第 16 章集合与函数

第16章集合与函数 知识点 • 关系概念与运算 • 关系表示法与性质 • 关系矩阵与闭包 • 相容关系与覆盖 • 等价关系与划分 • 序关系 • 函数的定义与性质 • 复合函数与逆函数

难点 • 相容关系、等价关系和序关系等有关性质 • 关系闭包概念及求法要求 • 熟练掌握集合运算的证明序偶与笛卡尔乘积关系的性质及复合关系、逆关系相容关系与覆盖等价关系与划分

偏序关系与特殊元 函数的定义与图示复合函数与逆函数定义与运算 16.1 集合的基本概念集合的表示方法一般有列举法和特法。列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用逗号分开，然后用花括号括起来。例如，特征法就是用一个小写字母统一表示该集合的元素并指出这类元素的公共特征。

例如， 当两个集合A和B有相同元素时，称这两个集合相等。记作A=B。有些数集经常用特定字母表示： N：自然数集； I：整数集； Q：有理数集； R：实数集； C：复数集；

如果集合A中的每一个元素又都是集合B的元 素，则称A是B的子集。记作定理1集合A和集合B相等的充分必要条件是 ,即。如果集合A是集合B的子集，A和B不等，B中至少有一元素不属于A，则称A为B的真子集，记作 ,例如。不含任何元素的集合称为空集。记作或。空集是任何集合的子集。

在一个具体问题中，如果所涉及到的集合都是 某个集合的子集则称这个集合为全集。用表示。 A是一个集合由属于全集U但不属于A的所有元素组成的集合称为A的补集。记作。定理2 A是有限集，则A的幂集P（A）的基为。即例计算以下幂集 1） 2） 3）

4）解 1） 2） 3） 4）

16.2 集合的运算 1.集合的交定义1两个集合A和B，由A和B的所有共同元素组成的集合称A和B的交，记作即交运算有如下性质：

2.集合的并 定义2两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素组成的集合成为A和B的并。记作即并运算有如下性质：定理3 设A，B，C为三个集合则下列成立：

上式称分配律 定理4设A，B为集合，则下列关系式成立：上式称吸收律定理4设A，B为集合，则下列关系式成立：上式称摩根律 3.集合的减运算定义3 由属于集合A但不属于集合B的那些元素组成的集合称为A减B的差。记作A-B。

即减运算有如下性质： 4.集合的对称差定义4设A，B为两个集合，A和B的对称差记作，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A 又属于B。即对称差的关系见书中图16.2所示。

对称差有如下性质： 16.3 包含排斥原理当有限集A，B不相交时，显然有当A，B相交时，根据文氏图有此结论称包含排斥原理。定理6 设为有限集合，则

例对100个大学生进行调查的结果是：34人爱好音例对100个大学生进行调查的结果是：34人爱好音乐，24人爱好美术，48人爱好舞蹈；13人既爱好音乐又爱好舞蹈，14人既爱好音乐又爱好美术，15人既爱好美术又爱好舞蹈；有25人这三种爱好都没有，问这三种爱好都有的大学生人数是多少？解设A是爱好音乐的大学生集合，B是爱好美术的大学生集合，C是爱好舞蹈的大学生的集合，则

因为所以 16.4 笛卡尔积与关系定义5由两客体和b，按一定顺序组成一个二元组，称此二元组为有序对或序偶。记作（，b）其中为序偶的第一元素，b为序偶为第二元素。序偶元素顺序一经确定就不能变更。

定义6设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成序偶，所有这样的序偶组成的集合，称的笛卡尔乘积。记作例如，则定义7设A，B为集合，R是笛卡尔积的子集，则R为A到B的一个二元关系。当A=B时，称 R为A上的二元关系。例如，，如果，那么R就是一个A到B

的二元关系，即称与 有关系R，记作；则称没有关系R，记作。例如，那么R是A上的一个二元关系。定义8设R为二元关系，由的所有x组成集合domR，称为R的前域; 由的所有y组成集合ranR，称为R的值域；R的前域和值域一起称作R 的域，记作FLDR即。

例如，在 上关系R 定义为：则若称为空关系；若称为R全关系，当A=B时，全关系； A上恒等关系。例如则。例，下面各式定义的R为A上关系，分别列出下列R的元素。

1） 2） 3） 4）解 1） 2） 3） 4），其中（R的元素请读者自己写出）

16.5 关系的表达式与基本类型 设集合到上的二元关系为R。在平面上作出m个点，分别记作，然后画出n个点分别记作如果，则可自点到点作一有向弧，其箭头指向，如果，则不连接，这样联结起来的图，称为R的关系图。例如，则关系图如书中图16.3所示。

