บทที่ 6
Download
1 / 56

????? 6 ??????????????????????????????? ( Rotational and rolling motion) - PowerPoint PPT Presentation


  • 249 Views
  • Uploaded on

บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion). ตัวอย่างที่ 6.1 Rotating wheel วงล้ออันหนึ่งมีการหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ 3.5 rad/s 2 ถ้าอัตราเร็วเชิงมุม ของวงล้อคือ 2.00 rad/s ณ เวลา t i = 0 จงหาว่า

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '????? 6 ??????????????????????????????? ( Rotational and rolling motion)' - tamyra


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
6 rotational and rolling motion

บทที่ 6

การเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion)


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.1 Rotating wheel

วงล้ออันหนึ่งมีการหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ 3.5 rad/s2 ถ้าอัตราเร็วเชิงมุม

ของวงล้อคือ 2.00 rad/s ณ เวลา ti = 0 จงหาว่า

(a) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะหมุนได้มุมเท่าไร

(b) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่าไร

วิธีทำ

(a) จากสูตร หรือ



6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 10.2 CD player

บนแผ่น CD ข้อมูลของเสียงจะถูกบันทึกลงในร่องและผิวเรียบบน CD ในรูปของเลขฐานสอง

เมื่อมีการอ่านโดยเครื่องเล่น CD ข้อมูลจะถูกแปลกลับไปเป็นคลื่นเสียง ร่องและพื้นที่เรียบ

ที่มีความยาวเท่ากันจะถูกอ่านโดยเลเซอร์และเลนส์ เพื่อให้เวลาในการอ่านสัญญาณแต่ละ

สัญญาณมีค่าเท่ากันทั่วทั้งแผ่น ๆ อัตราเร็วเชิงเส้นของแผ่น ณ ตำแหน่งที่ผ่านเลเซอร์ จะต้อง

มีค่าคงที่ ดังนั้นอัตราเร็วเชิงเส้นจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อระบบเลเซอร์มีการเปลี่ยนตำแหน่ง

ตามแนวรัศมีถ้าแผ่น CD มีการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและมีความเร็วของพื้นผิวที่ตำแหน่ง

เลเซอร์เป็น 1.3 m/s

รูปที่ 6.6 A compact disk


6 rotational and rolling motion

(a) จงหาว่าอัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นดิสก์เป็นกี่รอบต่อนาทีเมื่อเริ่มต้นอ่านจาก track ด้านใน

ซึ่งมี r = 23 mm ออกไปยัง track ด้านนอกที่มี r = 58 mm

วิธีทำ ใช้สมการ 6.10 เราสามารถหาอัตราเร็วเชิงมุมได้

สำหรับ track ด้านใน

จำนวนรอบต่อนาที =


6 rotational and rolling motion

สำหรับ track ด้านนอก จงหาว่าอัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นดิสก์เป็นกี่รอบต่อนาทีเมื่อเริ่มต้นอ่านจาก track ด้านใน

จำนวนรอบต่อนาที =

เครื่องเล่นจะต้องปรับอัตราเร็วเชิงมุมให้อยู่ในช่วงนี้ โดยถ้าอัตราเร็วเชิงมุมเป็นบวก

ดิสก์จะเคลื่อนที่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา


6 rotational and rolling motion

(b) ถ้าเวลามาตรฐานในการเล่น CD คือ 77 นาที 33 วินาที ดิสก์จะเคลื่อนที่ได้กี่รอบ

วิธีทำ

เราพบว่าอัตราเร็วเชิงมุมมีค่าลดลงสมมติว่าให้ลดลงด้วยค่าคงที่ a ในช่วงเวลาทั้งหมด t

โดยกำหนดให้ตำแหน่งเชิงมุม(angular position ) qi = 0 และพิจารณา

ที่ qf ใช้สมการ 6.3 ในการคำนวณ แทนอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ด้วย ด้วย


6 rotational and rolling motion

(c ) จงหาความยาวของ track ที่เคลื่อนที่ผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s

วิธีทำ

เราทราบความเร็วเชิงเส้นซึ่งคงที่ และช่วงเวลาที่ใช้ทำให้สามารถคำนวณความยาว track

ได้โดยตรง


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.3 The oxygen molecule ที่เคลื่อนที่ผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s

พิจารณาโมเลกุลออกซิเจน O2 ในระนาบ xy หมุนรอบแกน Z ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลาง

