grafy planarne n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
GRAFY PLANARNE PowerPoint Presentation
Download Presentation
GRAFY PLANARNE

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

GRAFY PLANARNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 360 Views
  • Uploaded on

GRAFY PLANARNE. To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się ( poza swoimi końcami ). Na przykład K_4 , ale nie K_5. Formalna definicja prowadzi przez grafy płaskie . Grafy płaskie.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'GRAFY PLANARNE' - sofia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
grafy planarne
GRAFY PLANARNE
  • To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami).
  • Na przykład K_4, ale nie K_5.
  • Formalna definicja prowadzi przez grafy płaskie.
grafy p askie
Grafy płaskie
  • G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana o końcach w V i takich, że:

1) rożne krzywe mają różne pary końców,

2) „wnętrza” krzywych nie zawierają punktów innych krzywych zbioru E ani żadnych punktów zbioru V.

  • Graf płaski jest grafem abstrakcyjnym o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E, ale też zbiorem punktów
ciany
Ściany
  • jest otwartym podzbiorem płaszczyzny
  • jego obszary spójne nazywamy ścianamiG
  • dokładnie 1 ściana jest nieograniczona – nazywamy ją zewnętrzną.
  • brzeg ściany albo daną krawędź zawiera albo jest rozłączny z jej wnętrzem.
ilustracja1
Ilustracja

S3

S1

S3

S2

S3 – ściana zewnętrzna

mosty i nie mosty
Mosty i nie-mosty

Niech C będzie cyklem w grafie płaskim G.

  • Jeśli e należy do C, to e leży na brzegu dokładnie dwóch ścian i te ściany zawarte są w 2 różnych ścianach grafu C.
  • Jeśli e jest mostem, to e leży na brzegu dokładnie jednej ściany.
  • Wniosek: płaski las ma tylko jedną ścianę.
2 sp jne grafy p askie

P

H

2-spójne grafy płaskie

Fakt: W 2-spójnym grafie płaskim brzeg każdej ściany jest cyklem.

Dowód:Indukcja z wykorzystaniem konstrukcyjnej charakterystyki grafów 2-spójnych (ćw).

triangulacje
Triangulacje
  • Graf płaski nazywamy maksymalnym, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest płaski.
  • Graf płaski nazywamy triangulacją, gdy brzeg każdej ściany jest trójkątem.

Fakt. Graf płaski o co najmniej 3 wierzchołkach jest maksymalny wgdy jest triangulacją.

dow d
Dowód
  • Jeśli każda ściana jest trójkątem, to nie można dodać krawędzi, która nie naruszałaby warunków 1) i 2) z def. płaskości.
  • G musi być 2-spójny, więc brzeg każdej ściany jest cyklem. Niech C będzie jednym z nich.
  • Skoro G jest maksymalny, to V(C) jest kliką w G, której wszystkie krawędzie leżą na zewnętrznej ścianie C.
  • Jest to jednak możliwe tylko, gdy |V(C)|<4
  • (patrz: rysunek).
zajrzyjmy do pude ek
Zajrzyjmy do pudełek

n=20, m=30, l=12

n=8, m=12, l=6

n-m+l=2

wz r eulera
Wzór Eulera

Tw. (Euler, 1752)W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość:

n-m+l=2

Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n.

Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1.

Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl.

Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma 1 krawędź mniej i 1 ścianę mniej niż G.

Stosujemy zał. ind. do G-e. 

liczba kraw dzi grafu p askiego
Liczba krawędzi grafu płaskiego

Wniosek:Graf płaski o n wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi, triangulacja ma ich dokładnie tyle.

Dowód: Licząc krawędzie wokół każdej ściany triangulacji i sumując je, otrzymamy 2m, ale jednocześnie 3l.

