1 / 31

# FUNGSI (LANJUTAN 5)

FUNGSI (LANJUTAN 5). Hukum sinus Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut. C. . a. b. E. k. h. . . B. A. D. c. Gambar 3.29.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*).  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**). BDC  sin  = k/b  k = b sin (#).

## FUNGSI (LANJUTAN 5)

E N D

### Presentation Transcript

1. FUNGSI • (LANJUTAN 5)

2. Hukum sinus Untukmembuktikanhukum sinus perhatikanGambar 2.29 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.29

3.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*)  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**) • BDC  sin  = k/b  k = b sin (#) (***) (###) Dari (*) dan (**)  a sin = b sin  Dari (#) dan (##)  b sin = c sin • AEB  sin  = k/c  k = c sin  (##) sin sin sin   = = b b b sin sin sin sin a c a c Dari (***) dan (####) didapat = = (3.49) Persamaan 3.49 disebutHukum Sinus

4. I. Hukumcosinus UntukmembuktikanhukumcosinusperhatikanGambar 2.30 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.30

5.  h = b sin  sin = h/b PerhatikanADC PerhatikanBDC b2 + c2 – a2 (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 2bc = (BC)2 – (AB – AD)2 h2 = a2 – (c – b cos)2 b2 sin2  = a2 – c2 + 2bc cos – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2  + cos2 ) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga, a2 = b2 + c2 – 2bc cos ataucos  = (3.50)

6.  h = a sin  sin = h/a PerhatikanBDC PerhatikanADC a2 + c2 – b2 (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 2ac = (AC)2 – (AB – BD)2 h2 = b2 – (c – b cos  )2 a2 sin2  = b2 – c2 + 2ac cos  – a2 cos2  a2 sin2  + a2 cos2  = b2 – c2 + 2ac cos  a2 (sin2  + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos  a2 = b2 – c2 + 2ac cos  Sehingga, b2 = a2 + c2 – 2ac cos  ataucos  = (3.51)

7.  k = b sin   sin = k/b PerhatikanAEC PerhatikanAEB a2 + b2 – c2 (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 2ab = (AB)2 – (BC – CE)2 k2 = c2 – (a – b cos )2 b2 sin2  = c2 – a2 + 2ab cos  – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = c2 – a2 + 2ab cos  b2 (sin2  + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos  b2 = c2 – a2 + 2ab cos  Sehingga, b2 = c2 – a2 + 2ab cos  ataucos  = (3.52) Persamaan 3.50 s.d. 3.52 disebutHukumCosinus

8. 3.2.7.4 Fungsitrigonometriinvers Kita telahmengetahuibahwasuatufungsiakan mempunyaiinversjikafungsitersebutadalah fungsisatukesatu, yaitufungsi yang mempunyai nilaitunggaluntuksetiap domain. Sebagaicontoh f(x) = x3 + 1 adalahfungsisatu kesatukarenauntuksetiapharga x yang tunggal akanmenghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehinggadikatakanbahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akantetapi f(x) = x2bukanlahfungsisatukesatu karenauntukduaharga x yang berbedaakan menghasilkanharga f(x) yang tunggal. Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x2tidakmempunyai invers.

9. Fungsi-fungsitrigonometriadalahfungsi-fungsi yang tidaktermasukdalamgolonganfungsisatukesatu. Sebagaicontoh f(x) = sin x. Untukharga x = 0, x =  dan x = 2akanmenghasilkanharga yang samayaitu 0. Akantetapijikakitabatasi domain fungsitrigonometri makakitadapatmembuatfungsitrigonometrimenjadi fungsisatukesatu. Jadi f(x) = sinxadalahfungsisatukesatujika - < x < . Begitujugadenganfungsi-fungsitrigonometrilainnya.

10. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1atauarcsin) didefinisikan sebagai, y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1atauarccos) didefinisikan sebagai , y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y . iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1atauarctan) didefinisikan sebagai, y = tan-1 x  x = tan y , untuksetiapharga x dan -/2  y /2 iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1atauarccot) didefinisikan sebagai ,y = cot-1 x  x = cot y , untuksetiapharga x dan 0  y .

