Успоредност в пространството

1. Успоредност в пространството

2. Стереометрия Частта от геометрията, в която се изучават свойствата на пространствените фигури, се нарича стереометрия (от гръцката дума στερεο, която означава пространство)

3. Аксиоми на стереометрията • Аксиома 1: През всеки три точки, нележащи на една права, минава единствена равнина. • Ako A, B, C не лежат на една права, то • Ǝ 1! α = (ABC) • Аксиома 2: Ако две точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината. • A, B ϵ a A, B ϵα => a ϵα • Аксиома 3: Ако две равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка. • Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права. • Аксиома 4: Във всяка равнина са изпълнени аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в различни равнини, може да се прилагат всички твърдения от планиметрията.

4. Взаимно положение на две прави • Пресичащи се прави: Две прави, които имат обща точка. • a ∩ b => Ǝ 1! α = (a, b) • Успоредни прави: Две прави, които нямат обща точка и лежат в една равнина. • a || b => Ǝ 1! α = (a, b) • Права, успоредна на дадена права: В пространството през точка, нележаща на дадена права, минава единствена права, успоредна на дадената. a; A не лежи на aƎ 1! b: b Z A, b || a • Кръстосани прави: Две прави, които не лежат в една равнина. BC и AA1

5. Твърдение: Ако една права лежи в равнина, а друга права пресича равнината в точка, нележаща на първата права, то двете прави са кръстосани. a Єα, b ∩α = B, B не лежи на a => a и b са кръстосани прави • Пресечница на две равнини: Пресечницата на две равнини, минаващи през две успоредни прави, е права, успоредна на двете прави. • α∩β = c • α Z a, β Z b, a || b => c || a, c || b • Две прави, успоредни на трета права: Ако две прави са успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си. • a || b, b || c => a || c

6. Права и равнина • Успоредни права и равнина: Права и равнина, които нямат общи точки. • a ∩ α = Ø => a║α • Признак за успоредност на права и равина: • Ако права, нележаща в една равнина, е успоредна на някоя права в равнината, то правата и равнината са успоредни. • a не лежи в α, b z αи a || b => a || α • Теорема: Ако права и равнина са успоредни, пресечницата на всяка равнина, минаваща през правата, с дадена равнина e права, успоредна на дадената права. • a|| α, β z a, β∩α= b => b || a

7. Теорема: Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината прекараме права, успоредна на дадената, то втората права лежи в равнината. • a || α, A z α, b z A, b || a => b z α • Теорема: Ако права е успоредна на две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница. • a || α, a || β, α ∩ β = b => a || b • Теорема: Ако една равнина пресича две равнини и е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците й с двете равнини са успоредни прави. • α ∩ β = m, γ || m, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b

8. Взаимно положение на равнини • Успоредни равнини: Две равнини, които нямат общи точки. • α║β • Признак за успоредност на равнини: Ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни. • αz a, b , a ∩ b = B • β z a’, b’ , a’ ∩ b’ = A => α || β • a || a’ , b || b’ • Успоредни равнини: През точка, нележаща на дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената. • A не лежи наα => Ǝ 1! β, β z A и β || α

9. Пресечници на успоредни равнини: Пресечниците на равнина с две успоредни равнини са успоредни прави. • α║β, γ∩ α = a, γ∩ β = b => a || b

10. Построения в пространството • Основни построения в пространството: • Равнина е построена, ако са дадени: • три точки, нележащи на една права • права и точка, нележаща на нея • две пресичащи се прави • две успоредни прави • Права е построена, ако са дадени: • две неуспоредни равнини • Точка е построена, ако са дадени: • неуспоредни права и равнина

11. Ъгъл между две прави • Ъгли с успоредни рамене: Ако раменете на два ъгъла са еднопосочни лъчи, то ъглите са равни. • Ъгъл между две кръстосани прави: Ъгълът между две пресичащи се прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави. < (a; b) = < (a; b’) = α b’ || b < (a; b) = < (a’; b’) = α a’ || a , b’ || b

12. Задача 1 Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Точката M е медицентърът на триъгълника ABC. Определете взаимното положение на правата DM с всяка от правите AB, BC и CA. Дадено: ABCD – триъгълна пирамида т. М – медицентър на ABC Да се определи взаимното положение на DM с всяка от правите AB, BC и CA. Решение: AC, BC, AB Є (ABC), M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и AC DM ∩ (ABC) = M => DM и AB, DM и BC, DM и AC са кръстосани прави

13. Задача 2 Точката М е средата на околния ръб AQ на правилна четириъгълна пирамида ABCDQ. Равнината (BCM) пресича ръба DQ в точка N. Докажете, че BMNC е трапец. Дадено: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида т. М – среда на AQ (BCM) ∩ DQ = N Да се докаже, че BMNC е трапец. Доказателство: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат=> BC || AD, AD Є (ADQ) => BC || (ADQ), N Є (BCM) => => (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN => => BC || MN

14. Задача 3 Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Намерете ъгъла между правите: a) AC и B1D1 б) AC и DA1 Дадено: куб ABCDA1B1C1D1 Решение a): ABCDA1B1C1D1–куб => DD1 || CC1, DD1 = CC1 BB1 || CC1, BB1 = CC1 => BB1D1D – успоредник => => B1D1 || BD < (AC; B1D1) = < (AC; BD) = 90°, защото AC и BD – диагонали в квадрата ABCD => DD1 || BB1, DD1 = BB1 Решениеб): <(AC; DA1) A1B1 || CD, A1B1 = CD => => DCB1A1 - успоредник => CB1 || DA1, CB1 = DA1 < (AC; DA1) = < (AC; CB1) = < ACB1 = 60°, защото ACB1е равностранен триъгълник от AC = CB1 = AB1 – диагонали в еднакви квадрати

15. Задача 4 Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB = 2a и околен ръб AQ = a√2.Намерете ъгъла между правите: a) QD и AB; b) QD и BC Дадено: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида AB = 2a AQ = a√2 Намерете ъглите между правите: a) QD и AB; b) QD и BC Решение: ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида => ABCD – квадрат => AB || DC => < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ QC = QD = a√2, AB = 2a Косинусова теорема за DCQ: => < CDQ = 45°

16. Задача 5 Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед ABCDA1B1C1D1 . Равнината (A1C1M) пресича BC в точка N. Докажете, че A1C1NM е трапец. Дадено: ABCDA1B1C1D1 – правоъгълен паралелепипед М – среда на ръба AB (A1C1M) ∩ BC = N Да се докаже, че A1C1NM е трапец Доказателство: (A1C1M) ∩BC = N => N Є (A1C1M) (ABCD) || (A1B1C1D1) (A1C1NM) ∩ (ABCD) = MN (A1C1NM) ∩ (A1B1C1D1) = A1C1 => A1C1 || MN => A1C1NM е трапец =>

17. Домашна работа Стр. 147 / Зад.4 б), Зад. 6, Зад. 8, Зад. 11