Чертане на равнинни сечения (чрез използване на успоредност)

1. Чертане на равнинни сечения(чрез използване на успоредност) 11 клас Учител: Я. Янева

2. А В Правила за чертане на равнинни сечения: • Прободна точка между права и равнина намираме, като намерим права в равнината, пресичаща дадената права. А • Пресечницата на две равнини намираме, като намерим две техни общи точки.

3. α а b 1. Достатъчно условие за успоредност на права и равнина Ако една права не лежи в дадена равнина, но е успоредна на права, която лежи в равнината, то тя е успоредна и на равнината. • • •

4. α β а b 2. Ако равнина минава през права, успоредна на дадена равнина, то пресечницата на двете равнини (ако съществува) е успоредна на правата. • • •

5. с а b β α 3. Ако две пресекателни равнини минават съответно през две успоредни прави и пресечницата им е различна от тези прави, то тази пресечница е успоредна на всяка от дадените прави. • • •

6. с β α а 4. Ако права е успоредна на две пресекателни равнини, то тя е успоредна и на тяхната пресечница. • • •

7. 5. а β b α γ Пресечниците на две успоредни равнини с трета равнина са успоредни. • • •

8. Дадено: ABCD – пирамида М[BC] α z М α ІІ АВ α ІІ CD Да се постр. сеч. D Зад.1. Дадена е пирамида ABCD. Да се начертае сечение на пирамидата с равнина, която минава през точка М от ръба ВС и е успоредна на АВ и CD. P N Q C A M B CD || α, CD  (BCD), (BCD)  α={MN} => MN || CD AB || α, AB  (ABD), (ABD)  α={NP} => NP || AB Аналогично PQ || CD и QM || AB

9. D 1) a z M, a || CD P 2) a  BD = {N} N Q 3) b z N, b || AB C A 4) b  AD = {P} M b B 5) c z P, c || CD a c 6) c  AC = {Q} 7) QM

10. D1 C1 A1 B1 D C A B BD || B1D1 => (CB1D1) || (BA1D) BA1 || CD1 Зад. 2.Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Да се построи сечението му с равнина през точка В и успоредна на равнината (CB1D1). Дадено: ABCDA1B1C1D1 – куб α z В α ІІ (CB1D1) Да се постр. сеч.

11. D1 C1 A1 B1 D C A B Задача Да се докаже, че правата АС1 пресича двете равнини в медицентровете на триъгълниците CB1D1 и ВA1D. Дадено: ABCDA1B1C1D1 – куб α z В α ІІ (CB1D1) Да се постр. сеч. М2 М1 О Решение: O – среда на BD => A1O – медиана в  BА1D AC, A1O  (AСC1); AC || A1C1 => AOM1 ~ C1A1M1 => OM1 : A1M1 = AO : C1A1 = 1:2 => M1 – медицентър на BA1D BD || B1D1 => (CB1D1) || (BA1D) BA1 || CD1

12. Дадено: ABCDM – пирамида ABCD – трапец AB=2CD K – ср. на МА Р – ср. на MD αzB, P, K α  MC = {Q} Да се постр. сеч. Да се намери MQ:QC M K P B A D C Зад.3. В пирамидата ABCDМ основата ABCD е трапец с основи AB и CD, като AB=2CD.Точка К е среда на МА, а точка Р е среда на MD.а) Да се построи сечението й с равнината (BPK);б) Да се намери в какво отношение тази равнина дели околния ръб МС. Q N PK–ср. oтс. в ΔADM => PK || AD. Но PKα=>AD || α AD || α, AD  (ABC), (ABC)  α={a} => a || AD a  (CD) = {N} => ABND - успоредник NP  MC = {Q}. Сечението е PKBQ.

13. Правила за построяване на сечения чрез използване на успоредност: • Права построяваме, като построим точка от правата и права, успоредна на дадена. • Пресечница на две равнини построяваме, като намерим тяхна обща точка и права от едната равнина, успоредна на другата.