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Filas M/M/1

Filas M/M/1. Chegadas de Poisson k. Serviço exponencial. M/M/1. É o exemplo mais simple de um PNM. Servidor único Processos de chegada Poisson Tempo de serviço com distribuição exponencial. Política de serviço FIFO. . . Chegadas. M/M/1. Sistema. fila. servidor. M/M/1. Sistema.

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  1. Filas M/M/1

  2. Chegadas de Poisson k Serviço exponencial M/M/1 • É o exemplo mais simple de um PNM. • Servidor único • Processos de chegada Poisson • Tempo de serviço com distribuição exponencial. • Política de serviço FIFO  

  3. Chegadas M/M/1 Sistema fila servidor

  4. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  5. Chegadas M/M/1 Sistema fila servidor

  6. Chegadas M/M/1 Sistema fila servidor

  7. Chegadas M/M/1 Sistema fila servidor

  8. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  9. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  10. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  11. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  12. M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor

  13. M/M/1 • Exemplo 1: seja a seguinte representação de uma rede de comutação de pacotes k = : taxa de chegada dos pacotes ao nó k = : taxa de saída dos pacotes para o canal k k

  14. M/M/1 • Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

  15. M/M/1 • Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

  16. M/M/1 De onde: O tempo médio de permanência no sistema, igual ao tempo de espera mais o tempo de serviço, se obtém pela fórmula de Little:

  17.  M/M/1 • Exemplo 2: considera-se agora o mesmo sistema de filas M/M/1 do exemplo anterior, porém a taxa de serviço é 2.

  18. M/M/1 • O valor médio do número de pacotes no sistema é: O tempo médio de permanência no sistema é:

  19. E[s] M/M/1 () M/M/1 (2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 /2 Gráfico comparativo E[s]= tempo de resposta normalizado

  20. Análise de um concentrador A ocupação média de um buffer de um concentrador de dados pode ser calculada para diferentes casos. Neste tipo de equipamento, os pacotes que entram de terminais a ele conectados são armazenados por ordem de chegada em um buffer, e são então lidos em FIFO sobre um enlace de saída de transmissão.

  21. Análise de um concentrador • 10 terminais estão conectados ao concentrador • Cada um gera um pacote a cada 8 segundos (distribuição exponencial) • Pacotes têm 960 bits de comprimento em média (distribuição exponencial) • Linha de saída com capacidade de 2400 b/s • Ocupação média do buffer = E [n] = ? • Atraso médio no sistema = E [T] = ? • Tempo médio de espera na fila = E [W] = ?

  22. Análise de um concentrador • Modelo: para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1 Ocupação média do buffer Portanto:

  23. Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

  24. Análise de um concentrador • Cada terminal gera pacotes a cada 5 seg em média. Encontre a ocupação média do buffer E[n], o atraso médio E[T] e a média do tempo de espera E[W]. Para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1. Ocupação média do buffer:

  25. Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

  26. Filas M/M/C

  27. M/M/C • E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema • E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço • u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego • C: número de servidores • A utilização de um servidor é então:

  28. M/M/C • E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema • E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço • u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego • C: número de servidores • A utilização de um servidor é então:

  29. M/M/2 • Exemplo 3: adiciona-se outra saída, formando um sistema de filas M/M/2   

  30. M/M/2 • Para k a taxa de serviço efetiva é 2. Logo, segundo a solução geral de um PNM : Junto com a equação de normalização, obtém-se:

  31. M/M/2 Então, Finalmente, a ocupação média do sistema e o tempo médio de permanência no sistema são:

  32. E[s] M/M/1 M/M/2 M/M/1 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 /2 Gráfico comparativo E[s]= tempo de resposta normalizado

  33. M/M/1 • Exemplo 4: • Fila M/M/1 • Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  • Tempo de serviço = 10 [s] = 1/  • Número de servidores = 1 = C O servidor está ocupado na metade do tempo

  34. M/M/1 • Exemplo 5: • Fila M/M/1 • Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  • Tempo de serviço = 30 [s] = 1/  • Número de servidores = 1 = C O sistema é inundado com chegadas (sistema instável): pode ser resolvido com outro servidor.

  35. M/M/2 • Exemplo anterior com dois servidores: • Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  • Tempo de serviço = 30 [s] = 1/  • Número de servidores = 2 = C  Os servidores estarão ocupados durante 75% do tempo

  36. Modelos de filas aplicavéis a centrais telefônicas

  37. Fila M/M/ Exp () 1 Exp () Exp () • Parâmetros • Tempo entre chegadas ~ Exp () • Tempo de serviço ~ Exp () • Infinitos servidores  não existem filas 2 

  38.      0 1 m m – 1 m + 1   (m–1) m (m+1) (m+2) • Cadeia de Markov M/M/ • Equações: • Neste caso:

  39. Probabilidade de que existam n pessoasem um sistema M/M/, com A=15 Erlangs 0.12 0.1 0.08 0.06 Pn 0.04 0.02 0 0 5 10 15 20 25 30 n • De onde obtém-se que:

  40. Observação: Em uma fila M/M/: Pn ~ P ( Por definição: L = / Aplicando a Lei de Little : L = ·W LQ = ·WQ = L – m · = L – , com: m: número médio de servidores em uso r: uso médio destes servidores Então: LQ = WQ = 0, o que está de acordo com o modelo de infinitos servidores.

  41. Exp () 1 Exp () 2 Exp () m Fila M/M/m Exp () • Parâmetros • Tempo entre chegadas ~ Exp () • Tempo de serviço ~ Exp () • Número de servidores : m • Fator de Utilização: /m

  42.      0 1 m m – 1 m + 1 • Cadeia de Markov M/M/m   (m–1) m m m • Equações: • Neste caso:

  43. Substituindo e manipulando:

  44. Observação:Probabilidade de que ao chegar um pacote espere por algum servidor livre, P(Fila):Como o tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente:Logo, a probabilidade de existir fila é dada por:o que corresponde à fórmula Erlang – C :

  45. Exemplo • m = 8 linhas de saída. • A = 4,5 Erlangs • Problema: calcular a probabilidade de espera • Solução:

  46. Exemplo • PBX com 40 ramais • Cada ramal realiza diariamente, em média, 54 ligações • A duração de cada ligação é, em média, de 3 minutos. • Problema 1: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de que exista fila máxima?

  47. Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs 12 10 8 P(Fila) % 6 4 2 0 8 9 10 11 Número de troncos (servidores) • Solução •  = 40·542460 = 1,5 ligaçõesmin • 1 = 3 minligação • A = 1.5 · 3 = 4.5 Erlangs • Número mínimo de troncos de saída: m = 9 PFila = 4.61 %

  48. Problema 2: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade de 0,1% de que exista fila máxima? • Solução: os parâmetros do problema se mantém. Número mínimo de troncos de saída: • m = 13 PFila = 0.08 % Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs 0.8 0.7 0.6 P(Fila) % 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 11 12 13 14 Número de troncos (servidores)

  49. Comparação: • Número mínimo de troncais de saída para : • PF 5 %  m = 9  PF 4,61 % • PF 0,1 %  m = 13  PF 0,08 % • Agregaram-se 4 troncos (isto é, aumento de 44,44 %). • Diminui-se a probabilidade de haver fila em 57,625 vezes (é dizer, diminuiu-se de 98,26 %).

  50. Exp () Exp () 3 2 N N-1 Fila M/M/1/N • Parâmetros • Tempo entre chegadas ~ Exp () • Tempo de serviço ~ Exp () • Número de servidores : 1 • Fator de utilização: /

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