Teoria das Filas

1. Avaliação e Controle de Sistemas de Informação Teoria das Filas Guilherme Amaral Avelino gavelino@gmail.com

2. Por que das filas? • Procura por um serviço maior do que a capacidade do sistema de atender ao serviço • Inviabilidade econômica • Limitação de espaço

3. Teoria das Filas • A Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço • Exemplos de aplicação: • Fluxo de tráfego • veículos, aeronaves, pessoas e comunicações • Escalonamento • Pacientes em hospitais, processos em um computador e jobs em máquinas • Projetos de atendimentos a serviços • Bancos, correios, restaurantes fast-foods

4. Elementos de uma Fila Servidor Clientes Servidor Servidor Fila População Atendimento • *Obs: • Servidores, atendentes ou canais de serviços • Cliente, transação ou entidade

5. Clientes e Tamanho da População • Um cliente é proveniente da população • Quando uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada independente • Quando a população é reduzida a taxa de chegada pode ser dependente • Ex: Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões e os 3 estão na fila

6. Processo de Chegada • Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de chegadas (λ) e/ou seu intervalo médio entre chegadas (IC) • Ex: Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis por minuto. • λ:20 veículos por minuto • IC: 3 segundos • λ e IC são valores médios, em um dado instante diferentes valores podem ser observados • A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos definir sua distribuição de freqüências • Processos com os mesmos valores médios podem apresentar grandes variações de seu valores individuais durante o tempo observado • Processos regulares são raros • Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre variações durante o dia

7. Processo de Atendimento • Determina como é feito o atendimento aos clientes da fila • Ex: • Observando um atendente, podemos constatar que ele atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo • Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de atendimento (μ) e/ou seu tempo ou duração médio de serviços (TA) • μ = 6 clientes por minuto • TA = 10 clientes por minuto

8. Número de servidores • Uma fila pode possuir um ou mais servidores para atender os clientes • A qualidade do serviço pode ser melhorada adicionando convenientemente novos servidores ao sistema • Ex: fila de supermecado

9. Disciplina da Fila • Descreve como os clientes são escolhidos para entrar em um serviço após a fila ser formada • First-Come-First-Served (FCFS) • FIFO • Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido • Last-Come-First-Served(LCFS) • LIFO • Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de prioridades • Filas com Prioridades • Preemptivo • O cliente com maior prioridade é servido imediatamente • Não-preemptivo • O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento • Filas Randômicas

10. Tamanho da Fila • Tamanho Médio • Característica mais visível de uma fila • O dimensionamento adequado desta característica possibilita um atendimento satisfatório • Tamanho Máximo • Área destinada a espera por atendimento • Ex: número de cadeiras em uma barbearia, tamanho do buffer, etc • Dependendo do tamanho e da demanda um cliente pode ser recusado • Ex: central telefônica • Deve ser projetada de forma atender a demanda

11. Tempo Médio de Espera na Fila • Média do tempo gasto por cada cliente desde o momento em que chega na fila ao que ele é atendido • Principal causa de irritação dos clientes • O ideal é que não exista tempo de espera • Ex: • Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente o tempo de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento

12. Variáveis Randômicas • São utilizadas para modelar diversos aspectos de uma fila • Quando afirmamos que a duração média de atendimento é de 10 segundos não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos • Diferentes momentos podem registrar diferentes valores • Caso fosse coletada uma grande quantidade de dados poderíamos deduzir que existe um padrão de atendimento expresso por uma distribuição de probabilidade • É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5 segundos • A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de 18% • A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é de 0,5%

13. Duração do Atendimento

14. Observando a Dinâmica de uma Fila • Cenário • Fila de um banco formada por pessoas que deseja um novo talão de cheques • Chegada • No período de meia hora chegaram ao sistema 12 pessoas • Onde • Intervalo – tempo entre uma chegada e outra • Momento – instante de chegada de um novo cliente • Definir • λ • IC 24 clientes por hora 2,5 minutos

15. Observando a Dinâmica de uma Fila • Atendimento • Dados anotados para cada atendimento em minutos • Determinar • μ • TA 30 clientes por hora 2 minutos

16. Gráfico do Funcionamento da Fila Atendimento Fila

17. Observando a Dinâmica de uma Fila • O primeiro cliente chegou ao banco no inicio do segundo minuto e seu atendimento durou 1 minuto • O quinto cliente chegou ao banco no inicio do 17ᴼ minuto e seu atendimento durou 3 minutos • O sexto cliente chegou ao banco simultaneamente com o quinto cliente no 17ᴼ minuto e, então, esperou na fila até completar o atendimento do quinto cliente, o que ocorreu no final do 19ᴼ minuto • O sétimo cliente chegou ao banco no 19ᴼ minuto e encontrou o atendente ocupado e o sexto cliente na fila • Além dos clientes de número 6 e 7, também os clientes de número 9 a 12 tiveram que esperar em fila • O último cliente (12ᴼ) saiu do atendimento no final do 35ᴼ minuto • ...