ของโมเลกุลตั้งฉากระหว่างระยะทางระหว่างออกซิเจนทั้งสองมวลอะตอมของออกซิเจนเท่ากับ

2.66 x 10-26 kg ที่อุณหภูมิห้องระยะห่างระหว่างอะตอมออกซิเจนคือ d = 1.21x 10-10 (พิจารณา

อะตอมให้เป็นจุด)

(a) จงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของโมเลกุลรอบแกน z

วิธีทำ

เพราะว่าระยะห่างระหว่างแกน Z และอะตอมคือ d/2 ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยคือ


6 rotational and rolling motion

(b) ถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของโมเลกุลรอบแกน Z คือ 4.60 x 1012 พลังงานจลน์ของการหมุน

มีค่าเท่าไร

วิธีทำ

โดยการใช้ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้จากการคำนวณและสมการที่ 6.16 จะได้ว่า


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.3 Four rotating masses ถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของโมเลกุลรอบแกน Z คือ 4.60 x 10

ทรงกลมเล็ก ๆ 4 อันยึดติดกับมุมทั้งสี่ของกรอบ วางตัวอยู่ในระนาบ xy ดังรูป 6.8

โดยสมมุติว่าทรงกลมมีรัศมีน้อยมากเมื่อเทียบกับขนาดของกรอบ

รูป6.8 ทรงกลม 4 ลูกยึดที่ตำแหน่งต่าง ๆดังรูป

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ ขึ้นอยู่กับแกนที่

พิจารณา


6 rotational and rolling motion

(a) ถ้าระบบหมุนรอบแกน y ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม w จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์

ของการหมุนรอบแกนนี้

วิธีทำ

พิจารณาทรงกลมมวล m สองอันซึ่งอยู่บนแกน y จะไม่เป็นส่วนประกอบของ Iy

( ri = 0 สำหรับทรงกลมมวล m รอบแกน y) จากสมการที่ 6.15 จะได้ว่า

ดังนั้นพลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกน y คือ


6 rotational and rolling motion

จะเห็นว่าการที่มวล m ไม่ปรากฏอยู่ในคำตอบ เพราะว่ามันไม่ได้เกิดการหมุนรอบ

แกน y ดังนั้นมันจึงไม่มีพลังงานจลน์เนื่องจากการหมุน ในกรณีที่คล้ายกันเราคาดเดาได้ว่า

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x คือ พลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนรอบแกน x

(b) สมมุติว่าระบบหมุนในระนาบ xy ผ่านจุด O ( แกน z ) จงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยและ

พลังงานจลน์ในการหมุนรอบแกนนี้

วิธีทำ

เพราะว่า ri ในสมการที่ 6.15 คือระยะทางตั้งฉากกับแกนหมุนจะได้ว่า


6 rotational and rolling motion

เปรียบเทียบผลที่ได้จากข้อ (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์

ในการหมุนซึ่งมีอัตราเร็วเชิงมุมเดียวกันขึ้นอยู่กับแกนของการหมุนในข้อ (b) เราคาดว่าผลที่

ได้เกิดจากทรงกลมและระยะทางทั้งสี่ เพราะว่าทรงกลมทั้งสี่หมุนในระนาบ xy นอกจากนี้

พลังงานจลน์ในการหมุนในข้อ (a) จะมีค่าน้อยกว่าในข้อ (b) แสดงให้เห็นว่ามันใช้งาน

ในการทำให้ระบบหมุนรอบแกน y น้อยกว่าการทำให้ระบบหมุนรอบแกน z


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.5 (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์Uniform hoop

จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของห่วงเอกรูปมวล M รัศมี R ซึ่งหมุนรอบแกน ซึ่ง

ตั้งฉากกับระนาบและผ่านจุดศูนย์กลางของห่วงเอกรูปดังรูป 6.9

รูปที่ 6.9 มวลเล็ก ๆ dm ของห่วงเอกรูปซึ่งมี

ระยะห่างจากจุด O เท่ากัน


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์

มวลเล็ก ๆ dm ทุกชิ้นอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะทาง r = R โดยการใช้สมการ 6.17

ในการคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน z ซึ่งผ่านจุด O จะได้ว่า

นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าเท่ากันสำหรับอนุภาคเดี่ยวมวล M ซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุน

เป็นระยะทาง R


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.6 (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์Uniform rigid rod

จงคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งแข็งเกร็งเอกรูป มีความยาว L มวล M

