Μέρος Β

1. Μέρος Β Πιθανότητες Κεφάλαια 3, 4 & 5

2. Τυχαίο Πείραμα… • …ένα τυχαίο πείραμαείναι μία πράξη ή διαδικασία που οδηγεί σε ένα από τα πιθανά ενδεχόμενα. Για Παράδειγμα:

3. Πιθανότητες… • Καταγράφουμε τα ενδεχόμενα του τυχαίου πειράματος … • Αυτή η λίστα θα πρέπει να είναι καθολική(exhaustive), π.χ. ΌΛΑ τα πιθανά ενδεχόμενα περιλαμβάνονται. • Ρίξιμο ζαριού {1,2,3,4,5}Ρίξιμο ζαριού {1,2,3,4,5,6} • Αυτά τα ενδεχόμενα θα πρέπει να είναιαμοιβαία αποκλειόμενα, δηλαδή δενμπορούν δύο ενδεχόμενα να συμβούν ταυτοχρόνως: • Ρίξιμο ζαριού {μονός ή ζυγός αριθμός} • Ρίξιμο ζαριού{ νούμερο < 4 ή ζυγός αριθμός}

4. Δειγματικός Χώρος… • Μία λίστα με καθολικά και αμοιβαία αποκλειόμενα καλείται δειγματικός χώροςκαι συμβολίζεται με S. • Τα ενδεχόμενα συμβολίζονται με O1, O2, …, Ok • Χρησιμοποιώντας σύμβολα από την θεωρία συνόλων, μπορούμε να παριστάνουμε τον δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα του ως: • S = {O1, O2, …, Ok}

5. Ιδιότητες Πιθανοτήτων… • Δοθέντος ενός δειγματικού χώρου S = {O1, O2, …, Ok}, οι πιθανότητες οι οποίες αναθέτονται στα ενδεχόμενα πρέπει να ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες: • Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου είναι μεταξύ 0 και 1 • δηλαδή 0 ≤ P(Oi) ≤ 1 για κάθεi, και • Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων από όλα τα ενδεχόμενα είναι ίσο με 1 • δηλαδή P(O1) + P(O2) + … + P(Ok) = 1 P(Oi) παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχομένουi

6. Προσεγγίσεις στην Ανάθεση των Πιθανοτήτων … • Υπάρχουν τρεις τρόποι για να αναθέσουμε μία πιθανότητα, P(Oi), σε ένα ενδεχόμενο, Oi, ονομαστικά: • Κλασική προσέγγιση: κάνουμε βασικές υποθέσεις (όπως ισοπίθανα, ανεξάρτητα) σχετικά με μία κατάσταση. • Σχετική συχνότητα: αναθέτοντας πιθανότητες βασισμένοι σε πειράματα ή ιστορικά δεδομένα. • Υποκειμενική προσέγγιση: αναθέτοντας πιθανότητες βασισμένοι στην κρίση κάποιων ειδικών.

7. Κλασική Προσέγγιση … • Εάν ένα πείραμα έχειnισοπίθανα ενδεχόμενα,αυτή η μέθοδο θα αναθέσει μία πιθανότητα1/nστο κάθε ενδεχόμενο. • Πείραμα: Ρίξιμο ζαριού • Δειγματικος Χώρος: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Πιθανότητες: Κάθε σημείο του δείγματος έχει 1/6 • πιθανότητα να συμβεί.

8. Κλασική Προσέγγιση … • Πείραμα : Ρίξιμο ζαριών • Δειγματικος Χώρος: S = {2, 3, …, 12} • Πιθανότητες: • P(2) = 1/36 • P(6) = 5/36 • P(10) = 3/36 Ποιες είναι οι βασικές, μη αναφερόμενες, υποθέσεις;

9. Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας… • Μίαεταιρία που πουλάει υπολογιστές καταγράφει των αριθμό των(desktop)υπολογιστών που πωλούνται σε ένα μήνα (30 μέρες): • Για παράδειγμα, • Σε 10 ημέρεςαπό τις 30 • 2 υπολογιστές πουλήθηκαν. • Από αυτό μπορούμε να • κατασκευάσουμε τις πιθανότητες • ενός ενδεχομένου • (δηλαδή των # των υπολογιστών • που πουλήθηκαν σε μία συγκεκριμένη μέρα)…

10. Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας… • «Υπάρχει 40% πιθανότητα η εταιρία να πουλήσει 3 υπολογιστές σε μία συγκεκριμένη ημέρα»

11. Υποκειμενική προσέγγιση… • «Στην υποκειμενική προσέγγιση ορίζουμε ως πιθανότητα τον βαθμό τον οποίο πιστεύουμε ότι ένα ενδεχόμενο θα συμβεί» • Π.χ. Η πρόβλεψη του καιρού όταν βασίζεται σε παλαιά δεδομένα σε συνδυασμό με επίκαιρες καιρικές συνθήκες. • 60% – βασισμένοι σε επίκαιρες καιρικές συνθήκες, υπάρχει 60% πιθανότητα να βρέξει.

12. Ενδεχόμενα και Πιθανότητες… • Ένα ατομικόενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου καλείται ένα απλό ενδεχόμενο (simple event), ενώ • Ένα ενδεχόμενο (event)είναι η συλλογή ή ένα σύνολο από ένα ή περισσότερα απλά ενδεχόμενα από ένα δειγματικό χώρο. • Ρίχνοντας ένα ζάρι: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Απλό ενδεχόμενο:ο αριθμός «3» θα έρθει • Ενδεχόμενο:ένας ζυγός αριθμός (ένα από τα 2, 4, ή 6) θα έρθει

13. Ενδεχόμενα και Πιθανότητες… • Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι ένα άθροισμαπιθανοτήτων απλών ενδεχομένων που αποτελούν το ενδεχόμενο. • π.χ. (υποθέτοντας ένα ζάρι) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} και • P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 • Τότε: • P(ΖΥΓΟΣ) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

14. Ερμηνεύοντας Πιθανότητες … • Ένας τρόπος για να ερμηνεύσουμε μία πιθανότητα είναι ο εξής: • Εάν ένα πείραμα επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, η σχετική συχνότητα για κάποιο συγκεκριμένο ενδεχόμενο είναι η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου. • Για παράδειγμα, η πιθανότητα για μία κορώνα όταν ρίχνουμε ένα ισορροπημένο ζάρι είναι 0.5, όπως απορρέει από την κλασική προσέγγιση. Η πιθανότητα ερμηνεύεται ως η μακροχρόνια σχετική συχνότητα των κορωνών εάν ένα νόμισμα ριχθεί άπειρες φορές.

15. Κοινή, Περιθώρια, Δεσμευμένη, Πιθανότητα… • Μελετούμε μεθόδους για να καθορίσουμε πιθανότητες ενδεχομένων που απορρέουν από συνδυασμό άλλων ενδεχομένων με ποικίλους τρόπους. • Υπάρχουν αρκετά είδη συνδυασμών και σχέσεων ανάμεσα σε ενδεχόμενα: • Το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου • Η τομή δύο ενδεχομένων • Η ένωση δύο ενδεχομένων

16. Παράδειγμα3.1… • Γιατί κάποιοι διαχειριστές αμοιβαίων κεφαλαίων είναι ποιο πετυχημένοι από άλλους; Ένας πιθανός παράγοντας είναι από ποιο πρόγραμμα MBA αποφοίτησε. Ο ακόλουθος πίνακας συγκρίνει την απόδοση των αμοιβαίων κεφαλαίων σε σχέση ως προς την ταξινόμηση του προγράμματος MBA από το οποίο αποφοίτησε ο διαχειριστής των κεφαλαίων: Π.χ. Αυτή είναι η πιθανότητα ότι το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει ΚΑΙ ο διαχειριστής αποφοίτησε σε ένα από τα καλύτερα(top-20) MBA προγράμματα. Αυτή είναι κοινή πιθανότητα.

17. Παράδειγμα3.1… • Εναλλακτικά, μπορούμε να παριστάνουμε συμβολισμό για συντομογραφία για να παριστάνουμε τα ενδεχόμενα: • A1 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμματαA2 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου δεν αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμ.B1 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά • B2 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο δεν υπέρ-αποδίδει στην αγορά Π.χ. P(A2και B1) = .06 = η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να υπέρ-αποδίδει στην αγορά καιο διαχειριστής δεν είναι από τα20 κορυφαία προγράμματα.