Stąd i ze wzoru Eulera pomnożonego przez 3, 3n-3m+2m=6.

przyk ad triangulacji
Przykład triangulacji

n=7, m=3n-6=15, l=10

grafy planarne1

K_4

Grafy planarne
  • Graf G jest planarny, gdy jest izomorficzny z grafem płaskim. Mówimy wtedy, że można go zanurzyć w (narysować na) płaszczyźnie.
  • Graf płaski, izomorficzny z G nazywamy rysunkiem G.

Fakt:Każdy graf planarny posiada rysunek, którego krawędzie są odcinkami prostych. (ćw)

r wnowa no topologiczna
Równoważność topologiczna
  • Dwa rysunki tego samego grafu są topologicznie równoważne, gdy (multi)zbiory podgrafów będących brzegami ścian pokrywają się.
  • Przykład: 2 top. równoważne rysunki K_4
3 sp jne grafy planarne
3-spójne grafy planarne

Tw. (Whitney, 1932)Każde dwa rysunki 3-spójnego grafu planarnego są topologicznie równoważne.

Lemat: Cykl C 3-spójnego grafu płaskiego jest brzegiem ściany wgdy C jest cyklem indukowanym a V(C) nie rozdziela G.

Dowód Tw.:Z Lematu, każdy rysunek3-spójnego grafu planarnego ma te same cykle na brzegach ścian. 

Dowód Lematu: Skoro V(C) nie rozdziela G, to przynajmniej 1 ze ścian C nie zawiera punktów G-C. Zatem C jest brzegiem ściany.

dow d lematu
Dowód Lematu 
  • Niech C będzie brzegiem ściany, a x,y dwoma (niesąsiednimi na C) wierzchołkami C.
  • Z 3-spójności G, w G-{x,y} istnieje ścieżka P łącząca dwa łuki grafu C-{x,y}.
  • Gdyby istniała krawędź xy, to przecinałaby P (bo obie muszą biec przez zewnętrzną ścianę C) – sprzeczność! (bo G jest płaski).
  • Zatem C jest cyklem indukowanym.
dow d lematu c d
Dowód Lematu  c.d.
  • Niech x,y należą do V(G)-V(C)
  • Z 3-spójności G są między nimi co najmniej 3 niezależne ścieżki, które dzielą płaszczyznę na 3 rozłączne obszary.
  • C musi się zawierać w jednym z nich, a więc jedna ze ścieżek omija C.
  • Zatem zbiór V(C) nie rozdziela x,y.
maksymalne grafy planarne
Maksymalne grafy planarne
  • Graf planarny jest maksymalny, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest planarny.
  • Rysunek maksymalnego grafu planarnego jest triangulacją, i odwrotnie, każda triangulacja jest maksymalnym grafem planarnym.
  • Zatem, graf planarny o n>2 wierzchołkach jest maksymalny wgdy ma 3n-6 krawędzi.
  • Triangulacje są 3-spójne (bez dowodu)
ani ani
Ani, ani
  • Wszystkie grafy na 4 wierzchołkach są planarne (bo K_4 jest planarny)
  • Wszystkie grafy na 5 wierzchołkach są planarne, oprócz K_5(ćw.)
  • Wszystkie grafy dwudzielne na 6 wierzchołkach są planarne, oprócz K_{3,3}(ćw.)
  • AniK_5, aniK_{3,3} nie jest planarny

Dowód dla K_5: m=10>9=3n-6

Dowód dla K_{3,3}: na ćwiczeniach!

slide26

D2

D1

D3

?

?

S2

S3

S1

podzia y topologiczne kraw dzi

K_3

G=TK_3

Podziały topologiczne krawędzi
  • Nieformalny zapis G=TH oznacza, ze G jest jednym z grafów, które można otrzymać z grafu H przez topologiczne podziały krawędzi.

(TH jest więc nieskończoną rodziną grafów)

tw kuratowskiego
Tw. Kuratowskiego
  • Ani TK_5, ani TK_{3,3} nie jest planarny.
  • Żaden graf planarny nie zawiera ich.

Tw. (Kuratowski 1930)

Graf G jest planarny wgdy nie zawiera ani TK_5 ani TK_{3,3}. (bez dowodu.)