ดังรูป 6.10 รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งแข็งเกร็งเอกรูป (แกน y) และผ่านจุดศูนย์กลางของมวล

รูปที่ 6.10 แท่งแข็งเกร็งเอกรูปความยาว L

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน y จะน้อยกว่า

รอบแกน y/


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์

ส่วนที่แรเงา dx มีมวล dm ซึ่งมีค่าเท่ากับมวลต่อหนึ่งหน่วยความยาว l คูณกับ dx

แทนค่า dm ลงในสมการ 6.17 เมื่อ r = x จะได้ว่า


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.7 (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์Uniform solid cylinder

ทรงกระบอกแข็งเอกรูปมีรัศมี R มวล M และมีความยาว L จงคำนวณโมเมนต์

ความเฉื่อยรอบแกนกลาง (แกน z ) ดังรูป 6.11

รูปที่ 6.11 แสดงการหาค่า I รอบแกน z

สำหรับทรงกระบอกตันที่สมมาตร

วิธีทำ

เพื่อความสะดวก จะทำการแบ่งทรงกระบอกออกเป็นชั้นทรงกระบอก จำนวนมาก

ซึ่งมีรัศมี r ความหนา dr มีความยาว L ดังรูป 6.11 ปริมาตร dV ของชั้นทรงกระบอก คือค่า

ภาคตัดขวางคูณกับความยาวของมัน ถ้ามวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรคือ r

มวลของความแตกต่างของปริมาตรของชั้นทรงกระบอกคือ แทนสูตรนี้ลงในสมการ 6.17


6 rotational and rolling motion

เพราะว่าปริมาตรรวมของทรงกระบอกคือ เราพบว่า

แทนค่า r ลงในสมการข้างบนจะได้ว่า

(1)

จะพบว่าผลที่ได้ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของทรงกระบอก L


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.8 การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน

พิจารณาแท่งวัตถุแข็งเกร็งเอกรูป มวล M ความยาว L ดังรูป 6.10 จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของ

แท่งรอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งซึ่งผ่านปลายด้านหนึ่ง (แกน y/ ในรูปที่ 6.10)

วิธีทำ

เราคาดว่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่ปลายแท่งจะมีค่ามากกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่จุดศูนย์กลาง

มวล จากรูป 6.10 ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลและแกนหมุนคือ D = L/2

Questionจงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งซึ่งหมุนรอบแกนตั้งฉากซึ่งผ่านจุด x =L/4

ตอบ


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.9 การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานThe net torque on a cylinder

ทรงกระบอกชิ้นหนึ่งลักษณะดังรูป 6.14 มีส่วนของแกนโผล่ออกมาจากทรงกระบอก

ใหญ่ ทรงกระบอกหมุนอย่างอิสระรอบแกนกลาง มีเส้นเชือกคล้องรอบทรงกระบอกรัศมี R1

ออกแรง กระทำไปทางขวาของทรงกระบอก ออกแรง กับเส้นเชือกที่คล้องอยู่ที่แกนซึ่งมี

รัศมี R2 ในแนวดิ่ง

(a) ทอร์กสุทธิที่กระทำต่อทรงกระบอกรอบแกนหมุน ( แกน z ) มีค่าเท่าไร

รูปที่ 6.14 ทรงกระบอกแข็งหมุนรอบแกนหมุน z ซึ่ง

ผ่านจุด O แขนโมเมนต์ของ คือ R1 และ แขนโมเมนต์

ของ คือ R2


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน

ทอร์กที่เกิดจากแรง คือ ( เครื่องหมายเป็นลบหมายความว่าทอร์กทำให้เกิด

การหมุนตามเข็มนาฬิกา)ทอร์กที่เกิดจากแรง คือ (เครื่องหมายเป็นบวกหมายความว่า

ทอร์กทำให้เกิดการหมุนทวนเข็มนาฬิกา) ดังนั้นทอร์กรวมรอบแกนหมุนคือ

สมมุติว่าแรงที่กระทำมีค่าเท่ากัน ทอร์กสุทธิมีค่าเป็นบวกเพราะว่า R1 > R2 ถ้าระบบ

เริ่มแรกหยุดนิ่งแล้วออกแรงทั้งสองกระทำต่อระบบทรงกระบอกจะหมุนตามเข็มนาฬิกาเพราะว่า

แรง ทำให้เกิดผลการหมุนมากกว่าแรง


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.11 ทรงกลมกลิ้งลงจากพื้นเอียง

