1 / 52

Fungsi

Fungsi. PENGERTIAN FUNGSI. Definisi : Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan / memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Aturan : Setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.

cwen
Download Presentation

Fungsi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Fungsi PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  2. PENGERTIAN FUNGSI Definisi: Fungsidari A ke B adalahaturan yang mengaitkan/memasangkansetiapanggota A dengantepatsatuanggota B. Aturan: Setiapanggota A harushabisterpasangdengananggota B. Tidakbolehadaanggota yang dipasangkanlebihdarisatuanggotadi B, sepertiini : A B PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  3. one value of y function Solve for y two values of y not function How to identify if an equation represents a function or not? Case1: Algebraically Case 2: Graphically A graph is the graph of a function if and only if no vertical line intersects the graph at more than one point. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  4. ILUSTRASI FUNGSI A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan di B. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  5. y = x2 x2 + y2 = 1 y2= x Identify which of the following graphs are graphs of functions b) a) c) function Not function Not function PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  6. x = |y – 2| d) f) e) x=1 y=1 Not function Not function function PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  7. Sifat-sifatFungsi f : A  B Fungsi Onto/Pada (Surjektif) JikasetiapanggotadiKodomainmemilikipasanganpada domain, Rf = Ko.  (∀y∈B)(∃x∈A) . y = f(x) Fungsi Into/Ke dalam Jika ada anggota di Kodomain yang tidak memiliki pasangan/prapeta di domain. FungsiSatu-satu (Injektif) Jikasetiapelemen yang berbedadi Domain mempunyaipeta yang berbedadiKodomain, jika x1≠x2maka f(x1)≠f(x2) ataujika f(x1)=f(x2) maka x1= x2. FungsiSatu-satudanPada (Bijektif) Jika f merupakanfungsiinjektifdansurjektif (Korespondensisatu-satu) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  8. A A B B f. surjektif Bukan f. surjektif,tetapi merupakan f. into A B A B f. bijektif (korespondensi satu-satu) f. satu-satu Bukan f. satu-satu PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  9. Apakahfungsi f(x) = x2dariReal keReal bersifatsurjektif?. Jawab : Ambil y = f(x) = - 1 maka x2 = - 1 sehingga x = i (non-Real). Karena x ∉ Real, maka f(x) = x2 bukanfungsisurjektif. Apakahfungsi linier y = h(x) = x – 3 dariR ke R surjektif ?. Jawab : y = x – 3 makax = y + 3. Untuksetiapbilangan real y akanadabilangan real x yang memenuhi. Jadi h(x) surjektif. Apakahfungsieksponen g(x) = 2x-1 dari R ke R merupakanfungsi yang bersifatsurjektif ? Jawab : y = 2x-1 maka x = 2log y + 1. Ternyatatidaksemuanilai real y akandidapatkannilai real x. Misal y = 0. Jadi g(x) bukansurjektif. Apakahfungsi k(x) = x3 + 1 dari Domain bilangan Real keKodomainbilangan Real merupakanfungsisurjektif ? Jawab : y = x3 + 1 maka x = (y – 1)1/3. Untuksetiap y ∈ R akandidapatkan x ∈ R. Jadi k(x) merupakanfungsisurjektif. ContohSoal: PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  10. Soal Jelaskan sifat-sifat yang dipunyai fungsi berikut ? f(x) = |x-1| 2. 1. f(x)=x+2 3. f : R  R dengan f(x) = 2x3 4. f : R  R+ denganf(x) = x2 5.f : R  R dengan f(x) = log x 6. f : R  R dengan f(x) = 2 sin x + 2 f(x)=x2-5x+10 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  11. Domain dan Range Fungsi Domain = Daerah asal fungsi sehingga fungsi mempunyai hasil  pada sumbu X Range = Daerah hasil fungsi  pada sumbu Y PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  12. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  13. Tampak bahwa daerah asal (Domain) adalah D = {x|x ≥ 2, x∈R} dan daerah hasil nya tidak pernah bernilai negatif. Sehingga R = {y| y ≥ 0, y∈R} PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  14. Dari persamaanfungsitampakbahwapenyebutbisaditentukanharganolnyasehinggaadaasimtotgrafik. • Asimtottegak x = ±2 • Asimtotdatar y = 0, karena Koordinat titik ekstrim dapat ditentukan dengan turunan, sbb : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  15. Dari persamaanfungsitampakbahwapenyebuttidakbisaditentukanharganolnyasehinggatidakadaasimtottegak Asimtotdatar y = 0, karena : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  16. MACAM-MACAM FUNGSI • Fungsialjabar • FungsiIrrasional (Variabelnyadibawahtandaakar) • FungsiRasional (Variabelfungsimemuatpangkatbilanganbulat) • i FungsiPolinom iiiFungsiKubik v. Fungsi Linear • ii FungsiPangkativ. FungsiKuadrat vi. FungsiPecahan • FungsiTransenden • FungsiEksponend. FungsiSiklometri • FungsiLogaritma e. FungsiHiperbolik • FungsiTrigonometri • FungsiKhusus • FungsiKonstan c. Fungsi Modulus • FungsiIdentitas d. Fungsi Parameter • FungsiGenap – Ganjil • FungsiPeriodik • Fungsi Lantai (floor function)  Bil Bulat terbesar yang kurang dari/sama dengan x • Fungsi Atap (Ceil Function)  Bil Bulat terkecil yang lebih dari/sama dengan x PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  17. FungsiIrasional 2 -2 2 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  18. FungsiRasional PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  19. 4 2 -4 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  20. (2) FungsiKuadrat Bentukumum : 1. f(x) =ax2+bx+c dengan a ≠ 0  Parabola terbukavertikal. 2. f(y) = ay2+by+c dengan a ≠ 0  Parabola terbukahorisontal. a > 0 terbukakeatasuntuk (1) dankekananuntuk (2) (1) • Pergeseran: • Dari persamaan y = f(x) akanmenjadi y = f(x) + q • q > 0 jikagrafiksemuladigeserkeatas q satuan • q < 0 jikagrafiksemuladigeserkebawah q satuan • Dari persamaan y = f(x) akanmenjadi y = f(x+p) • p > 0 jikagrafiksemuladigeserkekiri p satuan • p < 0 jikagrafiksemuladigeserkekanan p satuan PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  21. Modifikasipersamaanfungsi : y = a(x – x1)(x – x2) ataux = a(y – y1)(y – y2) y = a(x – xP)2 + yPatau x = a(y – yP)2 + xP Grafik g didapat dari grafik f dengan pergeseran horisontal kekanan 4 satuan lalu ke atas 2 satuan. Tentukan persamaan fungsi f dan g. g = f(y-4)+2 6 2 -2 y = f(y) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  22. Soal : • Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya memotong sumbu X di titik A(-4,0) dan B(6,0) serta memotong sumbu Y di B(0,-6). • Grafik parabola dengan persamaan y = 2(4x – 1)2 – 8. Tentukan persamaan yang terjadi jika : • Grafik parabola tersebut di naikkan vertikal 2 satuan lalu digeser horisontal ke kiri 1 satuan. • Sumbu X di geser ke bawah 3 satuan • Parabola terbuka ke kanan dengan persamaan x = (y – 2)(2y + 6). Tentukan : • Gambarlah grafik parabola tersebut. • Koordiant titik potong parabola dengan sumbu Y dan X. • Koordinat titik balik • Persamaaan parabola jika parabola tersebut di atas di geser vertikal ke atas 4 satuan lalu di geser horisontal ke kiri 2 satuan. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  23. AplikasiFungsiKuadrat Jika suatu problem bisa dinyatakan dalam model fungsi kuadrat maka kondisi ekstrim (Maksimum/minimum) persoalan tersebut memenuhi sifat fungsi kuadrat yaitu mempunyai koordinat titik balik P(xP,yP) dengan : Sebuah Contoh : Seorang petani mempunyai pagar sepanjang 24 m dan bermaksud memagari kebunnya yang berbentuk persegi panjang. Salah satu sisi lapangan merupakan dinding luar sebuah pabrik. Berapa ukuran kebun yang berhasil ia pagari ? PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  24. Penyelesaian : Dengan tujuan memperoleh intuisi permasalahan tersebut, bisa dilakukan percobaan sbb 22 m2 70 m2 40 m2 1 m 7 m 1 m 7 m 10 m 10 m 22 m Secara umum : 10 m 4 m L = x.y dengan 2x + y = 24. L = x.(24 – 2x) = 24x – 2x2 L y y x Note : Alternatifcara lain adalahmenggunakandifferensial L’ = 24 – 4x= 0 X = 6  L = 24(6) – 2(6)2 = 72 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  25. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA Soal : • Gambarlahlalutentukandaerahhasil (Range) padafungsikuadrat f(y) = 4x – x2. • Tentukannilai k pada f(x) = (k+4)x2 + 2(k – 1)x + k – 1 agar grafiknyaselaluberadadiatassumbu x ( definitpositif). • Seutaskawatdenganpanjang L dipotongmenjadi 2 bagian. Potonganpertamadibentukmenjadipersegidanpotongankeduamenjadisegitigasamasisi. Tentukanukurantiappotongan agar jumlahluaspersegidansegitigamenjadimaksimum (dalam L). • Tentukanluasterbesarpersegipanjang yang dapatdigambardidalamsebuahsegitigasiku-sikudenganpanjangsisi-sisitegakmasing-masing 6 cm dan 8 cm.