除用关系图描述关系外，还有经常用的一种 方法-----布尔矩阵,即设 R为X到Y的一个二元关系，则对于R有一个关系矩阵其中上例可表示为

定义9设R为集合X上的二元关系，则 1）如果对任意，必有xRx则称关系R在X上是自反的。 2）如果对任意，必有xRx则称关系R在X上是反自反的。 3）如果对任意，若xRy，必有yRx，则称关系R在X上是对称的。 4）如果对任意，若xRy且yRx，必有x=y，则称R是反对称的。此定义也可叙述为：若xRy，且必有yRx。

5）如果对任意 ，xRy且yRz必有xRz，则称关系R在X上是传递的。关系类型可以从关系矩阵的关系图上予以验证： 1）若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上所有元素都为1，在关系图中，每个点都有自回路。 2）若关系R是对称的，当且仅当在关系矩阵中是对称的且在关系图上，任两点间若有定向弧线，必是成对出现。 3）若关系R是反自反的，当且仅当关系矩阵对角线的元素皆为零，关系图上每个点都没有自回路。 4）若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵以主对角线为对称的元素不能同时为1，在关系图上两点间的定向弧线不可能成对出现。

16.6 等价关系与划分 定义10 R是A上的二元关系，如果R是自反的，称的，可传递的，则称R为A上的等价关系。例设集合，如果A中的元素 ,b被4 除后余数相同（即模4同余关系）则认为 ,b是相关的。并用关系矩阵描述该等价关系。解设A上的模4同余关系为R，由于相同数被4除后余数相等所以R是自反的。R是对称的是显然的。对于可表示为 -b=4k（k是整数），所以当和时，即

那么可是，R满足传递性，综上R是等价关系。将集合A中元素写成，关系矩阵为

定义11 R是A上的等价关系， 由A中所有与相关的元素组成的集合称为关于R的等类价，记作。例如， R是A上的模3同余关系。显然R是A上的等价关系，A中各元素关于R的等价类分别是可以看到相同元素其等价类是相同的，不同等价类仅有3个，即、、。

定义12 R是A上的等价关系，以R的不交的等价类 为元素的集合，称为A在R下的商集。记作即上例的商集定义13设A是集合是A的子集，如果且由以作为元素构成的集合称为A的一个划分，每一个子集称为块。

例如，而 则都是A的划分，在中集合都是块。容易看到，如果R是A上的等价关系则商集就是A上的一个划分，等价类就是块。定理7 集合A的一个划分能确定一个A上的等价关系；反之，确定了A上的一个等价关系也确定A上的一个划分。

16.7 相容关系与覆盖 定义13 R是A上二元关系，如果R是自反的，对称的，则称R是A上的相容关系。例，求R。解设则

定义15设R是A上的相容关系，B是A的子集，而且 在B中任意两个元素都是相关的，则称B为由相容关系R产生的相容类。假如，设 R是A上的二元关系，其定义为：且和b至少有一个数相同，则。显然R是相容关系。A的子集：等都是相容类。下面讨论相容和覆盖之间的关系。

定义16 设A是集合， 是它的非空子集，令如果则S为A的覆盖。例如 S是A的覆盖。定义17 如是集合A的覆盖，且对于S中任意元素，不存在S中其他元素使得是的子集，则称S为A的完全覆盖。例如

其中是A的覆盖又是完全覆盖，而 是A的覆盖但不是完全覆盖，因为是的子集。 16.8 序关系定义18 R是A上的二元关系，如果R是自反的，反对称的，可传递的则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作“ ” 。任何集合A上的恒等关系，集合的幂集P（A）上的包含关系，实数集上的小于等于关系，正整数集上的整除关系都是偏序关系。

例如集合 ，R是A上大于等于关系，则定义19 R是A上偏序关系，若且A 中没有其它元素C满足，则称元素 b盖住元素。定义20设是偏序集，B是A的子集，如果 B中任意两个元素都是有关系的，则称子集B为链。定义21在偏序集中，如果A是链，则称是全序集，二元关系称全序关系。例如在正整数数集合上的小于等于关系就是全序关系。

定义22是偏序集，是A中的一个元素， 如果A中没有其他元素x，使得，则称为 A中的极大元。同理，b是A中的一个元素，如果A 中没有其他元素x，使得则称b为A中的极小元。例如，是A上整除关系，那么元素2和3是A中极小元；元素6和8是A中极大元。定义23 是偏序集，如果A中存在着元素，使得A中任意元素x都有则称是A中的最大元。同理，如果A中存在着元素b，使得A中任意元素x都有则称b是A中最小元。

例如， 是A上的整除关系，则元素 1是A的最小元，元素12是A的最大元。定义24 是偏序集，和b是A中的两个元素，如果A中存在元素c，使得且则称c为和b的上界。同理，如果A中存在元素d使得且则称d为和b的下界。例如，，是A上的整除关系，对元素2和3，元素6和12都是上界，元素1是下界；对于元素3和6，元素6和12是上界，元素1和3是下界；对于元素6和8元素1和2是下界，但没有上界。