จากรูปที่ 6.5 ทรงกลมตันกลิ้งลงจากพื้นเอียงจงคำนวณอัตราเร็วเชิงเส้นของศูนย์กลาง

มวลที่จุดต่ำสุดของพื้นเอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล

วิธีทำ

ทรงกลมมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่ส่วนบนสุดของพื้นเอียงมีพลังงานศักดิ์

พลังงานจลน์ K= 0 ถ้าทรงกลมตกลงมาในแนวดิ่งจะพบว่าอัตราเร็วเชิงเส้นก่อนที่มันจะ

กระทบพื้น คือ

ภายหลังกลิ้งลงจากพื้นเอียงอัตราเร็วเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล จะน้อยกว่าค่านี้เพราะว่า

พลังงานศักย์ ในตอนเริ่มต้นจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ในการหมุนมากกว่าพลังงานจลน์ใน

การเคลื่อนย้ายสำหรับทรงกลมตันเอกรูป (ตาราง 6.2) จากสมการที่ 6.27 จะได้ว่า


6 rotational and rolling motion

ซึ่งค่าที่ได้น้อยกว่า ในการคำนวณอัตราเร่งเชิงเส้น ของจุดศูนย์กลางมวล

โดยที่ระยะขจัดในแนวดิ่งจะสัมพันธ์กับระยะขจัด x ในแนวพื้นเอียงโดยใช้สมการ

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า

เปรียบเทียบกับสูตรทางกลศาสตร์ เราจะพบว่าอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลาง

มวลคือ


6 rotational and rolling motion

คำตอบที่ได้แสดงให้เห็นว่า อัตราเร็ว และอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล

ไม่ขึ้นอยู่กับมวลและรัศมีของทรงกลม นั่นคือทรงกลมตันเอกรูปใด ๆ จะมีอัตราเร็วและอัตรา

เร่งเชิงเส้นเดียวกันบนพื้นเอียงเดียวกัน

สำหรับทรงกลมกลวง,ทรงกระบอกตัน ,ห่วงวงกลม จะได้ผลการคำนวณที่คล้ายกัน

โดยจะมีความแตกต่างกันตรงค่า ค่าคงที่ในสูตร vCM และ aCM ขึ้นอยู่กับค่าโมเมนต์

ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่มีรูปทรงต่าง ๆ กัน โดยในทุก ๆ กรณีอัตราเร่ง

ของจุดศูนย์กลางมวลจะน้อยกว่าค่า ซึ่งเป็นค่าอัตราเร่งที่ได้ในกรณีที่พื้นเอียงไม่มีความ

ฝืดและไม่มีการกลิ้งเกิดขึ้น


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.12 การกลิ้งของทรงกลม

ในส่วนนี้จะใช้วิธีทางกลศาสตร์ในการหาคำตอบจากตัวอย่างที่ 6.11 แสดงแผนภาพ

ของทรงกลมอิสระในรูปที่ 6.22

รูปที่ 6.22 ทรงกลมตันกลิ้งลงมาจากพื้นเอียง


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ การกลิ้งของทรงกลม

ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับจุดศูนย์กลางมวล

(1)

เมื่อวัด x ในแนวพื้นผิวของพื้นเอียง

ต่อไปทำการหาทอร์คที่กระทำต่อทรงกลม โดยเลือกแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของ

ทรงกลมและตั้งฉากกับระนาบของรูป เนื่องจาก n และ Mg ผ่านจุดศูนย์กลางมวล มันจึงมีแขน

โมเมนต์ เป็นศูนย์รอบแกนหมุนนี้ ดังนั้นจึงไม่ทำให้เกิดทอร์ค อย่างไรก็ตามแรงเสียดทาน f

จะเป็นตัวทำให้เกิดทอร์ครอบแกนหมุนซึ่งมีค่าเท่ากับ fR ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา


6 rotational and rolling motion

เพราะว่า การกลิ้งของทรงกลม และ จะได้ว่า

(2)

แทนค่าสมการ (2) ลงใน (1)

ซึ่งให้ผลสอดคล้องกับตัวอย่างที่ 6.11 สูตร จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อแรง ที่กระทำกับ

ทรงกลมเป็นแรงสุทธิ จากภายนอก และ a คืออัตราเร่งของจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีที่

ทรงกลมกลิ้งลงมาตามพื้นเอียงแรงเสียดทาน ไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์รวม

