Temat: Zbiór liczb naturalnych

1. Temat: Zbiór liczb naturalnych

2. 1. Zbiór liczb rzeczywistych (R) i jego podzbiory. R W C N NW R – zbiór liczb rzeczywistych, W – zbiór liczb wymiernych, NW – zbiór liczb niewymiernych, C – zbiór liczb całkowitych, N – zbiór liczb naturalnych.

3. 2. Zbiór liczb naturalnych (N). N = {0, 1, 2, 3, 4, …} Zbiór liczb naturalnych możemy podzielić na: N= {0}  N+

4. 3. Podzielność liczb Definicja 1/42 Liczba naturalnanjest podzielna przez liczbę naturalnąm różną od zera  istnieje taka liczba naturalna k, że n = m·k. Liczbę m nazywamy dzielnikiem liczby n, zaś o liczbie n mówimy wówczas, że jest wielokrotnością liczby m. Fakt, że m jest dzielnikiem liczby n, oznaczamy: m|n. Zapis symboliczny

5. 4. Liczby pierwsze i złożone. Definicja 2/42 Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą. Posiada więcej niż dwa podzielniki naturalne.

6. Ciekawostki Wiadomość z 11-12-2003 www.wp.pl :Ponad 200 tys. komputerów połączonych w sieć pracowało przez osiem lat, by wyselekcjonować jak największą liczbę pierwszą. Udało się. Wynik składa się z 6320430 cyfr - poinformowała agencja Associated Press. W dniu 23 sierpnia 2008r, odkryto 45. znaną liczbę pierwszą Mersenne’a, 2 43112609 -1, która zapisie dziesiętnym posiada 12978189 cyfr. Znalazł ją Edson Smith z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles. Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów. Liczby pierwsze używane są w szyfrowaniu.

7. 5. Rozkład liczb na czynniki pierwsze. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze, to znaczy przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkładając liczbę pierwszą na czynniki dzielimy ją kolejno przez możliwie najmniejsze liczby pierwsze, do momentu otrzymania wyniku 1. 60 2 60 = 2·2·3·5 30 2 15 3 WNIOSEK: Rozkład dowolnej liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny (nie ma możliwości danej liczby rozłożyć na dwa różne sposoby). 5 5 1

8. 6. Cechy podzielności liczb naturalnych. Twierdzenie 1/43 Dowolna liczba naturalna jest: podzielna przez 2  cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6, 8, podzielna przez 3  suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3, podzielna przez 4  liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, podzielna przez 5  cyfrą jedności jest 0 lub 5, podzielna przez 6  gdy dzieli się przez 2 i 3, podzielna przez 8  liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8, podzielna przez 9  suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9, podzielna przez 10  cyfrą jedności jest 0.

9. 7. NWD(a,b) oraz NWW(a,b). • Definicja 3/44 • Niech dane będą liczby naturalne a, b, z których co najmniej jedna jest różna od zera. • Największym Wspólnym Dzielnikiem liczb a, b nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb a i b. Oznaczamy ją: NWD(a,b) 2)Niech dane będą liczby naturalne a, b, obie różne od zera. Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb a, b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną różną od 0, która jest podzielna przez a i b. Oznaczamy ją: NWW(a,b)

10. 8.Przykład: Znajdź NWD(1080,5040), NWW(1080,5040) 1080 2 5040 2 540 2 2520 2 270 2 1260 2 135 3 630 2 45 3 315 3 15 3 105 3 5 5 35 5 1 7 7 1 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7

11. Wyznaczamy NWD jako iloczyn czynników powtarzających się: 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7 NWD(1080,5040) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360

12. Wyznaczamy NWW jako iloczyn czynników pierwszej liczby powiększony przez iloczyn czynników drugiej liczby nie występujących w pierwszej ( wykreślamy z drugiej te czynniki, które są w pierwszej, a pozostałe dopisujemy do NWW) 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7 NWW(1080,5040) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5· 2· 7= 15120 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5· 2· 7 = 15120

13. 9. Liczby względnie pierwsze. Definicja 4/44 Liczby naturalne a, b, z których co najmniej jedna jest różna od zera nazywamy względnie pierwszymi wtedy, gdy NWD(a,b)=1. 10. Twierdzenie 1/43 Dla dowolnych liczb naturalnych a, b większych od zera prawdziwa jest równość: NWD(a,b) · NWW(a,b) = a · b

14. Zad 1. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 252, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 21. Wyznacz te liczby. Zad 2. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 12. Znajdź te liczby.

15. Zad 3. Iloczyn dwóch liczb naturalnych wynosi 2646, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 21. Co to za liczby? Zad 4. Iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 2700 a ich NWD=6. Podaj te liczby.

16. 11. Podzielność liczb z resztą. Definicja 5/46 Niech n i m będą liczbami naturalnymi oraz m 0. W wyniku dzielenia liczby n przez liczbę m otrzymujemy resztę r wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna k, dla której n = m · k + r, gdzie k, r  N oraz r < m.