18. Conclusões • Tempos de fila • Total de clientes atendidos • Tempo Médio na Fila (TMF) • Número Médio na Fila (NMF) • Mesmo sendo a capacidade de atendimento (μ) superior ao ritmo de chegada (λ) foi observada a formação de filas • Em um sistema de filas, geralmente, tanto o processo de chegada como o de atendimento não são regulares 12 (3+4+3+1+3+2)/12 = 1,33 minutos (3+4+3+1+3+2)/35 = 0,46 cliente

19. Sistemas Estáveis • A abordagem matemática de filas pela Teoria das Filas exige que exista estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento • Ex: fluxo de chegada de clientes em uma fila de banco durante o dia • Não existe estabilidade para o ritmo de chegada no período de 10:00 às 16:00 • Para analisar utilizando a Teoria das Filas faz-se o uso do artifício de retalhar o período global em períodos parciais

20. Sistemas Estáveis • Outra exigência para que o processo seja estável é que os atendentes sejam capazes atender ao fluxo de chegada • μ > λ • Filas ocorrem porque: • Em um dado instante podem chegar mais clientes que a capacidade de atendimento naquele momento • O atendimento de um dado cliente pode demorar mais que o normal • Em sistemas estáveis, todas as características randômicas das filas se mantêm estáveis, oscilam em torno de um valor médio • Sistemas Estáveis • Fluxo médio de entrada (λ) constante • Ritmo medio de atendimento (μ) constante • μ > λ

21. Dimensionando Filas • Objetiva prestar um melhor serviço aos clientes ou obter uma redução de custos do funcionamento do sistema • Tipo de fila e qualidade de serviço • Fila e servidor único • Fila única e diversos servidores • Diversas filas com servidores correspondentes • Filas especiais • Alteração dinâmica no sistema de atendimento • A escolha do tipo de fila depende das características do sistema • Fila de banco x supermercado

22. Exercício Considere um sistema em que navios chegam a um porto para carregar algum produto. Abaixo estão anotados os valores entre chegadas (em horas) para 20 navios As durações da carga (em horas) de cada navio são as seguintes Calcule: • O intervalo médio entre chegadas • A duração média da carga • Monte o desenho de funcionamento do sistema • O tamanho médio da fila • O tempo médio de espera na fila

23. Características dos Processos de Filas • Na maioria dos casos podemos descrever um sistema de filas através de seu: • Padrão de chegada dos clientes • Padrões de serviço • Disciplina de filas • Capacidade do sistema • Número de canais de serviços • Número de estágios de serviços

24. Padrão de Chegada dos Clientes • Padrões de chegadas são processos estocásticos, ou seja desenvolvem-se no tempo e no espaço conforme leis de probabilidade • Distribuições probabilísticas • Tempos de interchegada • Chegada em batch • Reações do cliente • Clientes decepcionados • Recusa do cliente a entrar na fila • Clientes impacientes • Cliente sai após algum tempo • Cliente muda de fila

25. Padrão de Chegada dos Clientes • O padrão de chegada muda com o tempo? • Estacionário • Não-estacionário

26. Padrões de Serviço • Podem ser simples ou em batch • Pode depender do número de clientes na fila • Serviço dependente do estado • Pode trabalhar mais rápido ou se atrapalhar com o aumento do número de clientes • Pode melhorar com o tempo • Serviço não-estacionário • Aprendizado como fator de produtividade

27. Disciplina de Filas • Descreve como os clientes são escolhidos para entrar em um serviço após a fila ser formada • First-Come-First-Served (FCFS) • FIFO • Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido • Last-Come-First-Served(LCFS) • LIFO • Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de prioridades • Filas com Prioridades • Preemptivo • O cliente com maior prioridade é servido imediatamente • Não-preemptivo • O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento

28. Capacidade do Sistema • Sistemas de filas podem ter um limite de capacidade (filas finitas) • Quando atingido o limite da fila nenhum cliente novo poderá ser adicionado até que um cliente desocupe a fila

29. Número de Canais de Serviço • O número de canais correspondem ao número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente • Clientes multi-canais podem ser de: • Fila única • Fila individual

30. Estágio de Serviço • Estágio único • O atendimento do cliente acontece de um vez só • Barbearia, supermecado, etc • Vários estágios • O cliente passa por vários estágios de atendimento, antes de finalizar um serviço • Durante o atendimento o cliente pode enfrentar diversas filas com características diversas • Exame físico, atendimento serviço público

31. Estágio de Serviço

32. Descrição de um Sistema de Filas 1.Padrão de chegada 2.Padrão de serviço 3.Disciplina de filas ... 4.Capacidade do sistema n 5. Número de canais de serviço 6. Estágios de serviços

33. Notação de Fila • Proposta em 1953 por Kendall • é descrita por um série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M • A é a distribuição de inter-chegada de dos clientes • B é padrão de serviço de acordo com um distribuição de probabilidade para o tempo de serviço • m é o número de canais serviços paralelos (servidores) • k é a capacidade do sistema • M é a disciplina de filas • Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FCFS

34. Notação de Fila – Tabela A/B/m/k/M O símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade

35. Exemplo: M/D/2/∞/FCFS • Processo de filas com: • tempos de inter-chegada exponencial • tempos de serviço determinístico • dois servidores paralelos • capacidade ilimitada • disciplina de fila FCFS

36. Medindo o Desempenho do Sistema • Geralmente existem 3 tipos de respostas de interesse do sistema: • medida do tempo de espera que um cliente típico é obrigado a esperar • Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema • Importância de cada tipo depende do sistema analisado. Ex: Parque de diversão x concerto de um equipamento • medida da maneira como os clientes podem ir se acumulando • Número de clientes na fila X número de clientes no sistema • Auxilia na definição do espaço de espera dos clientes • medida do tempo ocioso dos servidores • Tempo em que um servidor em particular esta ocioso • Tempo em que o sistema está desprovido de clientes

37. Medindo o Desempenho do Sistema • A tarefa do analista de filas é determinar as medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo. • Tempo de espera X ociosidade do sistema • Tempo de espera X custos • Cálculo do tamanho da fila de espera • Uso de métodos analíticos como primeira alternativa e simulações onde métodos analíticos não forem suficientes