ของทรงกลมแรงเสียดทานที่รวมอยู่ใน และทำให้อัตราเร่งของจุดศูนย์กลางมวลมีค่าลดลง


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.4 การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

อนุภาคตัวหนึ่งเคลื่อนที่ในระนาบ xy ในเส้นทางวงกลมรัศมี r ดังรูปที่ 6.11

รูปที่ 6.27 อนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี

r มีขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด O

เท่ากับ มีทิศพุ่งออกจากแผนภาพ


6 rotational and rolling motion

(a) จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมที่สัมพัทธ์กับจุด O เมื่ออนุภาคมีความเร็วเชิงเส้น v

วิธีทำ

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา (ขนาดไม่เปลี่ยนแต่

ทิศทางเปลี่ยน ) ขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม เมื่อ ตั้งฉากกับ มีค่าดังนี้

จะเห็นว่าขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม มีค่าคงที่เนื่องจากเทอมทางซ้ายมือมีค่าคงที่และทิศทาง

ของ คงที่ด้วย โดยการพิจารณาทิศของโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งมีทิศเปลี่ยนตลอดเวลา

และถ้าเราเลื่อนให้หาง ต่อกับหางของ จากสูตร เนื่องจาก มีทิศทางเดียวกับ ใช้

กฎมือขวาในการหาทิศของ โดยนิ้วทั้งสี่วนรอบจาก ไปยัง จะพบว่า มีทิศพุ่งออกจาก

ระนาบ xy หรืออาจเขียนว่า และถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา มีทิศพุ่งเข้า

ระนาบ xy


6 rotational and rolling motion

Question จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมที่สัมพัทธ์กับจุด O เมื่ออนุภาคมีความเร็วเชิงเส้น v

รถมวล 1500 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้น 40 m/s เป็นวงกลมรัศมี 50 m โมเมนตัมเชิงมุม

สัมพัทธ์กับจุดศูนย์กลางการเคลื่อนที่ของรถมีค่าเท่าใด


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.15 ลูกโบลิ่ง

จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของลูกโบลิ่งมวล 6 kg รัศมี 12 cm ซึ่งหมุน

10 รอบ/s ดังรูปที่ 6.29

รูปที่ 6.29 ลูกโบลิ่งหมุนรอบแกน z ในทิศทางดังรูปมี

โมเมนตัมเชิงมุม ในทิศทางบวก z ถ้ากลับทิศการหมุน

จะชี้ในทิศทางลบ z


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ ลูกโบลิ่ง

จากตารางที่ 6.2 บอกให้เราทราบว่าลูกโบลิ่งทรงกลมตันมีโมเมนต์ความเฉื่อยดังนี้

ดังนั้นขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมคือ


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 6.16 แท่งแข็งเกร็งที่เกิดการหมุน

แท่งแข็งเกร็งมวล M ยาว l ติดอยู่กับเดือยที่ไม่มีความเสียดทาน ที่จุดกึ่งกลางของมัน

ดังรูปที่ 6.30 อนุภาคมวล m1 และ m2 ติดอยู่ที่ปลายทั้งสองของมัน แท่งและมวลทั้งสอง

หมุนในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วเชิงมุม

รูปที่ 6.30 แท่งแข็งเกร็งติดอยู่กับเดือย


6 rotational and rolling motion

a) จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ

วิธีทำ

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนประกอบ

ทั้งสามส่วนจากตาราง 10.2 โมเมนความเฉื่อยของแท่ง ที่มีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางคือ

