rhomboedrisch :

  5. c* 003 103 203 303 403 002 102 202 302 402 001 101 201 301 401 100 200 300 000 400 a* _ 001 _ 101 _ 201 _ 301 _ 401 _ 002 _ 102 _ 202 _ 302 _ 402 _ 003 _ 103 _ 203 _ 303 _ 403 Das reziproke Gitter … ist analog zum Kristallgitter (im direkten Raum) a*, b*, c* … Basisvektoren des reziproken Gitters h, k und l … ganze Zahlen (Miller Indizes) Im (direkten) Kristallgitter

  6. Eigenschaften der reziproken Vektoren Vektor des reziproken Gitters, G=ha*+kb*+lc*, ist senkrecht zu den Netzebenen mit den Miller Indexen (hkl) Matrix (Tensor) der reziproken Metrik (der Metrik im reziproken Raum): * Winkel zwischen zwei Netzebenen (h1k1l1) und (h2k2l2) ist gleich dem Winkel zwischen den entsprechenden Vektoren im reziproken Gitter:

  7. Winkel zwischen Netzebenen (Kristallflächen)

  8. Winkel zwischen Netzebenen Kubisch: Orthorhombisch: Hexagonal:

  9. Winkel zwischen Netzebenen im kubischen Kristallsystem

  10. c* 003 103 203 303 403 002 102 202 302 402 001 101 201 301 401 100 200 300 000 400 a* _ 001 _ 101 _ 201 _ 301 _ 401 _ 002 _ 102 _ 202 _ 302 _ 402 _ 003 _ 103 _ 203 _ 303 _ 403 Vektor des reziproken Gitters Länge des G-Vektors = = Abstand vom Anfang des reziproken Gitters (G ist senkrecht zu den Netzebenen) = reziproker Abstand zwischen den Netzebenen = reziproker Netzebenenabstand Die Punkte im reziproken Raum entsprechen den Familien der Netzebenen

  11. Konstruktion des reziproken Gitters

  12. Netzebenenabstände Kubisch: Tetragonal: Orthorhombisch: Hexagonal: Trigonal: Monoklin:

  13. Periodizität im direkten und reziproken Raum http://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/gallery.html

  14. Periodizität im direkten und reziproken Raum

  15. Periodizität im direkten und reziproken Raum

  16. Periodizität im direkten und reziproken Raum

  17. Periodizität im direkten und reziproken Raum

  18. Periodizität im direkten und reziproken Raum (eindimensional)   d   Laue Bedingungen Konstruktive Interferenz der Strahlung bei: Braggsche Gleichung

  19. Face centred cubic 40 35 30 25 20 qz (A^-1) 15 10 5 0 -20 -10 0 10 20 qx (A^-1) Beugungsbedingungen Laue Bedingungen: Laue Bedingungen im reziproken Raum: Bragg Gleichung: Interferenzmaximum wird beobachtet, wenn der Beugungsvektor in einem Punkt des reziproken Gitters endet s0 s sin  sin   

  20. Ewald Kugel

  21. s/l 2q s0/l Beugungsbedingung Elastische Röntgenstreuung (gleiche Wellenlänge oder gleiche Energie): Änderung der Länge des Beugungsvektors: Drehen des reziproken Gitters: Drehen des Kristalls im Primärstrahl.

  22. s/l 2q s0/l Beugungsbedingung für polykristalline Proben Information über die Orientierung des Kristalls ist verloren Die Bragg Gleichung beschreibt vollständig die Beugungsbedingung für polykristalline Proben

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