grafy spe niaj ce nier wno g ir g n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G) PowerPoint Presentation
Download Presentation
Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G)

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 11

Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G) - PowerPoint PPT Presentation


  • 166 Views
  • Uploaded on

Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G). Krzysztof Turowski. Uwagi początkowe. Największy zbiór nienadmierny nie może być zbiorem dominującym. Dobrym obszarem poszukiwania wydają się grafy postaci:

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G)' - shlomo


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
uwagi pocz tkowe
Uwagi początkowe
  • Największy zbiór nienadmierny nie może być zbiorem dominującym.
  • Dobrym obszarem poszukiwania wydają się grafy postaci:

gdzie owal oznacza graf o minimalnym zbiorze dominującym ściśle ustalonej postaci np. graf pełny, cykl, ścieżkę.

uwagi pocz tkowe1
Uwagi początkowe
  • Dlaczego akurat te rodziny podgrafów?Ponieważ mają one ściśle narzucone ograniczenia na Γ(G), co można wykorzystać konstruując graf docelowy.
  • Dlaczego akurat takie połączenia między podgrafami?Ponieważ dają nam one oczywiste ograniczenie z dołu na IR(G).
g ir g przyk ad grafu
Γ(G) < IR(G): Przykład grafu
  • Rzeczywiście można znaleźć przykłady grafów takiej postaci z daną własnością:Poniższy graf ma Γ(G) = 2, IR(G) = 3:
rodziny graf w spe niaj cych g ir g
Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)
  • Okazuje się, że każdy graf złożony z dwóch grafów Kn o wierzchołkach połączonych parami przez n – k krawędzi ma własność Γ(G) < IR(G), o ile tylko n > k ≥ 3.
  • W takim grafie mamy Γ(G) = 2, natomiast IR(G) = k > Γ(G).
rodziny graf w spe niaj cych g ir g1
Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)
  • Co więcej, nawet jeśli mamy dwa grafy Km i Kn połączone krawędziami tak, że:
    • Istnieje w Km wierzchołek niepołączony z Kn
    • Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Km
    • Istnieje zbiór nienadmierny N  V(Km): |N| > 2

to IR(G) ≥ |N| > 2 = Γ(G) .

  • Ponadto istnieje wówczas zbiór nienadmierny N’  Kn: |N’| = |N|
rodziny graf w spe niaj cych g ir g2
Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G)
  • Możemy też spróbować zastąpić jeden z grafów pełnych ścieżką lub cyklem.
  • Wtedy mamy np. graf Cm (Pm) i Kn połączone ze sobą pewną liczbą krawędzi. Do tego:
    • Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Pm/Cm
    • Istnieje zbiór nienadmierny N  V(Km)
  • Dla Cm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 1Dla Pm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 2
  • IR(G) ≥ |N|
g ir g przyk ad grafu1
Γ(G) < IR(G): Przykład grafu
  • Przykładowo dla poniższego grafu:m = n = 6, |N| = 5 i Γ(G) = 4, IR(G) = 5
  • Dla grafu Km+Pn najmniejszy graf mam = n = 7
uwagi i spostrze enia
Uwagi i spostrzeżenia
  • Zestawy: cykl – cykl lub cykl – ścieżka mają w każdym przypadku Γ(G) = IR(G).
  • Każda z przedstawionych powyżej rodzin grafów ma jedną cechę wspólną: są to grafy gęste, tzn. |E(G)| = Θ(|V(G)|2). Jednak – jak się okazuje – nie jest to warunek konieczny.
  • Przykładowa rodzina grafów rzadkich (dla których |E(G)| = Θ(|V(G)|)) jaką znalazłem, to grafy złożone z P2m i Kn, gdzie m >> n.
uwagi i spostrze enia1
Uwagi i spostrzeżenia
  • Na koniec podgrafy grafów Mm,n takie, że:
    • Dla pewnych k liczb i  {1, 2, …, m} wierzchołki u1,i, u2,i, … um,i są niepołączone
    • m – k > n ≥ 2
  • Wówczas w grafie jest:
    • m – k podgrafów Kn
    • n podgrafów Km
  • Γ(G) = n, a IR(G) = m – k + n – 2.
  • Z kolei V(G) = mn i E(G) = Θ(m2n).