และ สำหรับแต่ละอนุภาค โดยโมเมนต์ความเฉื่อยรวมรอบจุด O คือ

ดังนั้นขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมคือ


6 rotational and rolling motion

b) จงแสดงสูตรของขนาดของอัตราเร่งเชิงมุมของระบบเมื่อแท่งหมุนทำมุมกับแนวระดับ

วิธีทำ

ถ้ามวลของอนุภาทั้งสองเท่ากันระบบจะไม่มีอัตราเร่งเชิงมุมเพราะว่าทอร์คสุทธิที่

กระทำในระบบเท่ากับศูนย์เมื่อ m1 = m2 ถ้ามุม (vertical position) ระบบ

จะอยู่ในสมดุล ในการหาอัตราเร่งเชิงเส้นของระบบที่มุม q ใด ๆ จะเริ่มจากการคำนวณหา

ทอร์คสุทธิของระบบ โดยทอร์คที่เกิดจากแรง m1g กระทำรอบเดือยคือ

มีทิศพุ่งออกจากกระดาษ

โดยทอร์คที่เกิดจากแรง m2g กระทำรอบเดือยคือ

มีทิศพุ่งเข้าไปในกระดาษ


6 rotational and rolling motion

ดังนั้นทอร์คสุทธิจากภายนอกที่กระทำรอบจุด O คือ

ทิศทางของ จะพุ่งออกจากกระดาษถ้า m1 > m2 และพุ่งเข้ากระดาษถ้า m1 < m2 ในการ

หาอัตราเร่งเชิงมุม a เริ่มจาก โดยใช้ I จากข้อ (a)

a จะมีค่าเป็นศูนย์ถ้า (vertical position) และ a จะมีค่ามากที่สุดถ้า

(horizontal position)

Question

ถ้า m1 > m2 มุม q ที่ทำให้ w มีค่ามากที่สุดมีค่าเท่าไร


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 6.17 มวล 2 ชิ้นที่เชื่อมต่อกัน

ทรงกลมมวล m1 และกล่องสี่เหลี่ยมมวล m2 เชื่อมต่อกันด้วยเชือกเบา ซึ่งคล้องผ่าน

รอกดังรูปที่ 6.31 รอกมีรัศมี R โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนคือ I กล่องลื่นไถลบนพื้นที่

ไม่มีความฝืด จงหาสูตรที่แสดงอัตราเร่งเชิงเส้นของวัตถุทั้งสองโดยใช้แนวคิดของโมเมนตัม

เชิงมุมและทอร์ค

รูปที่ 6.31 ทรงกลมมวล m1 ผูกติดกับกล่อง

สี่เหลี่ยมมวล m2 ด้วยเชือกเบาคล้องผ่านรอก


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ ชิ้นที่เชื่อมต่อกัน

กำหนดโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่ประกอบด้วย ทรงกลม กล่องสี่เหลี่ยม และ รอก

รอบแกนหมุนของรอกในกรณีที่ทรงกลมและกล่องสี่เหลี่ยมมีอัตราเร็ว v โมเมนตัมเชิงมุมของ

ทรงกลมคือ กล่องสี่เหลี่ยมคือ และรอกคือ ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมรวม

ของระบบมีค่าเท่ากับ

(1)

ต่อไปหาค่าทอร์คภายนอกสุทธิที่กระทำกับระบบรอบแกนหมุน แรงในแนวตั้งฉากที่

พื้นกระทำต่อกล่องสี่เหลี่ยมมีค่าเท่ากับแรงเนื่องแรงโน้มถ่วง m2g ดังนั้น m2g ไม่ทำให้เกิด

ทอร์ค แรง m1g เนื่องจากทรงกลมทำให้เกิดทอร์ครอบแกนหมุนมีขนาดเท่ากับ m1gR เมื่อ

R คือแขนโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุน ทอร์คภายนอกสุทธิรอบแกนหมุนมีค่าเท่ากับ

จากสมการ (1) และสมการที่ 6.44 เราพบว่า


6 rotational and rolling motion

(2) ชิ้นที่เชื่อมต่อกัน

เนื่องจาก dv/dt = a ดังนั้น


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่าง 11.8 การเกิดดาวนิวตรอน

ดาวดวงหนึ่งหมุนด้วยคาบเวลา 30 วัน รอบแกนซึ่งผ่านศูนย์กลางมวล ภายหลังจาก

ดาวดวงนั้นวิวัฒนาการระเบิดไปเป็น supernova แกนกลางของดาวซึ่งมีรัศมี เกิดการ

ยุบตัวไปเป็นดาวนิวตรอนซึ่งมีรัศมี 3 km จงบอกคาบเวลาของการหมุนของดาวนิวตรอน

วิธีทำ

ใช้หลักฟิสิกส์เหมือนกับการหมุนตัวได้เร็วขึ้นของนักสเก็ต เมื่อเขาหดแขนและขา

เข้าหาตัวโดยสมมุติว่าในการหดตัวของแกนกลางมีเงื่อนไขดังนี้

(1) ไม่มีทอร์คกระทำต่อดาว (2) รูปร่างของดาวยังเป็นทรงกลม

(3) มวลของดาวมีค่าคงที่


6 rotational and rolling motion

ถ้า T แทนคาบเวลา TI แทนคาบเวลาในตอนเริ่มต้นของดาว Tf แทนคาบเวลาของดาว

นิวตรอน โดยคาบเวลาหมายถึงช่วงเวลาที่จุดๆ หนึ่งที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ได้ครบหนึ่งรอบ รอบแกนของการหมุน