18. Περιθώριες Πιθανότητες … • Οι περιθώριες πιθανότητες (marginal probabilities)υπολογίζονται προσθέτοντας τις γραμμές οριζόντιος και τις στήλες καθέτως. Δηλαδή υπολογίζονται στα περιθώρια του πίνακα: P(A2) = .06 + .54 «Ποια είναι η πιθανότητα ένας διαχειριστής κεφαλαίων Να μην είναι από κορυφαίο πρόγραμμα;» P(B1) = .11 + .06 Και τα ΔΥΟ περιθώρια πρέπει να αθροίζουν στην μονάδα (χρήσιμο για επαλήθευση) «ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο Να υπέρ-αποδίδει στην αγορά;»

19. Δεσμευμένη Πιθανότητα … • Δεσμευμένη πιθανότητα (conditional probability)χρησιμοποιείται για να καθορίσουμε πως δύο ενδεχόμενα συσχετίζονται, Δηλαδή, μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου δοθέντος το συμβάν ενός συσχετιζόμενου ενδεχομένου. • Οι δεσμευμένες πιθανότητες γράφονται ωςP(A | B)και διαβάζονται ως «η πιθανότητα του A δοθέντος B» και υπολογίζεται ως: και

20. Δεσμευμένη Πιθανότητα … • Ξανά, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δοθέντοςότι ένα άλλο ενδεχόμενο έχει συμβεί καλείται δεσμευμένη πιθανότητα … Σημειώστε πως«A δοθέντος B»και «Β δοθέντος Α» είναι συσχετιζόμενα…

21. Δεσμευμένη Πιθανότητα … • Παράδειγμα 3.2 • Στο παράδειγμα 3.1, ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο θα υπέρ-αποδώσει στην αγορά δοθέντοςότι ο διαχειριστής αποφοίτησε από κορυφαίο πρόγραμμα; • Θυμηθείτε: • A1 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμματαA2 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου δεν αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμ.B1 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά • B2 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο δεν υπέρ-αποδίδει στην αγορά • Έτσι, θέλουμε να βρούμε «ποια είναι ηP(B1 | A1);»

22. Δεσμευμένη Πιθανότητα … • Θέλουμε να υπολογίσουμεP(B1 | A1) Έτσι, υπάρχει 27.5% πιθανότητα ότι το κεφάλαιο να υπέρ-αποδώσει στην αγορά δοθέντος ότι ο διαχειριστής αποφοίτησε από κορυφαίο πρόγραμμα.

23. Ανεξαρτησία … • Ένας από τους στόχους υπολογισμού της δεσμευμένης πιθανότητας είναι να καθορίσουμε εάν δύο ενδεχόμενα συσχετίζονται. • Ποιο συγκεκριμένα, θα θέλαμε να γνωρίζουμε εάν είναι ανεξάρτητα. Δηλαδή, εάν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν επηρεάζεται από το συμβάν ενός άλλου ενδεχομένου. • Δύο ενδεχόμενα A και B καλούνται ανεξάρτητα (independent) εάν • P(A|B) = P(A) • ή • P(B|A) = P(B)

24. Ανεξαρτησία … • Για παράδειγμα, είδαμε ότι • P(B1 | A1) = .275 • Η περιθώρια πιθανότητα για B1είναι: P(B1) = 0.17 • Αφού P(B1|A1) ≠ P(B1), B1και A1δεν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. • Με αλλά λόγια, είναι εξαρτημένα.Δηλαδή, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου (B1) επηρεάζεταιαπό το συμβάν ενός άλλου ενδεχομένου (A1).

25. Ένωση … • Η ένωση δύο ενδεχομένων είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν ένα από τα δύο ενδεχόμενα ή και τα δυο συμβούν.Παριστάνεται ως: • A ή B • Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την έννοια για να απαντήσουμε ερωτήσεις όπως: • Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο.

