slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
5. FUNGSI PowerPoint Presentation
Download Presentation
5. FUNGSI

Loading in 2 Seconds...

  share
play fullscreen
1 / 34
Download Presentation

5. FUNGSI - PowerPoint PPT Presentation

shayla
160 Views
Download Presentation

5. FUNGSI

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. 5. FUNGSI

  2. 5.1 Fungsi Fungsiadalahbentukkhususdarirelasi. Telahdijelaskansebelumnya, jikaterdapat himpunan A danhimpunan B makarelasidari A ke B adalahhimpunanpasanganterurut (a,b) sedemikiansehingga a  A dan b  B. Jikapadarelasidikenakanaturantertentu, makarelasitersebutdisebutfungsi. Fungsididefinisikansebagaiaturan yang menetapkanbahwasetiapsatuelemendi A dihubungkandengantepatsatuelemendi B

  3. A B A B B A ▸ ▸                 ▸         ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ (a) (b) (c) B A ▸         Gambar 5.1 a, dan c adalahfungsi, Sedangkanb, dan d bukanfungsi ▸ ▸ ▸ ▸ (d)

  4. Contoh 5.1 Apakahpersamaanberikutmerupakanfungsidari R ke R? Penyelesaian: f(0) = 1/0 = ∞ (bukan R)

  5. 5.2 Sifat-sifatFungsi Berdasarkansifatnya fungi dapatdibagimenjadi beberapasifat, yaitu: • 1) satukesatu (one to one) atauinjektif (injective), • 2)“pada” (onto) atausurjektif (surjective), • 3) berkorespondensatukesatu (one to one • correspondence) ataubijektif (bijective) • 4)fungsi yang mempunyaibalikan (inverse).

  6. 5.2.1 Fungsisatukesatu (One to One) Fungsi f dari A ke B dikatakansatukesatu (one-to- one) atauinjectivejikadanhanyajika • untuksetiapa1dan a2anggotahimpunan A, • berlakuf(a1)  f(a2) jika a1  a2. Artinyasetiapelemen yang berbedapada A mempunyaipasangan yang berbeda pula pada B. Gambarberikutadalahcontohfungsisatukesatu. B A A B ▸ ▸                  ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  7. Contoh 5.2 • Tentukanapakah f(x) = x – 1 fungsisatukesatu? • Penyelesaian: • Karena f(a1)  f(a2) untuksetiapa1 a2,maka • f(x) = x – 1 adalahfungsisatukesatu. • 5.2.2 Fungsi “pada” (onto) atausurjektif (surjective). • Suatufungsi f darihimpunan A kehimpunan B bersifat “pada” (onto) atausurjectivejikadanhanyajikauntuksetiapelemen b padahimpunan B mempunyaipasanganelemen a padahimpunan A sedemikian, sehingga f(a) = b. • Artinyasetiapelemenpadahimpunan B pastimempunyaipasanganpadahimpunan A.

  8. Gambarberikutadalahcontohfungsibersifat“pada”. A B ▸          ▸ ▸ ▸ ▸

  9. Contoh5.3 f(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositifadalahfungsi yang bersifat “pada”. A B 1 2 3 4 5 ⋮ 2 4 6 8 10 ⋮ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  10. Sedangkanf(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilanganbulatbukanfungsi yang bersifat “pada”, karenaadasebagianbilanganasli yang tidakdapatdipetakankebilanganbulatnegatifataukebilanganganjil. A B 1 2 3 4 5 ⋮ 1 2 3 4 5 6 -1 ⋮ ▸ ▸ ▸

  11. 5.2.3 BersifatBijeksi (Bijective) Suatufungsidikatakanbijeksiatau berkorespondensisatukesatujikafungsi tersebutmerupakanfungsi “satukesatu” danfungsi “pada”. A B ▸         ▸ ▸ ▸

  12. Contoh 5.4 Fungsi f(x) = 2x darihimpunanbilanganasli N kehimpunanbilangangenappositif P adalah fungsisatukesatudanfungsi“pada”. Berartif(x) = 2x adalahfungsibijeksidari N ke P. 5.2.3 BalikanFungsi (Inverse Function) Suatufungsimempunyaibalikan (inverse) jika fungsitersebutberkorespondensatukesatu ataubijeksi

  13. Contoh 5.5 Tentukan fungi invers f(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositif. Penyelesaian: Karena f(x) berkorespondensisatukesatudari himpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositif, maka f(x) mempunyaibalikan.

  14. 5.3 KomposisiFungsi Misalg adalahfungsidarihimpunan A kehimpunanB, dan f adalahfungsidarihimpunan B kehimpunan C. Selanjutnyakomposisifungsi f dan g, dilambangkandenganf ∘ g, adalahsebuahfungsidarihimpunan A kehimpunan C yang memenuhif∘g(x) = f(g(x)), x A

  15. f ∘ g g f    a g(a) f(g(a)) C A B

  16. Contoh 5.6 • Jika f(x) = x2 , dan g(x) = x + 1, makakomposisi • f dan g adalah: • f(x) = x2 • f(g(x) ) = (g(x))2 = ( x + 1 )2

  17. Contoh 5.7 • Diberikanfungsi g = {(1,u), (2,u), (3,w)} yang • MemetakanA = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} dan • fungsi f = {(u,y), (v,x), (w,z)} yang memetakan • B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. • Fungsikomposisidari A ke C adalah • f ∘ g={(1,y), (2,y),(3,z)} C A B u v w x y z 1 2 3 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  18. 5.4 Fungsipentinglainnya 5.4.1 FungsiFloordanCeiling Definisi Fungsi floor x,dilambangkandengan , menyatakanbilanganbulatterbesar yang lebihkecilatausamadengan x • Fungsi ceiling x, dilambangkandengan , • menyatakanbilanganbulatterkecil yang lebihbesaratausamadengan x.