เมื่ออัตราเร็วเชิงมุมของดาวคือ และโมเมนต์ความเฉื่อย I เป็นสัดส่วนตรง

กับ r2 จากสมการที่ 6.48 จะได้ว่า

นั่นคือดาวนิวตรอนจะหมุนได้ 4 รอบใน 1 วินาที


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 11.9 ม้าเวียน (the Merry-Go-Round)

แผ่นรูปร่างเป็นวงกลมอยู่ในแนวราบหมุนในแนวระนาบรอบแกนซึ่งอยู่ในแนวดิ่ง

ดังรูปที่ 11.6 ถ้าแผ่นวงกลมมีมวล M = 100 kg และมีรัศมี R = 2.0 m มีเด็กมวล 60 kg

เดินอย่างช้า ๆ จากขอบไปยังจุดศูนย์กลางของแผ่นวงกลมถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของระบบมีค่าเป็น

2.0 rad/s เมื่อเด็กอยู่ที่ขอบ อัตราเร็วเชิงมุมจะมีค่าเท่าไรถ้าเด็กเดินเข้าใกล้จุดศูนย์กลางโดยห่าง

จากจุดศูนย์กลางของแผ่นวงกลมเป็นระยะ r = 0.50 m

รูปที่ 6.32 เมื่อเด็กเดินเข้าสู่ศูนย์กลางของแผ่นกลม

ที่หมุนอัตราเร็วเชิงมุมของระบบเพิ่มขึ้น เพราะว่า

โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ ม้าเวียน (the Merry-Go-Round)

การเปลี่ยนแปลงความเร็วในที่นี้คล้ายกับการเพิ่มอัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนตัวของ

นักสเก็ตขณะดึงแขนเข้าหาตัวเอง ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นวงกลม คือ IP และโมเมนต

ความเฉื่อยของเด็ก คือ IS ถ้าพิจารณาให้เด็กเป็นมวลแบบจุด m ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อย

เริ่มแรกของระบบรอบแกนหมุนคือ

เมื่อเด็กเดินเข้าไปที่ตำแหน่ง r < R โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะมีค่าลดลง

เราใช้รัศมี R ในการคำนวณ Ipf เนื่องจากรัศมีของแผ่นวงกลมมีค่าคงที่ และเนื่องจากไม่มี

ทอร์คจากภายนอกกระทำกับระบบรอบแกนหมุนเราจึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

เชิงมุมได้


6 rotational and rolling motion

นั่นคืออัตราเร็วเชิงเส้นมีค่าเพิ่มขึ้นนั่นคืออัตราเร็วเชิงเส้นมีค่าเพิ่มขึ้น


6 rotational and rolling motion

ตัวอย่างที่ 11.10 การหมุนของล้อรถจักรยาน

นักเรียนถือแกนหมุนของล้อรถจักรยานขณะนั่งอยู่บนม้านั่ง ซึ่งสามารถหมุนได้

อย่างอิสระดังรูป 11.17 นักเรียนและม้าหมุนจะหยุดนิ่งในตอนเริ่มต้น ขณะที่ล้อรถหมุนอยู่ใน

แนวระนาบด้วยโมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น มีทิศชี้ขึ้นข้างบน (ทวนเข็มนาฬิกา) เมื่อนักเรียน

จับล้อหมุนพลิกคว่ำลงเป็นมุม 180o รอบแกนของมัน เด็กและม้านั่งจะเริ่มเกิดการหมุนด้วย

โมเมนตัมเชิงมุม จงหาขนาดและทิศของโมเมนตัมเชิงมุม ของเด็กรวมกับม้านั่ง

รูปที่ 6.33 ล้อรถเริ่มหมุนในขณะที่เด็กนักเรียน

นั่งนิ่งอยู่กับที่


6 rotational and rolling motion

วิธีทำ การหมุนของล้อรถจักรยาน

ระบบประกอบด้วยเด็กนักเรียน ม้านั่ง และ วงล้อรถจักรยาน ในตอนแรกโมเมนตัม

เชิงมุม รวมของระบบเป็น ซึ่งได้จากการหมุนของวงล้อรถจักรยาน เมื่องวงล้อรถจักรยาน

มีการหมุนกลับทิศ แม้ว่าเด็กให้ทอร์คกับวงล้อ แต่ทอร์คที่ให้เป็นทอร์คภายในระบบ นั่นคือ

