1 / 18

Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach

Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach. Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.

zeus-robertson
Download Presentation

Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

  2. Niech P = {p1, ... , pn} będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie. Dla każ-dego z punktów należących do S określamy obszar Voronoi zawierający punkty płaszczyzny, dla których dany punkt jest najbliższy spośród punktów z S, tzn.: VD(pi) = {x: ij d(pi,x)  d(pj,x)}. Podział płaszczyzny na obszary Voronoi nazywamy diagramem Voronoi.

  3. Triangulacją Delaunay dla zbioru punktów P (DT(P)) nazywamy graf dualny do diagramu Voronoi, którego wierzchołkami są punkty z P, a krawędzie łączą wierzchołki należące do sąsiednich obszarów Voronoi.

  4. Minimalnym drzewem rozpinającym dla zbioru punktów P (MST(P)) nazywamy drzewo o wierzchołkach w punktach z P, którego suma długości krawędzi jest minimalna.

  5. 1. Dla  = 0, R(x,y,) jest odcinkiem xy . x y  = 0,8  = 0,95 Dla danego zbioru P zawierającego n punktów w Rm-skeletonami nazywamy rodzinę grafów o wierzchołkach z P, parametryzowaną przez wartość , takich, że dwa punkty x,y  P są połączone krawędzią, gdy żaden inny punkt z P nie należy do obszaru R(x,y,), gdzie: 2. Dla 0 <  < 1, R(x,y,) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2, których brzegi zawierają oba punkty x i y.

  6.  = 1  = 2  =  x y 4. Dla  = , R(x,y,) jest nieskończonym pasem prostopadłym do prostej przechodzącej przez x i y, którego brzeg zawiera x i y. 3. Dla 1   < , R(x,y, ) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2 i środkach odpowiednio w punktach (1-/2)x+(/2)y oraz (/2)x+(1-/2)y.

  7. Zastosowania. Modelowanie powierzchni. (http://www.iah.bbsrc.ac.uk/phd/gisruk95.html)

  8. Analiza zdjęć medycznych. (http://noodle.med.yale.edu/~robinson/)

  9. z z y y x x w Własności -skeletonów. -skeleton dla zbioru punktów P i  = 1 nazywamy grafem Gabriela (GG(P)) (Gabriel,Sokal 69), a dla  = 2 nazywamy grafem relatywnego sąsiedztwa (RNG(P)) (Toussaint 80). Twierdzenie (Kirkpatrick,Radke 85). MST(P)  RNG(P)  GG(P)  DT(P)

  10. Konstrukcja –skeletonów. Twierdzenie (Supowit 83). RNG(P) w R2 można znależć w czasie O(n log n). Twierdzenie (Matula,Sokal 84). GG(P) w R2 można znaleźć w czasie O(n log n). Twierdzenie (Jaromczyk,Kowaluk 87) –skeletony (dla 1    2) w R2można wyznaczyć z DT(P) w czasie O(n).

  11. Twierdzenie (Chazelle,Edelsbrunner,Guibas,Hershberger,Seidel,Sharir 90). GG(P) w R3 może mieć (n2) krawędzi. Fakt. RNG(P) w Rm dla m > 3 może mieć (n2) krawędzi.

  12. L(u,v) D(u,v) Niech L(u,v) oznacza długość najkrótszej ścieżki w grafie łączącej wierz-chołki u i v spójnego grafu G w R2, a D(u,v) oznacza odległość między u i v. Współczynnik rozpięcia S grafu G definiujemy jako S = max (u,v)  G L(u,v)/D(u,v) . Twierdzenie (Keil,Gutwin 92). Współczynnik rozpięcia DT(P), gdzie |P| = n, wynosi O(1). Twierdzenie (Bose,Devroye,Evans,Kirkpatrick 02). Współczynnik rozpięcia RNG(P), gdzie |P| = n, wynosi (n). Współczynnik rozpięcia GG(P), gdzie |P| = n, wynosi O(n1/2). u v

  13. grafy bez czworokątów grafy bez trójkątów grafy acykliczne grafy planarne Grafy definiowane przez różne obszary.

  14. Uogólnienie dla dowolnych grafów. Niech G = (V, U, E) będzie grafem, w którym V oznacza zbiór wierzchołków, U  V jest wyróżnionym zbiorem wierzchołków, E oznacza zbiór krawędzi. Krawędzie grafu G mają dodatnie wagi. Niech MG(p,q) oznacza zbiór środków najkrótszych ścieżek łączących wierzchołki p i q. Możemy zdefiniować różne nowe rodzaje grafów.

  15. Załóżmy, że najkrótsze ścieżki w G są jednoznacznie określone (zbiory MG są jednoelementowe). GGf(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj)  F wtedy i tylko wtedy, gdy w U nie istnieje punkt (różny od ui i uj), który leży bliżej punktu p = MG(ui, uj) niż ui, uj. Załóżmy, że żadne dwie najkrótsze ścieżki w G nie są równe. GGc(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj)  F wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte koło DG(v, r), gdzie v  V i r = minv  V {r: DG(v, r) zawiera ui i uj}, nie zawiera żadnego innego wierzchołka należącego do U. Otrzymujemy następującą zależność: MST  RNG  GGc GGf DTc DTf

  16. Inicjatywa EuroCORES – European Collaborative Research Program EuroGIGA – Graphs in Geometry and Algorithms Projekt – Spatial Decompositions and Graphs (VORONOI) Ośrodki uczestniczące w projekcie: • Berlin, • Bonn, • Bruksela, • Graz, • Linz, • Lugano, • Sevilla, • Warszawa.

  17. Otwarte problemy. • Rozmiar RNG(P) w R3. • Wartość , dla której dana krawędź przestaje należeć do -skele-tonu. • Wartość , dla której -skeleton przestaje mieć rozmiar liniowy. • Oszacowanie współczynnika rozpięcia dla 1    2. • Sposoby dekompozycji dużych grafów. • Kompresja dużych grafów. • Obliczenia rozproszone.

  18. Dziękuję za uwagę.

More Related