  19. Sifat-sifatFungsiCeilingdanFloor:

  20. Contoh 5.8 Penyelesaian

  21. 5.4.2 Fungsi Modulo Fungsi Modulo adalahsuatujenisfungsi yang mempunyaihubungandengansisahasil bagiantaraduabuahbilanganbulat. Misalterdapatduabuahbilanganbulat m dan n. Untuksetiapnilai n > 0, sisahasilbagi, sebut r, dari m dibagi n atau m/n ditunjukkandengan, m mod n = r • Misal q adalahhasilbagi m dibagi n, sedangkan • r adalahsisadarihasilbagi. Selanjutnyakita • dapatmembuathubungan,

  22. m = qn + r r = m – qn , 0  r  n

  23. 5.4.3 FungsiFaktorial • Fungsieksponensialberbentuk Contoh 5.9 0! = 1 1! = 1 = 1 x 0! = 1 2! = 1  2 = 2 x 1! = 2 • 3! = 1  2  3 = 3 x 2! = 6 • ⋮ • n!=1  2  3  ...  (n-1)  n = n  (n-1)!

  24. Selanjutnya n! dapatdidefinisikansebagai, Jikadimisalkan f(n) = n! , maka,

  25. 5.4.4 FungsiEksponensialdanLogaritmik • Fungsieksponensialberbentuk , n = 0 Fungsilogaritmikberbentuk

  26. 5.4.5 FungsiRekursif Fungsirekursifataufungsiberulangadalah fungsi yang didefinisikanolehdirinyasendiri. Fungsirekursiftersusunatasduabagian, yaitu • Basis • Bagian yang berisinilaiawal yang tidak • mengacupadadirinyasendiri • Bagian yang mendefinisikanargumenfungsi • dalamterminologidirinyasendiri. • Sebagaicontoh, • Misal f(n) = n! • Tentukan f(6) • Penyelesaian

  27. Definisifungsifaktorialadalah atau

  28. Dari persamaandiatasdidapat: • Basis • f(0) = 0! = 1 , n = 0 • Rekurens • f(n) = n! = n x(n–1)!   , n > 0 • f(6) = 6! dihitungdengancara: • f(1) = 1! = 1  0! = 1  1 = 1 • f(2) = 2! = 2  1! = 2  1 = 2 • f(3) = 3! = 3  2! = 3  2  1 = 6 • f(4) = 4! = 4  3! = 4  3 2 1 = 24 • f(5) = 5! = 5  4! = 5  4  3 2 1 = 120 • f(6) = 6! = 6  5! = 6  5  4  3 2 1 = 720

  29. Contohlainnyaadalahbilangan Fibonacci, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . yaitusuatubarisantakhinggabilangan-bilangan yang diawaliolehduasukupertamamasing-masing 0 dan 1. Sedangkansukuketigadanselanjutnyamerupakan jumlahduasukusebelumnya. Misalsukuke n daribilangan Fibonacci adalah Fn. Jikasukupertamaadalah F0dansukukedua adalah F1, maka F0 = 0 dan F1 = 1

  30. Jadi : F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1 F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3 F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5 ⋮ Fn = Fn-1 + Fn-2

  31. Dari keduacontohdiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwauntukmenentukannilaifungsirekursifharusmelaluiduatahapan, yaitu basis danlangkahrekursif. Basis adalahnilaifungsi yang sudahditentukanolehsukupertamaataukelompoksukupertama. Padafungsifaktorial basis adalah 0! = 0. Sedangkanpadabilangan Fibonacci, basis adalahsukupertamadankedua, yaitu 0 dan 1. Langkahrekursifadalahlangkah yang menyatakanbagaimanacaramenghitungnilaifungsidarisuku-sukuataunilai-nilaiterdahulu.

  32. Latihan Misal g = {(1,b), (2, c), (3, a), (4,b)} adalahfungsidari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c, d} dan f = {(a, x), (b, y), (c, w), (d, z)} adalahfungsidarihimpunan B ke C = {w, x, y, z}. Pertanyaan: Tentukan f o g sebagaihimpunanpasanganterurut Apakah f o g merupakanfungsiinjektif, surjektif ataubijektif Penyelesaian:

  33. B C A a b c d w x y z 1 2 3 4 ▸ ▸ f o g = {(1,y), (2, w), (3, x), (4, y)} Bukanfungsiinjektif (satukesatu), karenaada nilaiy yang berulang Bukanfungsi “pada” atau “onto” atausurjektif, Karenaadaanggota C yang tidaktermasukdalam f o g Karenasyaratbijektiftidakterpenuhi, maka f o g bukanfungsibijektif ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  34. Latihan Tentukan, apakah f merupakanfungsidari Z ke R? a. f (n) =  n