11. Definisi-definisi : v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1atauarcsec) didefinisikan sebagai ,y = sec-1 x  x = sec y , untuksetiapharga x 1 dan 0  y , kecuali y = /2 vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1atauarccosec) didefinisikansebagai y = cosec-1 x  x = cosec y , untuksetiaphargax 1 dan 0 y/2

12. y 1 1  2 2 –1 x O 1 • Grafik sin-1 x – 

13. y 1 2   x O 1 –1 • Grafik cos-1 x

14. Sifat-sifatfungsitrigonometriinvers • arcsin(sinx) = x untuk -/2  x /2 sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1 • arccos(cosx) = x untuk 0  x  cos(arccosx) = x untuk -1  x  1 • arctan(tanx) = x untuk -/2  x /2 tan(arctanx) = x untuksemuaharga x

15. Contoh 3.37 • Tentukanharga y jika,   1 1 1 1 1 untuk x  • a) y = sin-1 ( √ 2 2 2 2 2 4 4 1 • Penyelesaian 1 ) • b) y = sin-1 (- √ untuk x  2 2 2 1 1 1 • a) y = sin-1 ( √  siny = √ ) ) 2 2 2. 2 2 2 Jadi y = Jadi y = - –  –   –  • b) y = sin-1 (- √) 2 •  siny = √ 2.

16. y 1 1 1 1  4 4 2 2 • - √ • √  –1 x 1 1 2 2 O 1 2 2 –  – 

17. 3.2.7.5 Fungsihiperbolik • A. Definisi Fungsihiperbolikadalahfungsi yang mempunyaisifat yang serupadenganfungsitrigonometri. Keserupaan antarakeduafungsitersebutdapatdilihatdaridefinisi yang diberikanberikutini. sinh x = (3.53a) ex – e-x ex + e-x 2 2 cosh x = (3.53b) ex – e-x ex – e-x coth x = (3.53d) tanh x = (3.53c) ex+e-x ex+e-x

18. 2 2 sech x = (3.53e) csch x = (3.53f) ex + e-x ex – e-x B. Identitashiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat: 2 e2x –2+ e-2x ex – e-x sinh2 x = = 2 4 e2x +2+ e-2x 2 ex + e-x cosh2 x = = 4 2 e2x +2+ e-2x e2x –2+ e-2x cosh2 x – sinh2 x = cosh2 x – sinh2 x = 1 (3.54) 4 4

19. Bagipersamaan 3.54 dengan cosh2x, didapat 1 – tanh2 x = sech2 x (3.55) Bagipersamaan 3.54 dengan sinh2x, didapat coth2 x – 1= cosech2 x (3.56) 3.2.7.6 Fungsihiperbolikinvers Padadefinisisebelumnyatelahdiketahuibahwafungsi hiperbolikdefinisikandalambentukfungsieksponen. Hal iniberartibahwafungsihiperbolikinversdapat ditulisdalambentuklogaritma natural.

20. Teorema-teorema • Bukti 2x – ey + e-y = 0  kalikansemuaruasdenganey , didapat x2 +1 ey – e-y x2 +1 x2 +1 x2 +1 2x ey – e2y + 1 = 0 atau e2y – 2x ey– 1 = 0  2    sinh-1 x = ln(x + ) (3.57) Denganmenggunakan pers. kuadrat x + x –  4x2 +4 2x  y = sinh-1 x  x = sinh y = ey = = x  Berartieymempunyaiduanilai, yaitu: 2 atau

21. Perludiperhatikanbahwa, Dari duafaktadiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwa  1+ x x2 +1  Nilaieydanselalupositifuntuksembarangnilai x  Nilai x2 + 1 selalulebihbesardari x untuksembarangnilai x ln tanh-1 x = , |x| < 1 (3.59) 1 – x 1   cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 + 1 2 ey = x + (terbukti) x2 –1 x2 –1  