26. Ένωση … • Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά (B1)ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο (A1). A1ή B1συμβαίνει όταν: A1και B1συμβαίνει,A1και B2συμβαίνει, ήA2και B1συμβαίνει… P(A1ή B1) =.11+.06+ .29 =.46

27. Ένωση … • Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά (B1)ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο (A1). B1 A1 P(A1ή B1) =.11+.06+ .29 =.46

28. Εναλλακτικά … • Παίρνουμε100% και αφαιρούμε «όταν δεν συμβαίνει A1ή B1»; • Π.χ. τα A2και B2 B1 A1 P(A1ή B1) = 1 – P(A2και B2) = 1 – .54 = .46

29. Κανόνες και Δέντρα Πιθανοτήτων … • Εισάγουμε τρεις κανόνες που μας καθιστούν ικανούς να υπολογίσουμε πιθανότητες πιο πολύπλοκων ενδεχομένων από τις πιθανότητες πιο απλών ενδεχομένων … • Ο Συμπληρωματικός Κανόνας (Complement Rule) • Ο Πολλαπλασιαστικός Κανόνας (Multiplication Rule) • Ο Αθροιστικός Κανόνας (Additional Rule)

30. Ο Συμπληρωματικός Κανόνας … • Το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου A είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν το A δεν συμβαίνει. • Όσυμπληρωματικός κανόναςμας δίνει την πιθανότητα ενός ενδεχομένου όταν ΔΕΝ συμβαίνει. Δηλαδή: • P(AC) = 1 – P(A) • Για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε ένα ζάρι, η πιθανότητα να πάρουμε «1» είναι 1/6. Η πιθανότητα ότι κάποιος αριθμός εκτός του «1» θα συμβεί είναι 1 – 1/6 = 5/6.

31. Ο Πολλαπλασιαστικός Κανόνας … • Ο πολλαπλασιαστικός κανόναςχρησιμοποιείται για τον υπολογισμό κοινών πιθανοτήτων (joint probabilities) δύο ενδεχομένων.Βασιζόμαστε στον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας που ορίστηκε προηγμένως: Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με P(B) έχουμε: P(A και B) = P(A | B)•P(B) Όμοια παίρνουμε, P(A και B) = P(B | A) • P(A) Εάν A και B είναι ανεξάρτητα, τότε P(A και B) = P(A)•P(B)

32. Παράδειγμα 3.2 … • Ένα μεταπτυχιακό μάθημα στατιστικής έχει επτά φοιτητές και τρεις φοιτήτριες. Η καθηγήτρια θέλει να επιλέξει δύο άτομα τυχαία για να την βοηθήσουν στην εκτέλεση ενός ερευνητικού προγράμματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομαείναι κοπέλες; • Υποθέτουμε ότι με A παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το πρώτο άτομο είναι κοπέλα • P(A) = 3/10 = .30 • Τι γίνεται με το δεύτερο άτομο;

33. Παράδειγμα 3.2 … • Υποθέτουμε ότι με Βπαριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το δεύτερο άτομο είναι κοπέλα • P(B | A) = 2/9 = .22 • Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα δοθέντος ότι το πρώτο άτομο που επιλέχθηκε είναι κοπέλα είναι • 2 (κοπέλες) / 9 (απομένοντα άτομα ) = 2/9

34. Παράδειγμα 3.2 … • Ένα μεταπτυχιακό μάθημα στατιστικής έχει επτά φοιτητές και τρεις φοιτήτριες. Η καθηγήτρια θέλει να επιλέξει δύο άτομα τυχαία για να την βοηθήσουν στην εκτέλεση ενός ερευνητικού προγράμματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομαείναι κοπέλες; • Έτσι θέλουμε να απαντήσουμε την ερώτηση: Βρείτε τηνP(A και B); • P(A και B) = P(A)•P(B|A) = (3/10)(2/9) = 6/90 = .067 • «Υπάρχει 6.7% πιθανότητα η καθηγήτρια να επιλέξει δύο κοπέλες από την μεταπτυχιακή τάξη των 10.»

35. Παράδειγμα 3.3 … • Η καθηγήτρια στο Παράδειγμα 3.2 δεν είναι διαθέσιμη. Ένας αντικαταστάτης θα διδάξει δύο μαθήματα. Το στυλ του είναι να επιλέγει τυχαία έναν φοιτητή τυχαία στην τάξη σε κάθε μάθημα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και στα δύο μαθήματα θα επιλεχθούν κοπέλες; • Υποθέτουμε ότι με A παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το πρώτο άτομο είναι κοπέλα • P(A) = 3/10 = .30 • Τι γίνεται με το δεύτερο άτομο;

36. Παράδειγμα 3.3 … • Υποθέτουμε ότι με Βπαριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το δεύτερο άτομο είναι κοπέλα. Αφού το ίδιο άτομο από το πρώτο μάθημα μπορεί να επιλεχθεί και για το δεύτερο μάθημα • P(B | A) = P(B) = 3/10 = .30

37. Παράδειγμα 3.3 … • Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομαείναι κοπέλες; • Έτσι θέλουμε να απαντήσουμε την ερώτηση: Βρείτε τηνP(A και B); • P(A και B) = P(A)•P(B) = (3/10)(3/10) = 9/100 = .09 • «Υπάρχει9% πιθανότητα ο αντικαταστάτης της καθηγήτριας να επιλέξει δύο κοπέλες στα δυο του μαθήματα.»