定义25 是偏序集， 和b是A上两个元素，c 是他们的上界，且对和b的其它上界x，都有则称c为和b最小上界。同理，d是和b的下界，且对于和b的其它下界x都有，则称d为和b的最大下界。例如，，是整除关系，对元素2和 3，其最小上界为b，最大下界是1；对元素4和8，其最小上界是8，最大下界是4；对于元素6和8，其最大下界是2，但没有最小上界。

16.9 关系运算与闭包 定义26 R是A到B的二元关系，若将R中每一个有序对内的元素顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系，记作，即。由逆关系定义还可得下列定理：定理8 设都是从A到B的二元关系，则下列各式成立： 1） 2） 3）

4），这里 5） 6） 7）若，则定义27 R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系； R和S的复合记作，它是一个A到C的二元关系当且时，定理9 R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系，复合关系RoS是A到C的二元关系，它们的关系矩阵分别为则

定义28 R是A上二元关系，R的自反（或对称，或传递）闭包也是A上的二元关系，且满足， 1）是自反的（或对称的或传递的）。 2）。 3）对任何自反的（或对称的，或传递的）二元关系，如果则必有。 R的自反闭包，对称闭包，传递闭包分别用 r（R），S（R），t（R）表示。

下面介绍一种求传递闭包的有效算法。 第一步置新矩阵第二步置j=1 第三步对所有的i如果，则对K=1，2，……，n置第四步j=j+1 第五步如果则转到第三步，否则停止。

16.10 函数的概念 定义29 A和B是集合，f是A到B的二元关系，如果f满足：对于A中的每一个元素存在着B中的一个元素且仅一个元素b使，则称f为A到B的函数。常把记作，称为自变元或原象，b为对应的函数值或映象。集合A称函数f的定义域，由所有映象组成的集合称函数f的值域。

理解函数时要注意以下两点： 1）函数定义域是集合A，而不是A的某一个真子集。 2）对于，在B中只有一个元素b与之相关，不能即有，又有即只能多对一，而不能一对多。例集合 f是A到B的二元关系， f的关系图见书中图16.13所示，试指出哪个二元关系可构成函数。

解图（a）不能构成函数，因为A中元素即有还有，有两个映象，所以不能构成函数。图（b）能构成函数。图（c）不能构成函数，因为元素c在集合B中无映象。定义30 设集合A和B，把所有从A到B的函数构成的集合记作，即。

例设从A到B可定义多少种不同函数？解从A到B的函数可构成8个，即

定义31设A，B是集合，f是A到B的函数，则 1）对于A中任两元素当时，都有，则称f为单射函数。 2）如果函数的值域恰好是B则称f为满射函数。 3）如果f既是单射函数，又是满射函数，则称f是双射函数。例设函数都是A到 B的映射，且问：是满射？单射？双射函数？

解不是满射，也不是单射 是满射，又是单射，所以是双射。 16.11 复合函数和逆函数定义32 设f是A到B的函数，g是B到C的函数，f和g 合成后的函数称为复合函数。记作gof。它是A到C 的函数。当且时，则，即为。定理10 设A，B，C是集合，f是A到B的函数，g是B 到C的函数： 1）如果f和g都是单射函数，则gof也是单射函数。

2）如果f和g都是满射函数，则gof也是满射函数。2）如果f和g都是满射函数，则gof也是满射函数。 3）如果f和g都是双射函数，则gof也是双射函数。定义33设f是A到B的双射函数，其逆关系称为f的逆函数。记作。例如 f是A到B的双射函数，且即其逆函数即只有双射函数有逆函数，单射和满射函数没有逆函数。

最后一个部分介绍著名的“鸽洞原理” 某人修了n个鸽洞，养了多于n只的鸽子这样必然有一个鸽洞住2只或2只以上的鸽子。用数学语言来描述即：A，B是有限集合，于是A到B的函数，如果则在A中至少有m+1个元素，其函数值相等。例任意n+1个正整数，其中必有两个数之差被n整除。解由于任意正整数被n除后，其余数只能是0，1，2，…， n-1共n种，所以在n+1个正整数中，必有两个数被n除后余数相同，那么这两个数之差必能被n整除。

小结 本章论述了集合，关系和函数，学习本章要能熟练集合的运算，特别是对称差，要能掌握有关幂集的求法。会运用鸽洞原理处理一些实际问题。对于关系要会用图和矩阵方式表示，给定A 上关系R，能判别R的性质，会求等价类和与R相对应的划分，要会确立偏序集的特殊点，会画出哈斯图，会判定函数是单射，满射，还是双射，熟练掌握求复合函数和逆函数。

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