22. 1+ x 1+ x2  cosech-1 x = ln , x > 0 (3.61) 1+ x ln coth-1 x = , |x| > 1 (3.60) 1 – x 1 2  1– x2 1+ x sech-1 x = ln , 0 > x  0 (3.61)

23. 3.2.7.7 Fungsigenapdanganjil Suatufungsidikatakanfungsigenapjikamemenuhi : f(x) = f(–x) ( 3.63 ) Dikatakanganjiljikamemenuhi: f(–x) = –f(x) (3.64 ) Jikasuatufungsitidakmemenuhipersamaan 3.63 dan 3.64 makapersamaantersebutbukanmerupakanfungsigenap atauganjil.

24. Contoh 3.38 Diketahui • f(x) = x3 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x – 2 Tentukanapakahfungsitsb. termasukfungsigenap, ganjil atautidakkeduanya? Penyelesaian i) f(x) = x3 f(-x) =(–x)3 = –x3 = –f(x) Karena f(–x) = –f(x), maka x3adalahfungsiganjil. • ii) f(x) = x2 + 3  f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalahfungsigenap. • iii) f(x) = x – 2  f(–x) = –x – 2 = – (x+2) Karena f(x)  f(–x)  –f(x), maka x – 2 bukanfungsigenap atauganjil.

25. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) Jika g(x) dan h(x) adalahfungsiganjil, makaberlaku g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x). Denganmelakukansubstitusi ke (**) didapat, • f(–x) = g(x) . h(x) (***) • Substitusi (*) ke (***) didapat ,: f(-x) = f(x) Kesimpulan Perkalianfungsiganjildenganfungsiganjilmenghasilkanfungsigenap

26. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) • Jika g(x) dan h(x) adalahfungsigenap, makaberlaku • g(–x) = g(x) dan h(–x)= h(x). Denganmelakukan • substitusike (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) (***) • Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x) Kesimpulan Perkalianfungsigenapdenganfungsigenapmenghasilkan fungsigenap

27. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga : f(x) = g(x) . h(x) ( * ) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) ( ** ) • Jika g(x) adalahfungsigenapdan h(x) adalahfungsiganjilatausebaliknyamakaberlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). • Denganmelakukansubstitusike (**) didapat, • f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. • Selanjutnyadenganmensubstitusi (*) ke (***) didapat, • f(-x) = - f(x). Kesimpulan Perkalianfungsigenapdenganfungsiganjilatausebaliknyamenghasilkanfungsiganjil

28. 3.2.9 FungsiPeriodik Suatufungsi f(x) disebutfungsieriodikjikafungsitersebut terdefinisiuntuksemuaharga x danterdapatbilangan positifsedemikianrupasehingga , f( x + p ) = f ( x ) ( 3.64 ) • dimana p adalahperiodepositifterkecildarifungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasukfungsiperiodikdiantaranya fungsi sinus dancosinus. Sedangkanfungsi-fungsi x, x2, x3, exdanln x tidaktermasuk fungsiperiodikkarenatidakmemenuhipersamaan 3.64. • Denganmengacupadapersamaan 3.64 kitadapatkanbahwa : • f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) • f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)

29. y x 0 p Denganmengacupadapersamaan 3.64 kitadapatkanbahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . . ( 3.65 ) Gambar 3.34 Grafikfungsipriodik

30. Misalterdapatduabuahfungsi g(x) dan h(x). Jikafungsi f(x) adalahfungsi yang didefinisikanoleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalahkonstanta, makaberlaku : (x+p) = ag(x+p) + bh(x+p) ( 3.66 ) Jadidapatdisimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyaiperiode p, makaf(x) jugamempunyaiperiode p. • Contoh 3.39 • Tentukanperiodedari f(x) = sin x • Penyelesaian • sin (x+p) = sin x • sin x cos p + cos x sin p = sin x didapat p = 2

More Related