38. Προσθετικός Κανόνας… • Θυμηθείτε: οπροσθετικός κανόναςπου εισήχθη νωρίτερα μας δίνει ένα τρόπο να υπολογίζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A ή B ήκαι τα δύο A και B συμβαίνουν; π.χ.η ένωση του Α και B. • P(A ή B) = P(A) + P(B) – P(A και B) • Γιατί αφαιρούμε την κοινή πιθανότητα P(A και B) από το άθροισμα της πιθανότητας A και B; P(A ή B) = P(A) + P(B) – P(A and B)

39. Προσθετικός Κανόνας… • P(A1) = .11 + .29 = .40 • P(B1) = .11 + .06 = .17 • Προσθέτοντας P(A) και P(B),προσθέτουμετην P(A και B) δύο φορές. Για να επανορθώσουμε αφαιρούμετην P(A και B) από P(A) + P(B) B1 A1 P(A1ή B1) = P(A) + P(B) –P(A και B) .40+.17 - .11 =.46

40. Προσθετικός Κανόνας για Αμοιβαία Αποκλειόμενα Ενδεχόμενα • Εάν A και B είναι αμοιβαία αποκλειόμενα (mutually exclusive), το συμβάν του ενός ενδεχομένου κάνει την ταυτόχρονη ύπαρξη του άλλου αδύνατη.Αυτό σημαίνει ότι • P(A και B) = 0 • Ο προσθετικός κανόνας για αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα είναι • P(A ή B) = P(A) + P(B) • Συχνά χρησιμοποιούμε αυτή την μορφή όταν προσθέτουμε κάποιες κοινές πιθανότητες υπολογισμένες από ένα δέντρο πιθανοτήτων

41. Παράδειγμα 3.4 … • Σε μία μεγάλη πόλη, δύο εφημερίδες δημοσιεύονται, η Sun και η Post. Το τμήμα για την κυκλοφορία των εφημερίδων αναφέρει ότι 22% των νοικοκυριών έχει συνδρομή με την Sun και 35% με την Post. Μία έρευνα δείχνει ότι 6% των νοικοκυριών έχει συνδρομή και με τις δύο εφημερίδες. Τι αναλογία των νοικοκυριών της πόλης έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post; • Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε ένα νοικοκυριό τυχαία που έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post η και στις δύο; • π.χ. βρείτε τηνP(Sun ή Post) ?

42. Παράδειγμα 3.4 … • Σε μία μεγάλη πόλη, δύο εφημερίδες δημοσιεύονται, η Sun και η Post. Το τμήμα για την κυκλοφορία των εφημερίδων αναφέρει ότι22% των νοικοκυριών έχει συνδρομή με την Sunκαι35% με την Post. Μία έρευνα δείχνει ότι 6% των νοικοκυριών έχει συνδρομή και με τις δύο εφημερίδες. Τι αναλογία των νοικοκυριών της πόλης έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post; • P(Sun ή Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun και Post) • = .22 + .35 – .06 = .51 • «Υπάρχει 51% πιθανότητα ότι ένα τυχαίο νοικοκυριό έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post ή και στις δύο»

43. P(K|K) = 2/9 P(K) = 3/10 P( A|K) = 7/9 P(K|A) = 3/9 P( A) = 7/10 P( A|A) = 6/9 Δέντρα Πιθανοτήτων… • Ένα δέντρο πιθανότηταςείναι μία απλή και αποτελεσματική μέθοδο που εφαρμόζει κανόνες πιθανοτήτων παριστάνοντας ενδεχόμενα σε ένα πείραμα με γραμμές. Το τελικό σχήμα μοιάζει με ένα δέντρο.:Θυμηθείτε το παράδειγμα 3.2 Αυτό είναι P(K), η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα από την τάξη πρώτα Πρώτη Επιλογή Δεύτερη Επιλογή Αυτό είναι P(K|K), η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα και την δεύτερη φορά, δοθέντος ότι μία κοπέλα έχει ήδη επιλεχθεί