  26. 5. Gambar di samping menunjukkan penampang melintang ( tampak depan) sebuah terowongan berbentuk parabola dengan lebar alas 6 m dan ketinggian 8 m. Sebuah truk dengan tinggi 5 m dan lebar 3 m hendak memasuki terowongan. Tentukan apakah truk bisa melintasi terowongan tersebut ? PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  27. FungsiKubik f(x) = x(x+4)(x-2) juga merupakan fungsi kubik, dengan grafik : Bentuk dasar fungsi kubik adalah f(x) = x3 dengan grafik sbb : 0 2 -4 Pembahasanlebihlanjutdanlebihmendalamsetelahdiberikanmateridiferensial/turunan PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  28. 2. y = 2x–1 + 4 FungsiEksponen Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4 1. y = 2x Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0. ½ PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  29. FungsiTrigonometri f(x) = Sin α , f(x) = Cos α , f(x) = Tan α FungsiSiklometri f(x) = Arc Sin α , f(x) = Arc Cos α , f(x) = Arc Tan α FungsiHiperbolik PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  30. y = ArcSin x y = ArcCos x 1 1 -1 -1 y = ArcTan x -1 1 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  31. FungsiModulus / Harga Mutlak Bentuk Umum f(x) = | x |, dengan perluasan bentuk f(x) = | u | dan u merupakan fungsi dalam variabel x. Contoh : |-4| = 4 ; |-0,025| = 0,025 ; |0| = 0 Pengertian dan Definisi : 1. y = |x| y = u(x), jika u(x) ≥ 0 y = x, jika x ≥ 0 y = - x, jika x < 0 y = - u(x), jika u(x)<0 2. y=| u | u merupakan fungsi,misal : u = 2x – 4 u = x2 – 4x u = t(t – 2) u = sin x dll PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  32. Grafik fungsi Harga Mutlak (Fungsi Modulus) y = | x – 4 | Gambarlah grafik y = x – 4 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x sehingga semua grafik tidak ada yang berada di bawah sumbu x. 4 4 - 4 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  33. y = | x2 – 2x – 8 | Gambarlah grafik y = x2 – 2x – 8 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x terhadap sumbu x. -2 4 y = x2 – 2x – 8 = (x+2)(x–4) Titik potong dg sb x (y = 0), maka x = - 2 atau x = 4 Titik potong dg sb y (x =0), maka y = - 8 Titik balik (1,-9) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  34. y = x2 – | 4x | – 12 Gunakan definisi fungsi modulus untuk menggambar grafik dengan bentuk persamaan di atas. Perhatikan bahwa bagian fungsi dengan tanda mutlak hanya pada | 4x | saja, sehingga : 6 -2 2 -6 • y = x2 – | 4x | – 12 • y=x2–4x–12 utk x ≥ 0 • y=x2+4x–12 utk x < 0 Dengan demikian ada 2 fungsi kuadrat yang di gambar lalu sesuaikan dengan domainnya. Grafik keren PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  35. AljabarFungsi Operasi-operasisepertipadabilanganyaitupenjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagiandanperpangkatanbisaditerapkanpadaduafungsidengancatatanbahwa Domain hasiloperasimerupakanirisankedua domain fungsi PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  36. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  37. KomposisiFungsi Mesin f Mesin g Output Input GabunganMesin f dan g Input Output Gabunganmesin f dan g dapatdiartikansebagaifungsikomposisi yang ditulisg○fatau g(f(x)). PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  38. lebihjelas ….. x • misal : • mesinfungsi f adalah f : x  2x – 4 • mesinfungsi g adalah g : x  x2 + 1 • Jikanilai x = 3 maka : • mesin f akanmemproses 3 sebagai f : 3  2(3) – 4 = 2 • mesin g akanmemproses 2 sebagai g : 2  22 + 1 = 5 • Proses 2 mesindapatdiringkasmenjadiprosessatumesinsebagaiberikut : • (g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka • (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5 • Hal yang samaberlakuuntuklebihdariduamesin. • Perhatikanbahwaurutanprosesmesindiperhatikan, artinyatidakkomutatif. Mesin f f(x) Mesin g g(f(x)) f ○ g ≠ g ○ f PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  39. Teladan : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  40. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  41. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  42. f(x) Mengapa pada soal b tidak ada hasil ? Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal c ? Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal d ? g(x) Kesimpulan : Fungsi f dan g dapatdikomposisi (f o g)(x) jikaRg ∩ Df ≠ ∅ PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  43. SOAL : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  44. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  45. FungsiInversdanInversFungsi Jikaadafungsi g sedemikianhingga a = g(b) makafungsi f mempunyaifungsiinvers. f -1(x) = g(x). a b f g Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  46. Fungsi f(x) mempunyai fungsi invers jika f(x) merupakan fungsi satu-satu. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  47. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  48. Keterangan : Bijektifadalahsyaratperludancukup agar suatufungsimemilikifungsiinvers. Jadiinjektifatausurjektifsajabelumcukupbagiinverssuatufungsiuntukmenjadifungsiinvers. GrafikFungsiInvers f-1danfungsi f simetriterhadapgaris y = x. Contoh : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  49. Soal : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

  50. SoalBebas (Variasi) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA

More Related