ไม่มีทอร์คจากภายนอก กระทำกับระบบรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของ

ระบบจะมีค่าคงที่จะได้ว่า

หลังจากวงล้อหมุนไปในทิศตรงข้ามจะได้ว่า


6 rotational and rolling motion

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่ บางส่วนของระบบ (เด็กนักเรียนและม้านั่ง) จะเริ่มต้น

หมุนนั่นคือโมเมนตัมเชิงมุมรวมยังคงเท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมรวมเริ่มแรก ดังนั้นสามารถ

แสดงให้เห็นว่า


6 rotational and rolling motion

แบบฝึกหัดบทที่ 6 บางส่วนของระบบ (เด็กนักเรียนและม้านั่ง) จะเริ่มต้น

1. วงล้ออันหนึ่งมีความเร็วเชิงมุม 30 รอบ/s ถูกทำให้อยู่ในภาวะความเร่งคงที่ วงล้อหมุน 60

รอบก่อนจะหยุด

(a) จงหาค่าความเร่งเชิงมุม

(b) จงหาค่าเวลาที่ผ่านไปก่อนวงล้อจะหยุด

วิธีทำ

(a) ความเร่งเชิงมุมอาจคำนวณได้จากสูตร

(b) เวลาหาได้จาก


6 rotational and rolling motion

2.รถคันหนึ่งใช้เวลา 7 s ในการเร่งจากหยุดนิ่งไปจนมีความเร็ว ซึ่งทำให้ล้อรถหมุนด้วย

อัตรา 6 รอบ/s

(a) จงหาความเร่งเชิงมุมของวงล้อ

(b) วงล้อหมุนไปได้ทั้งหมดกี่รอบ

วิธีทำ

(a) หาความเร่งเชิงมุมของวงล้อได้โดยใช้สูตร


6 rotational and rolling motion

(b) วงล้อหมุนไปได้ทั้งหมดกี่รอบคำนวณได้จาก

3 ล้อ ๆ หนึ่งมีมวล 6 kg และมีรัศมีการหมุน 40 cm กำลังหมุนด้วยอัตราเร็ว 300 รอบ/min

จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์ในการหมุนของล้อนี้

พลังงานจลน์ในการหมุน


6 rotational and rolling motion

4. แผ่นกลมแผ่นหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อย I1 กำลังหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม w1 ถ้าวางแผ่นกลม

แผ่นที่สองซึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อย I2 ซึ่งไม่ได้หมุนลงบนแผ่นกลมที่หนึ่ง หลังจากนั้นแผ่น

กลมทั้งสองหมุนไปด้วยกันเหมือนเป็นวัตถุก้อนเดียวกัน จงหาอัตราเร็วเชิงมุมในตอนสุดท้าย

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมก่อน = โมเมนตัมเชิงมุมหลัง


6 rotational and rolling motion

5.ลูกโบลิงมีมวล 4 kg มีโมเมนต์ความเฉื่อย มีรัศมี 0.1 m ถ้าลูกโบลิงกลิ้ง

ไปตามรางโดยปราศจากการลื่นไถลด้วยความเร็ว 4 m/s พลังงานรวมของลูกโบลิงมีค่าเท่าไร

6. จานแข็งสม่ำเสมอมีมวล 3 kg มีรัศมี 2.0 m หมุนรอบแกนซึ่งอยู่กับที่และผ่านศูนย์กลางมวล

ของจานถ้าความถี่เชิงมุมของการหมุนเป็น 6.0 rad /s จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของจานแข็งนี้


6 rotational and rolling motion

ค้นคว้าเพิ่มเติมได้จากค้นคว้าเพิ่มเติมได้จาก

1. http://www.lehigh.edu/~jcl3/lecture.html

2. http://www.pas.rochester.edu/~tipton/p121-1n.pdf

3. http://www.udayton.edu/~amophys/125/fift/fift.html

4. http://www.rockpile.phys.virginia.edu/arcoo/arch16.pdf

5. http://www.webcomposer.pace.edu/moremland/hs-physics/hs-phys-lec8.html

6. http://www.phy.mtu.edu/~kjmorgan/lecture/serway9.pdf