44. P(K|K) = 2/9 Κοινές πιθανότητες P(K) = 3/10 P(KK)=(3/10)(2/9) P( A|K) = 7/9 P(K|A) = 3/9 P( A) = 7/10 P(KA)=(3/10)(7/9) P( A|A) = 6/9 P(AK)=(7/10)(3/9) P(AA)=(7/10)(6/9) Δέντρα Πιθανοτήτων… • Στo τέλος των «κλαδιών», υπολογίζουμε κοινές πιθανότητες ως τοπροϊόνατομικών πιθανοτήτων από τα προηγούμενα κλαδιά. Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή

45. P(KK)=(3/10)(3/10) P(K|K) = 3/10 P(K) = 3/10 P( A|K) = 7/10 P(KA)=(3/10)(7/10) P(AK)=(7/10)(3/10) P(K|A) = 3/10 P( A) = 7/10 P( A|A) =7/10 P(AA)=(7/10)(7/10) Δέντρα Πιθανοτήτων… • Στο παράδειγμα 3.3 το δέντρο και οι κοινές πιθανότητες έχουν ως εξής: KK KA AK AA

46. P(K|K) = 2/9 P(K) = 3/10 P( A|K) = 7/9 P(K|A) = 3/9 P( A) = 7/10 P( A|A) = 6/9 Δέντρα Πιθανοτήτων… • Οι πιθανότητες που συνδέονται με κάθε σύνολο κλαδιών από τον ένα «κόμβο» πρέπει να αθροίζουν στην 1.00… Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή 2/9 + 7/9 = 9/9 = 1 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 3/9 + 6/9 = 9/9 = 1 Χρήσιμος τρόπος για επαλήθευση.

47. Δέντρα Πιθανοτήτων… • Σημειώστε: δεν υπάρχει περιορισμός ότι τα κλαδιά είναι μόνο δύο σε ένα κόμβο, ούτε ότι το δέντρο έχει μόνο δύο επίπεδα, ούτε ότι ο ίδιος αριθμός κλαδιών υπάρχει σε κάθε υπό-κόμβο…

48. P(Επιτυχία) = .72 P(Αποτυχία και Επιτυχία)= (.28)(.88)=.2464 P(Αποτυχία καιΑποτυχία) = (.28)(.12) = .0336 Παράδειγμα 3.5 … • Οι απόφοιτοι της νομικής πρέπει να περάσουν ένα τεστ. Υποθέστε ότι το ποσοστό των επιτυχόντων που παίρνουνε το τεστ την πρώτη φορά είναι 72%. Μπορούνε να ξαναπάρουνε το τεστ αν αποτύχουν και 88% περνάνε με την δεύτερη προσπάθεια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένας τυχαίος απόφοιτος θα περάσει το τεστ; Πρώτο τεστ P(Επιτυχία) = .72 Δεύτερο τεστ P(Επιτυχία|Αποτυχία) = .88 P( Αποτυχία) = .28 P( Αποτυχία|Αποτυχία) = .12

49. P(Επιτυχία) = .72 P(ΑποτυχίακαιΕπιτυχία)= (.28)(.88)=.2464 P(ΑποτυχίακαιΑποτυχία) = (.28)(.12) = .0336 Παράδειγμα 3.5 … • Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένας τυχαίος απόφοιτος θα περάσει το τεστ; • «Υπάρχει 97% πιθανότητα ότι θα περάσει το τεστ» • P(Επιτυχία) = P(Επιτυχία 1η) + P(Αποτυχία 1η καιΕπιτυχία 2η) = • = 0.7200 + 0.2464 = .9664 10 Τεστ P(Επιτυχία) = .72 20 Τεστ P(Επιτυχία|Αποτυχία) = .88 P( Αποτυχία) = .28 P( Αποτυχία|Αποτυχία) = .12

50. Ο κανόνας του Bayes… • Ο κανόνας του Bayes ονομάστηκε από τον Thomas Bayes, ενός μαθηματικού του 18ου αιώνα. • Στην πιο βασική του μορφή, εάν γνωρίζουμε την P(B | A), • Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bayes για να καθορίσουμε την P(A | B) P(B|A)P(A|B) Για παράδειγμά …